1、高三数学寒假作业4 2012.1.17班级_学号_姓名_一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1.已知是虚数单位， 复数的共轭复数在复平面内对应点落在第 象限2.已知集合，且、都是全集的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为 ；3.设为等差数列的前项和，且，则 ； 4.已知向量的夹角为，且，在ABC中，D为BC边的中点，则 ； 5.设椭圆,的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点与圆；的位置关系是_6. 函数在处的切线方程为 .7. 若,则实数 . 8.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）由图中数据可知 若要从身高在
2、三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为 9.设为互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题： 若； 其中正确命题的序号为 .10.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则的斜率的取值范围是 . 11.某学生在上学路上要经过3个路口，假设在各路口遇到红灯或绿灯是等可能的，遇到红灯时停留的时间都是2min则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率为 B2.241.6ACD12.如图,有一壁画,最高点处离地面m,最低点处离地面m,若从离地高m的处观赏它,则当视角最
3、大时, 处离开墙壁 m. 13.定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则 . 14.已知函数（），若在区间上是单调减函数，则的最小值为 . 二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数的图像如图所示，直线是其两条对称轴。（）求函数的解析式并写出函数的单调增区间；（）若，且，求的值。16.如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C平面ABC（）证明：BDAA1；（）证明：平面AB1C/平面DA1C1 （）在直线CC1上是否存在点P，使BP/平面
4、DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由17.设定义在R上的函数，当时，取得极大值，并且函数的图象关于y轴对称（）求的表达式；（）若曲线对应的解析式为，求曲线过点的切线方程18.为赢得2010年上海世博会的制高点，某公司最近进行了世博特许产品的市场分析，调查显示，该产品每件成本9元，售价为30元，每天能卖出432件，该公司可以根据情况可变化价格（）元出售产品；若降低价格，则销售量增加，且每天多卖出的产品件数与商品单价的降低值的平方成正比，已知商品单价降低2元时，每天多卖出24件；若提高价格，则销售减少，减少的件数与提高价格成正比，每提价1元则每天少卖8件，且仅在提价销售时每件产品
5、被世博管委会加收1元的管理费（）试将每天的销售利润表示为价格变化值的函数；（）试问如何定价才能使产品销售利润最大？ 19.已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为 （）（）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率； （）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；（）设直线与轴、轴分别交于点，求证：为定值 20.设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上（）求及数列的通项公式；（） 将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，），（，）；（），（，），（，），（，）；（），分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；（）令（
6、），求证： 高三数学寒假作业4 2012.1.17(参考答案) 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1、四 2、 3、 4、1 5 点在圆内 6 7. . 08. 9、 10、 11. 12 13、 14、 二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15、解：（）由题意，又，故， 2分由，解得，又，。 5分由知，函数的单调增区间为。 7分（）解：依题意得：，即， 8分， ， 10分。 14分16、证明：（）连BD， 面ABCD为菱形，BDAC由于平面AA1C1C平面ABCD，则BD平面AA1C1C 故：BDAA1 （）连AB1，B1C，
7、由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知AB1/DC1，AD/B1C，AB1B1C=B1,A1DDC1=D由面面平行的判定定理知：平面AB1C/平面DA1C1（）存在这样的点P因为A1B1ABDC，四边形A1B1CD为平行四边形A1D/B1C在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，因B1BCC1，BB1CP，四边形BB1CP为平行四边形则BP/B1C，BP/A1DBP/平面DA1C117、解：（）为偶函数， 对一切恒成立, （2分） 又 当时，取得极大值， 解得，f （6分） （），设切点为，则切线方程为：，（8分）代入点化简得：，解得，（10分）所以切线方程为：和（12分）18、
8、解：（1）当降价元时，则多卖产品，由已知得：时，所以 （3分）当提价时， （2分）所以 （6分） （）当降价销售时，所以有1220极大值极小值即在处取得唯一极大值， （9分）当提价销售时， （11分）所以当定价18元时，销售额最大 （12分）19、解：（）（）圆过椭圆的焦点，圆：， （ 3分 ） （）由及圆的性质，可得， （8分） （）设，则整理得， 方程为：，方程为：、都过点，且直线方程为 令，得，令，得，为定值，定值是 （16分）20、（本小题满分16分）设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上 （）求及数列的通项公式； （） 将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，）
9、，（，），（，）；（），（，），（，），（，）；（），分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；（）令（），求证：解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以令，得，所以；令，得， ；令，得， 因为点在函数的图象上，故，所以 令，得，所以；时 时得令，即与比较可得，解得因此又，所以，从而（4分） （2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循环记为一组由于每一个循环含有4个括号， 故 是第25组中第4个括号内各数之和由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以又=22，所以=2010 （9分） （3）有（1）中知，当时，；当时，显然而（）
