1、一、填空题(本大题共14小题,每题5分,满分70分)1.已知集合,则 _.【答案】考点:(1)不等式的解法;(2)集合的运算.2.函数的最大值等于_.【答案】【解析】试题分析:函数,函数在上是增函数,故当时,函数取得最大值为,故答案为:考点:二次函数在闭区间上的最值.3.复数满足,则复数的模等于_.【答案】【解析】试题分析:复数满足,即,故答案为:.1111.Com1111考点:(1)复数的模;(2)二阶矩阵.4.函数的最小正周期为_.【答案】考点:函数的性质.【方法点睛】本题主要考查了三角函数的化简,以及函数的性质,属于基础题,强调基础的重要性,是高考中的常考知识点;对于三角函数解答题中,当
2、涉及到周期,单调性,单调区间以及最值等都属于三角函数的性质,首先都应把它化为三角函数的基本形式即,然后利用三角函数的性质求解.15.一组数据8,9,11,12的平均数是10,则这组数据的方差是_.【答案】【解析】试题分析:数据的平均数是,这组数据的方差是,故答案为:考点:平均数,方差.【方法点睛】本题考查一组数据的平均数的应用,考查求一组数据的方差,本题是一个基础题,如出现一定是一个送分题目,对于此种题型容不得有半点闪失;根据这组数据的平均数是,写出平均数的表示式,即得到关于的方程,求出其中的值,再利用方差的公式,写出方差的表示式,得到结果6.已知函数是函数(且)的反函数,其图像过点,则_.【
3、答案】【解析】试题分析:由题意可得,再根据它的图象过点,可得,即,故,故答案为:1考点:反函数.7.方程(为参数)所表示曲线的准线方程是_.【答案】考点:参数方程化为普通方程.8.已知关于的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则展开式的系数之和为_.【答案】【解析】试题分析:关于的展开式中,只有第项的二项式系数最大,即最大,解得,再根据,可得,令可得展开式的系数之和为 ,故答案为:考点:二项式系数的性质.9.若变量满足约束条件,且的最小值为-6,则_.【答案】【解析】试题分析:作出不等式对应的平面区域(阴影部分),由,得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最小目标函数为
4、,由,解得,即,点也在直线上,故答案为:考点:简单的线性规划.110.若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示,则它的侧视图的面积为_.【答案】考点:由三视图求面积、体积.【方法点睛】本题考点是简单空间图形的三视图,考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力,三视图的投影规则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”三视图是高考的新增考点,不时出现在高考试题中,应予以重视.由正三棱锥的正视图与俯视图形状可以看出,此物体的摆放方式是底面正三角形的高与正视图的投影线平行,如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长,由俯视图知底面是边长是的三角形,其高是棱锥的高,由此作出其侧视图,求侧视
5、图的面积111.已知为集合中三个不同的数,通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数,则输出的数的概率是_.【答案】考点:程序框图.12.在中,向量的终点在的内部(不含边界),则实数的取值范围是_.【答案】【解析】考点:平面向量的基本定理及其意义.113.已知数列的前项和,对任意,且恒成立,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析:由,得;当时,若为偶数,则,(为正奇数);若为奇数,则,(为正偶数)函数(为正奇数)为减函数,最大值为,函数(为正偶数)为增函数,最小值为若恒成立,则,即故答案为:考点:数列的递推式.【方法点睛】本题考查数列递推式,考查了数列通项公式的求法,体现了分类讨论
6、的数学思想方法和数学转化思想方法,是中档题由数列递推式求出首项,写出时的递推式,作差后对分偶数和奇数讨论,求出数列通项公式,可得函数(为正奇数)为减函数,最大值为,函数(为正偶数)为增函数,最小值为再由恒成立求得实数的取值范围14.设函数的定义域为,如果存在非零常数,对于任意,都有,则称函数是“似周期函数”,非零常数为函数的“似周期”现有下面四个关于“似周期函数”的命题:如果“似周期函数” 的“似周期”为-1,那么它是周期为2的周期函数;函数是“似周期函数”;函数是“似周期函数”;如果函数是“似周期函数”,那么“,”其中是真命题的序号是_.(写出所有满足条件的命题序号)【答案】考点:抽象函数及
7、其应用.二、选择题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)15.若函数在区间上存在一个零点,则实数的取值范围是( )A B C或 D【答案】C【解析】试题分析:函数在区间上存在一个零点,则,即 ,解得或 故选:C考点:函数零点的判定定理.16.已知空间直线不在平面内,则“直线上有两个点到平面的距离相等”是“”的( )A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件【答案】B考点:充分条件,必要条件的判定.17.双曲线的焦点坐标为( )A BC D【答案】B考点:双曲线的性质.18.函数在区间上可找到个不同数,使得,则的最
