1、高考资源网（） 您身边的高考专家B1 空间向量及其运算【考点指津】（1）空间向量的概念，空间向量的加法、减法与数乘及数量积运算；（2）空间向量的共面概念及共面的条件；（3）空间向量的基本定理，空间向量用基底表示；（4）空间坐标系，空间向量的坐标表示.【知识在线】1向量=（2，-3，），=（1，0，0），则、夹角的余弦值为 . 2已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标化简结果的向量.（1）+= ；（2）+= . 3下列命题中（1）如果向量、与任何向量不能构成空间的一个基底，那么的关系、是不共线.（2）O、A、B、C为空间四点，且向量，不构成空间的一个基底，那么点O、A、
2、B、C一定共面.（3）已知向量、是空间的一个基底，则向量+，-，也是空间的一个基底.其中正确的命题是 （ ）A（1）（2） B.（1）（3） C.（2）（3） D.（1）（2）（3）4已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E、F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，求下列各式中的x、y的值.（1）=x（+）；（2）=+x+y；（3）=+x+y.【讲练平台】例1 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：（1）线段AB中点的坐标和长度；（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足的条件.分析 利用向量的中点坐标公式和距离公式 . 简解 （1）设P（x，y，z）是AB的中
3、点，则故点P的坐标是（2，1，），dAB=.（2）设点P（x，y，z）到A、B距离相等，则= 化简得：4x+4-6z+3=0.点评 空间向量的中点坐标公式与平面向量的中点坐标公式相似；平面向量的一些基本性质可以推广到空间的情况.如：三点共线的的条件，向量的定比分点公式等及本题的距离公式.（ 变题 已知三角形ABC的顶点是A（1，-1，-2），B（2，1，-1），C（-1，-1，-2），试求这个三角形的的面积.）.例2 已知：m，n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点是B，且lm，ln， 求证：l.分析 本题是证线面垂直的判定定理，只能依照线面垂直的定义来证，即证直线l垂直于平面内的任一条
4、直线g，只要在直线L，g上取非零向量，证明它们的数乘为0就可以了.简证 在内作不与m，n重合的任一条直线g，在l，m，n，g上取非零向量，因m与n相交，得向量不平行，由共面向量定理可知，存在惟一的有序实数对（x，y），使= =0 =0 =0， ，即lg，l点注 利用向量证明空间的直线的垂直关系或平行关系，只须证明空间直线上向量之间的关系，可以将较复杂的证明问题化成简单的向量.如连图形都不需要，就能看得很清楚例3 如图，在平行六面体ABCDABCD中，=，=，=，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQ:QA=4:1,用基底,表示以下向量：（1）；（2）；（3）；（4
5、）分析：本题是空间向量分解定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就表示所需向量，再对照目标及基底,，将不符合的向量作新的所需向量，如此反复，直到所涉及向量都可用基底表示.解：连结AC，AD(1) =(+)=(+)=(+)(2) =(+)=(+2+)=+PCBDAA1B1DC1图B-1BMBN(3) =(+)=(+)+ (+)=(+2+2)=+ (4) =+=+(-)=+=+ 点评：（1）空间向量的运算，其实可将两个向量时化为了两个平面向量的运算.（2）空间任何一个向量都可以有任何一组基底,唯一表示，这唯一数组可以看作向量坐标，当基底,互相垂直时，且,都是单位向量
6、，则构成的空间直角坐标系.【知能集成】本课的主要内容是空间向量的概念及其运算，难点是向量知识在空间几何中的应用，空间向量的坐标运算.在复习时应注意以下几点：1理解向量的概念掌握向量的运算，注意与平面向量类比，将平面向量的基本性质推广到空间向量中.其次也可以奖空间向量化为平面向量来做（如例3）.2空间向量应看作是学习立体几何的一个重要工具，特别是处理线线角，求距离，证垂直等装门面应用广泛，在学习中应特别注意有关的公式，定义等内含的条件.3将抽象的立体几何中的线面关系转化为简明的坐标之间的关系，使抽象问题变得直观化，复杂问题简单化.这是一种重要的数学思想方法.【训练反馈】1下列命题正确的是 （ ）
7、 A若与共线，与共线，则与共线；B向量、共面即它们所在的直线共面；C零向量没有确定的方向；D若，则存在唯三学社 一的实数使=.2、平行六面体ABCDA1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z= （ ）. . . .空间四边形ABCD每边及对角线长都是，E、F、G是AB、AD、DC中点， = （ ）A1/2 B.1 C. D、 /24对于空间任一点和不共线三点A、B、C，点P满足= x+y+z是；四点P、A、B、C不共面的 （ ）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5边长为a的正三角形中，的值 .6向量、夹角是120，并且|=3，|=5，则|+|
