1、高考资源网（） 您身边的高考专家第九章解三角形9.2正弦定理与余弦定理的应用课后篇巩固提升1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在河岸边选定一点C,测出AC的距离为502 m,ACB=45,CAB=105后,就可以计算A,B两点间的距离为()A.100 mB.503 mC.1002 mD.200 m答案A解析在ABC中,AC=502m,ACB=45,CAB=105,即ABC=30,由正弦定理得ABsinACB=ACsinABC,所以ABsin45=502sin30,解得AB=100(m).故选A.2.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为1
2、5,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为,则cos =()A.23+1B.23-1C.3-1D.3+1答案C解析在ABC中,由正弦定理得BC=ABsinBACsinACB=100sin15sin(45-15)=50(6-2),在BCD中,sinBDC=BCsinCBDCD=50(6-2)5022=3-1,又因为cos=sinBDC,所以cos=3-1.故选C.3.某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点,已知ACD为等边三角形,且DC=3 km,当目标出现在B点(A,B两点位于CD两侧)时,测得CDB=45,BCD=75,则炮
3、兵阵地与目标的距离约为()A.1.1 kmB.2.2 kmC.2.9 kmD.3.5 km答案C解析如图所示,CBD=180-CDB-BCD=180-45-75=60,在BCD中,由正弦定理,得332=BDsin75,故BD=2sin75.在ABD中,ADB=45+60=105,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos105,所以AB=5+232.9(km).故炮兵阵地与目标的距离为2.9km.故选C.4.(2020黑龙江齐齐哈尔实验中学高一期中)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、
4、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos 等于()A.217B.2114C.32114D.2128答案B解析在ABC中,AB=40,AC=20,BAC=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=402+202-24020cos120=2800,所以BC=207.由正弦定理得sinACB=ABsinBACBC=217.由BAC=120知ACB为锐角,故cosACB=277.故cos=cos(ACB+30)=cosACBcos30-sinACBsin30=27732-21712=2114.故选B.5.如图,从气球A上测得正前方的河流
5、的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度是()A.240(3-1) mB.180(2-1) mC.30(3+1) mD.120(3-1) m答案D解析由题意可知ABC=105,BAC=45,C=30,所以AC=60sinC=60sin30=120.由正弦定理BCsinBAC=ACsinABC,得BC=ACsinBACsinABC=120sin45sin105=602sin60cos45+cos60sin45=120(3-1),即河流的宽度为120(3-1)m.故选D.6.如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得
6、仰角为=60,=30,若山坡高为a=35,则灯塔的高度是()A.15B.25C.40D.60答案B解析过点B作BEDC于点E,过点A作AFDC于点F,如图所示,在ABD中,由正弦定理得ABsinADB=ADsinABD,即hsin90-(90-)=ADsin(90+),所以AD=hcossin(-),在RtADF中,DF=ADsin=hcossinsin(-),又山高为a,则灯塔CD的高度是CD=DF-CF=hcossinsin(-)-a=40323212-35=60-35=25.故选B.7.某船在A处看到灯塔S在北偏西40方向,它向正北方向航行50海里到达B处,看到灯塔S在北偏西76方向,则
7、此时船到灯塔S的距离为海里(sin 400.642 8,sin 760.970 3,sin 36=0.587 8,结果精确到0.1).答案54.7解析由条件可得BSA+BAS=76,所以BSA=76-40=36.在SAB中,由正弦定理,得BSsinBAS=ABsinBSA,所以BS=ABsinBASsinBSA=50sin40sin3654.7.8.(2020山东济南济钢高级中学高一期中)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,公路北侧有一座山,山脚C与公路处于同一高度,当汽车行驶到A处时测得山顶D在北偏西45的方向上,仰角为,行驶300米后到达B处,测得此山顶D在北偏西15的方向上,仰角
8、为.若=45,则仰角的正切值为.答案3-1解析由题意可得CAB=45,ABC=105,AB=300米,CBD=45.在ABC中,可得ACB=180-45-105=30,利用正弦定理可得ABsin30=CBsin45=ACsin105,解得CB=3002米,AC=150(6+2)米.在RtBCD中,由CBD=45可得CD=CB=3002米,在RtACD中,可得tan=CDAC=3002150(6+2)=3-1.9.如图,在坡度为15的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60和30,且座位A,B间的距离为106米,则
9、AN=米,旗杆的高度为米.答案20330解析依题意可知NBA=45,BAN=180-60-15=105,所以BNA=180-45-105=30.由正弦定理可知ABsinBNA=NAsinNBA,所以AN=ABsinBNAsinNBA=203米.所以在RtAMN中,MN=ANsinNAM=20332=30(米),所以旗杆的高度为30米.10.如图所示,我国渔船编队在岛A周围海域作业,在岛A的南偏西20方向有一个海面观测站B,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40方向,以40海里/时的速度向岛A直线航行以保护我国渔船编队
10、,30分钟后到达D处,此时观测站测得B,D间的距离为21海里.(1)求sinBDC的值;(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛A?解(1)由已知可得CD=4012=20,在BDC中,根据余弦定理求得cosBDC=212+202-31222120=-17,所以sinBDC=437.(2)由已知可得BAD=20+40=60,所以sinABD=sin(BDC-60)=43712-1732=5314.在ABD中,由正弦定理可得AD=BDsinABDsinBAD=21sinABDsinBAD=15,所以t=154060=22.5分钟.即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A.11.(2020江苏
11、高一期末)如图,我方炮兵阵地位于A处,两移动观察所分别设在C,D两处.已知ACD为正三角形.当目标出现在点B时,测得BC=1千米,BD=2千米.(1)若测得DBC=3,求ABC的面积;(2)若我方炮火的最远射程为4千米,试问目标B是否在我方炮火射程范围内?解(1)在BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BDBCcosDBC,CD2=1+4-2=3.BD2=CD2+BC2,BCD=2,SABC=12ACBCsinACB=1231sin2+3=34.(2)设CBD=,CDB=,在BCD中,由余弦定理得CD2=5-4cos,由正弦定理得CDsin=sin.在ABD中,AB2=BD2+AD2-2BDADcos+3=9-4cos-2ADcos+23ADsin=9-4cos-2AD1-sin2+23sin=9-4cos-2AD2-sin2+23sin=9-4cos-2(2-cos)+23sin=5+4sin-69,当且仅当=23时,AB取到最大值3,34,目标B在我方炮火射程范围内.- 6 - 版权所有高考资源网