8、大值等于( )A8 B9 C10 D.11【答案】C【解析】试题分析:设,则条件等价为,的根的个数,作出函数和的图象,由图象可知与函数最多有个交点,即的最大值为,故选:C考点:正弦函数的图象.【方法点睛】本题主要考查函数交点个数的应用,熟练掌握三角函数的图象,利用数形结合是解决本题的关键作出函数在区间上的图象,设由直线斜率的计算公式可知表示点和原点间直线的斜率,即把问题转化为过原点的直线和交点的个数,则由数形结合即可得到结论三、解答题(本大题共5小题,共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)19.(本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)已知直三棱柱中,是棱的中点.如图
9、所示.(1)求证:平面;111(2)求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析;(2).(2)设是平面的法向量.又,取,可得,即平面的一个法向量是.由(1)知,是平面的一个法向量,记与的夹角为,则,.结合三棱柱可知,二面角是锐角,所求二面角的大小是.考点:(1)直线与平面垂直的判定;(2)向量法求二面角.20.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)如图,2012年春节,摄影爱好者在某公园处,发现正前方处有一立柱,测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为,设的眼睛距地面的距离米.(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度;(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆绕其中点在与立柱所在的平面内旋
10、转摄影者有一视角范围为的镜头,在彩杆转动的任意时刻,摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面?说明理由【答案】(1),;(2)摄影者可以将彩杆全部摄入画面.(2) 如图,为原点,以水平方向向右为轴正方向建立平面直角坐标系设,则,由()知(8分)故,由知所以,恒成立故在彩杆转动的任意时刻,摄影者都可以将彩杆全部摄入画面考点:平面向量的数量积坐标表示的应用.【一题多解】连接,设,.在和中,得.,又,则.故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.21.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)在平面直角坐标系中,已知椭圆,设是椭圆上任一点,从原点向圆作两条切线,切点分别为(1)若直线互相垂直,且点在第一
11、象限内,求点的坐标;(2)若直线的斜率都存在,并记为,求证:1111【答案】(1);(2)证明见解析.又因为在椭圆上,所以,即,所以,即.考点:直线与圆锥曲线的综合问题.【方法点睛】本题考查椭圆的方程和运用,同时考查直线和圆相切的条件,以及韦达定理的运用,考查运算化简能力,属于中档题在(1)利用其图象判断出到的距离,以及在圆上,可得其坐标;由直线与圆相切可得圆心到直线的距离为半径,化简得是方程的两个不相等的实数根,结合韦达定理,以及点在椭圆上,利用设而不求及整体代换的思想可得结果.22.(本题满分16分,第1小题满4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)已知函数是单调递增函数,其反函数是.(
12、1)若,求并写出定义域;(2)对于(1)的和,设任意,求证:;(3)求证:若和有交点,那么交点一定在上.【答案】(1),;(2)证明见解析;(3)证明见解析.,(3)设是和的交点,即,.当,显然在上;当,函数是单调递增函数,矛盾;当,函数是单调递增函数,矛盾.因此,若和的交点一定在上.考点:(1)反函数;(2)函数单调性的判断与证明;(3)函数单调性的性质.23.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)对于实数,将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分,用记号表示对于实数,无穷数列满足如下条件:,其中(1)若,求数列;(2)当时,对任意的,都有,求符合要求的实数构成的集合;(3)若是有理数,设(是整数,是正整数,互质),问对于大于的任意正整数,是否都有成立,并证明你的结论【答案】(1);(2);(3)成立,证明见解析.(2),所以,所以,当,即时,所以,解得(,舍去).当,即时,所以,111解(,舍去).当,即时,所以,解得(舍去).综上.(2) 成立.由是有理数,可知对一切正整数,为0或正有理数,可设(是非负整数,是正整数,且既约).考点:(1)新定义;(2)数列递推式.