8、= ，|-|= .向量、互相垂直，向量与它们构成的角都是60，|=5，|=3，|=8，则（2+-3）2= .8设ABCDA1B1C1D1是平行六面体，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的3/4分点，设，试求、的值.9空间四边开OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，OAC=45，OAB=60，求OA与BC夹角的余弦值.B2 空间向量与空间角【考点指津】(1)利用向量方法求两条异面直线所成的角，直线与平面所的角，二面角.（2）空间两向量的夹角公式：向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2），则 cos=【知识在线】1.已知空间四点A(0,0,2),B(
9、0,-1,0)，C（2，1，2），D（3，3，-1），E是BC的中点，点F分有向线段所成的比为2，则异面直线AE与CF所成角的余弦值是 （ ）A B. C. D.02一直线和平面所成的角60则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是A（0，60） B.（60，90 C.60，120 D.60，180）（ ）3平面平面，直线a，则 （ ） Aa B. a C.a与相交 D.以上答案都有可能4已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1=AC=1，CAB=60，则二面角C1ABC的正切值是 .5把等 腰直角三角形ABC沿斜边BC上高AD折成一个二面角，此时BAC=60，则此二面角的大小是 .
10、【讲练平台】例1 已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BC，A1D1的中点.（1）求A1C与DE所成的角；（2）求AD与平B1EF所成角；（3）求二面角B1EFB的大小.分析 （1）建立空间直角坐标系，求向量与所成角；（2）求平面B1EF的法向量与向量所成角的余角；（3）分别求二平面的法向量.解：（1）如图，建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得，A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），A1（a，0，a），B1（a，a，a），C1（0，a，a），D1（0，0，a），E（，a，0），F（，0，a）.=（a，a，a）=a（1，1，1）,=（，
11、a，0）=（1，2，0）.cos=,故A1C与DE所成角为arccos.（2）=a（1，0，0），=a（0，1，1），=（1，2，0），平面B1EF的法向量=（2，1，1），sin=.即AD与平面B1EF所成角为arcsin.（3）平面B1EF的法向量=（2，1，1），=（1，0，0）.平面BEF的法向量=（0，1，1）. cos=,故二面角B1EFB的大小为arccos.点评：（1）两异面直线所成的角等于两异面直线上的向量所成角（或余角）.（2）线面角关键在于正确求出法向量.（3）分求二个半平面的法向量.例2已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为AB的中点，P为体对角线A1C
12、上的任意一点，求直线A1C与平面PEF所成角的最大值与最小值.分析 建立空间坐标系后，令=，然后将直线A1C与平面PEF所成角的正弦值表示成关于函数，再求极值.解：如图，以D为原点O，建立空间直角坐标系，并令=，.由已知得，A1（1，0，1），B（1，1，0）C（0，1，0）B1（1，1，1）E（1，0）=（0，1），=（0，1），=（1，0），=（1）+=（，）.平面PEB1的法向量=（，），而=（1，1，1），A1C与平面PEB1所成角的正弦值sin=.从上式可知，当时，sin取最大值.=arcsin.当时，sin取最小值，=arcsin点评 立体几何中最值的常用解法步骤是（1）应设恰当的
13、变量，如本题中的定比，（2）然后建立目标函数，（3）求最值.例3斜三棱柱ABCA1B1C1的底面为一等腰直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60角，BC1AC，BC1=2cm，求BC与底面ABC所成的角.分析 按照题意，以A为原点，平面ABC为xoy平面，建立空间坐标系，关键在于求C1点坐标.求得C1点坐标后，利用向量的夹角公式即可得.解 如图所示，建立空间坐标系oxyz，并设C1点的坐标为（x，y，z）.根据题设条件，=（x2，y，z），底面ABC的法向量n=k=（0，0，1）. 由=2， ，CC1与底面所成的角60，即=30,得到C1的坐标所满足的方程组解此方程组,得C1点的
14、坐标(0,2,2 )或(0,-3, )所以=(0,2,2 ) 或= (0,3, ).sin=|=1 或sin=|=所以BC与底面ABC所成的角为90或.点评： 注意本题应该有两解，且当C1的坐标是(0,2,2 )时，点C1点平面ABC内的射影恰好是B点.【知能集成】（1）计算两异面直线所成的角时，应注意所成角是所对应向量的所成的角或余角；（2）计算线面所成的角，关键是正确地利用斜线与平面所成角的公式：sin=|，这里a与斜平面平行的非零向量，b是平面的法向量.（3）利用两平面的法向量的余弦公式来二面角的大小时，应判断所要求的二面角是锐角，还是钝角，否则易出错.【训练反馈】已知=（3，2，5），
15、=（1，x，1）且=2，则x等于 （ ）A3B4C5D已知=（，5），=（，x，），若，则 （ ）=,y=15B=3,y=C=3,y=15D=,y=已知=（，x），=（2，y，2），若=6,且,则x+y为 ( )A3或1B 3或-1C3D 1已知=（1，1，0），=（1，0，2），且k+与2互相垂直，则k= ( )A1BCD已知点B是点A（，）在坐标平面yOz内的射影,则|等于 ( )ABCD已知向量=（，），=（，），若与成120角，则k= 已知空间三点（，），（，），（，）共线，则 已知=（cos，1，sin)，=（sin，1，cos），则向量与的夹角 正方体ABCDA1B1C1D1中，E
16、、F是BB1、CD的中点(1)求证：ADD1F；(2)求AE 与D1F所成角的大小；(1)求证平面AED平面A1F D110直三棱柱ABCA1B1C1中底面ABC，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M，N分别是A1B1、A1A的中点(1)求BN的长；(2)求BA1与CB1所成的角；(3)求证：A1BC1MB3 空间向量与直线与平面的关系【考点指津】（1）平面的法向量：与平面垂直的向称为平面的法向量.（2）点A到平面的距离公式：，其中n是平面的法向量，A1是平面内的任一点.【知识在线】1.向量的终点在B（2，-1，7），其在坐标轴x，y，z上的射影顺次是4，-4，7，此向量的起点A的坐
17、标是 （ ） A（2，3，0） B.（2，3，0） C.（4，4 ，7） D.（4，4，7）2.若a=（1，3/2，5/2），b=（3，-12/5）满足a b，则= （ ） A2/3 B.9/2 C.9/2 D.33.边长为4cm的正ABC中，E是AB中点，ADBC于D，把ABC沿AD折成60二面角B-AD-C后，CE= .4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则直线DA1与AC的距离是 .5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中， N，F分别为BB1，BC中点，求证：D1NB1F.【讲练平台】例1 已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D、E分别是OA、BC的中点，连结D
18、E. （1）求证：；DE是OA和BC的公垂线 （2）求OA和BC间的距离.分析 （1）要证明DE是OA和BC的公垂线，只要证明及即可. （2）求OA和BC间的距离即是计算的值.解：（1）得同理：DE是OA和BC的公垂线（2）即OA和BC间的距离为点评：要证明两直线垂直，须证明两直线上的向量这积为0.例2：在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1（1）求直线A1C1与平面AB1C间的距离；（2）求异面直线A1C1与AB1间的距离分析（1）建立坐标系,分别求出向量AA1及平面AB1C的法向量.(2) 利用设元，建立方程，先确定公垂线位置.解：（1）建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，0，0
19、），C（0，1，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1）C1（0，1，1）A1C1AC，A1C1平面AB1CA1C1与平面AB1C的距离就是 A1C1上任意一点到平面AB1C的距离，不妨考虑A1到AB1C的距离平面AB1C的法向量即A1C1与平面AB1C的距离是（2）设E，F分别是A1C1与AB1上的一点，且，则 令，得解得点评：（1）本题第一小题给出了求线面之间距离的一个常用方法. （2）本题第二小题给出了求两异面直线之间距离的一种有效方法，它的优点是不仅求出异面直线间的距离，而且求出了公垂线的足坐标.例3：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，侧棱AA1与底面所成
20、的角为60，并且BAD=120，A1AB=A1AD，点C1到平面A1DB的距离为，试求比值分析 建立恰当的坐标系，然后求出平面A1DB的法向量n及向量，再利用点C1到平面A1DB的距离公式：d=|，即可求得比值解：以A为坐标原点，直线AC为y轴，过A点与DB平行的直线为x轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz设平面A1DB的法向量为按已知，得得方程组令，得由点C1到平面A1DB的距离得化简，即，故点评 利用空间向量求立几中的量时，注意应用方程的思想.如题中先建立方程确定点的位置，然后利用公式计算是常见的一种题型.【知能集成】（1）计算线面距离与面面距离关键转化到点到面
21、的距离，然后利用点到平面的距离公式求之；（2）计算异面直线之间的距离，关键是确定公垂线的垂足；（3）注意方程、待令系数，化归与转化等数学思想的应用.【训练反馈】1三个平面，两两垂直，它们的三条交线交于O点，点P到这三个平面的距离之比为1:2:3,且OP=，则P点到这三个平面的距离分别为 ( )A2，4，6B3，6，9C4，8，12 D5，10，152直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为3，底面是边长为2的菱形，且BAD=60，E是A1D1的中点，则BE为 ( )ABCD43在正棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，且A1A=2，则F到面A1ED1的距离是 4在长方体
22、ABCDA1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，则异面直线BD1与CD间的距离是 5在平行四边形ABCD中，已知AB=a，AD=2a，AC与BD相交于E点，A=60，将ABD沿对角线BD折成直二面角A1-BD-C，求点B到平面A1CE的距离6二面角P-AC-B为60，BCAC，PAAC，AC=a，BC=PA=2a，点P在平面ABC内的射影为D（1）求证：AD平面PBC（2）求点A到平面PBC的距离7平面EAD平面ABCD，ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成30，（1）求二面角E-FC-G的大小；（2）当AD，AB各是多少时，点D
23、到平面EFC的距离为2？单元练习九一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1两条直线分别平行于两个互相垂直的平面，那么这两条直线的位置关系是（ ） A互相垂直 B不能互相平行 C异面直线 D平行、相交或异面2若直线无公共点，则下列判断正确的是 （ ） A与都垂直且相交的直线只有一条B一定存在过且与垂直 直线C过且平行于的平面至少有一个D过而不过的平面必定与平行3直线为平面的斜线，则平面内与直线成的直线有 （ ） A至少一条 B必有无数条C不存在或无数条 D不存在4已知、是直线，、是平面，下列命题中，真命题是 （ ） A若，则B设是
24、直二面角，若，则C若、在内的射影依次是一个点和一条直线，且，则或D设、是异面直线，若，则与相交5空间四点、，每两点的连线都等于，动点在线段上，动点在线段上，则点与的最小距离为 （ ） A B C D6将菱形沿对角线折成空间四边形，使空间四边形的对角线的长等于菱形对角线长的一半，则二面角的度数是 （ ）A B C D7设、表示不同的直线，、表示不同的平面，则下列命题成立的是（ ） A若 且 则B若 又，则C若，则D若与、相交所成的锐二面角相等，则8有一高度为100米的山坡，坡面与坡脚水平面成角，山坡上的一条直道与坡脚的水平线成角，一人在山脚处沿该直道上山至山顶，此人大约行走了（ ） A43米 B
25、100米 C213米 D231米9条件甲：“四棱锥的所有侧面都是全等三角形”，条件乙：“该四棱锥是正四棱锥”，则条件甲是条件乙的 （ ） A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件10.在四面体的六条棱中，互相垂直的棱至多有 （ ） A6对 B5对 C4对 D3对11.地球半径为，则北纬东经的地与北纬西经的地间的最短距离是 （ ） A B C D12.有三个球和一个正方体，第一个球过正方体的八个顶点，第二个球和正方体的十二条棱均相切，第三个球和正方体的六个面均相切，则三个球的体积的比是（ ） A BC D二、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16将答案填在题
26、中的横线上. 13一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其他的顶点处都有相同数目的棱，则其他顶点处的棱数是 .ADCCEB14如图，一个立方体的六个面上分别标有字母，右图是此立方体的两种不同放置，则与面相对的面上的字母是 .15空间一点到一个锐二面角的两个面的距离分别是1和，到棱的距离是2，则这个二面角的度数为 .16一种涂料恰好能喷涂棱长为10cm的一个正方体的所有表面，那么按同样施工标准（即每单位面积所用的涂料相同），能喷涂半径等于 cm2一只球.ASCOO1E三、解答题：本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17（14分）正四棱锥内接于球，该
27、棱锥的底面边长为4，侧棱与底面成角，试求球面的面积.18（14分）如图，在三棱锥中，SABC（第18题），.（1）求证：（2）求二面角的大小. 19（14分）如图，在正方体中.ABCDA1B1C1D1（第19题） (1)求证:平面平面; (2)求证:平面平面. 20（16分）如图，已知二面角的ABCQP（第20题）R大小为，点与点分别在平面和内，点在棱上，（1）求证：（2）求点到平面的距离；（3）设是线段上的点，直线与平面所成角为，求线段的长度.21.（16分）如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，=45，侧面是边长为a的菱形，且垂直于底面，=60，分别是的中点.（1）求证平面；（第21题） （2）求与侧面所成的角； （3）求三棱锥的体积.- 16 - 版权所有高考资源网
