1、高考资源网（） 您身边的高考专家2016年山东省菏泽市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1复数z=（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）2设集合A=y|y=sinx，xR，集合B=x|y=lgx，则（RA）B（）A（，1）U（1，+）B1，1C（1，+）D1，+）3已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计的值约为（
2、）ABCD4圆（x1）2+y2=1被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）A1：2B1：3C1：4D1：55若的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A1B2C3D46下列四个判断：某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是m和n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；从总体中抽取的样本（1，2.5），（2，3.1），（3，3.6），（4，3.9），（5，4.4），则回归直线y=bx+a必过点（3，3.6）；已知服从正态分布N（1，22），且p（11）=0.3，则p（3）=0.2其中正确的个数有（）A0个B1个C2个D3个7某几何体的三视图是如
3、图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）ABCD8函数y=4cosxe|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）ABCD9点A是抛物线C1：y2=2px（p0）与双曲线C2：（a0，b0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）ABCD10若函数f（x）=1+sinx在区间k，k（k0）上的值域为m，n，则m+n=（）A0B1C2D4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上的相应位置.11已知命题p：xR，|1x|x5|a，若p为假命题，则a的取值范围是12a，b，c分别是ABC角A，B，C的对边，ABC的面积为
4、，且，则c=13如图表示的是求首项为41，公差为2的等差数列前n项和的最小值的程序框图，如果中填a=a+2，则可填写14若x，y满足不等式组，表示平面区域为D，已知点O（0，0），A（1，0），点M是D上的动点，则的最大值为15若函数y=f（x）的导数y=f（x）仍是x的函数，就把y=f（x）的导数y=f（x）叫做函数y=f（x）二阶导数，记做y（2）=f（2）（x）同样函数y=f（x）的n1阶导数的导数叫做y=f（x）的n阶导数，表示y（n）=f（n）（x）在求y=ln（x+1）的n阶导数时，已求得，根据以上推理，函数y=ln（x+1）的第n阶导数为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答
5、应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.16已知函数（）求f（x）的最大值；（）求f（x）的图象在y轴右侧第二个最高点的坐标17如图，三棱锥ABCD中，ABC和BCD所在平面互相垂直，且BC=BD=4，AC=4，CD=4，E，F分别为AC，DC的中点（）求证：平面ABD平面BCD；（）求二面角EBFC的正弦值18某架飞机载有5位空降兵空降到A、B、C三个地点，每位空降兵都要空降到A、B、C中任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是，用表示地点C空降人数，求：（）地点A空降1人，地点B、C各空降2人的概率；（）随机变量的分布列与期望19已知数列bn的前n项和（）求数列
6、bn的通项公式；（）设数列an的通项，求数列an的前n项和Tn20在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为（）求椭圆C的方程；（）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1=k2，并求出的值；（ii）求OMN面积的最大值21已知函数f（x）=ln（x+1）+aex（aR）（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若f（x）不是单调函数，求实数a的取值范围2016年山东省菏泽市高考数学一模试卷
7、（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1复数z=（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解即可【解答】解：复数z=1i，复数的共轭复数在复平面内对应点的坐标（1，1）故选：A2设集合A=y|y=sinx，xR，集合B=x|y=lgx，则（RA）B（）A（，1）U（1，+）B1，1C（1，+）D1，+）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】
8、求出y=sinx的值域确定出A，找出R中不属于A的部分求出A的补集，求出y=lgx的定义域确定出B，找出A补集与B的公共部分即可求出所求的集合【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，xR，得到y1，1，A=1，1，RA=（，1）（1，+），由集合B中的函数y=lgx，得到x0，B=（0，+），则（RA）B=（1，+）故选C3已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计的值约为（）ABCD【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型【分析】利用阴影部分与矩形的面积比等于落入
9、阴影部分的豆子数与所有豆子数的比，由此求出阴影部分的面积【解答】解：由题意设阴影部分的面积为S，则=，所以S=；故选：D4圆（x1）2+y2=1被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）A1：2B1：3C1：4D1：5【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长的圆心角的关系，答案可得【解答】解：圆（x1）2+y2=1的圆心为（1，0）到直线xy=0的距离为=，圆的半径为：1，弦长为2=小扇形的圆心角为：120，较短弧长与较长弧长之比为1：2故选：A5若的展开式中x3项的系数为20，则a
10、2+b2的最小值为（）A1B2C3D4【考点】二项式定理的应用【分析】运用二项式展开式的通项公式，化简整理，再由条件得到方程，求出r=3，进而得到ab=1，再由重要不等式a2+b22ab，即可得到最小值【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1=，由于x3项的系数为20，则123r=3，解得，r=3，即有=20，即有ab=1，则a2+b22ab=2，当且仅当a=b，取得最小值2故选B6下列四个判断：某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是m和n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；从总体中抽取的样本（1，2.5），（2，3.1），（3，3.6），（4，3.9），（5，
11、4.4），则回归直线y=bx+a必过点（3，3.6）；已知服从正态分布N（1，22），且p（11）=0.3，则p（3）=0.2其中正确的个数有（）A0个B1个C2个D3个【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据加权平均数的公式知不正确，根据线性回归方程过样本中心点知不正确，根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（3）【解答】解：当某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为，故不正确；=3， =3.5，根据回归直线y=bx+a必过样本中心点，得到必过（3，3.5），故不正确；随机变量服从正态分布（1，22），
12、正态曲线的对称轴是x=1，P（11）=0.3，P（3）=P（1）=0.50.3=0.2正确故选B7某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的半圆锥，结和数据求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的半圆锥，且圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆锥的高为=2；该几何体的体积为V半圆锥=122=故选：A8函数y=4cosxe|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先验证函数y=4cosxe|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取
13、特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案【解答】解：函数y=4cosxe|x|，f（x）=4cos（x）e|x|=4cosxe|x|=f（x），函数y=4cosxe|x|为偶函数，图象关于y轴对称，排除BD，又f（0）=y=4cos0e|0|=41=3，只有A适合，故选：A9点A是抛物线C1：y2=2px（p0）与双曲线C2：（a0，b0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】先根据条件求出店A的坐标，再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p；得到=，再代入离心率计算公式即可得到答案【解答】解：取双曲线的其中一条
14、渐近线：y=x，联立；故A（，）点A到抛物线C1的准线的距离为p，+=p；=双曲线C2的离心率e=故选：C10若函数f（x）=1+sinx在区间k，k（k0）上的值域为m，n，则m+n=（）A0B1C2D4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法【分析】本题可以先构造奇函数g（x）=+sinx1，由于奇函数图象的对称性，得到函数值域的对称，再对应研究函数f（x）的值域，得到本题结论【解答】解：记g（x）=+sinx1，g（x）=，g（x）+g（x）=+sinx1+=0，g（x）=g（x）函数g（x）在奇函数，函数g（x）的图象关于原点对称，函数g（x）在区间k，k（k0）上的最大值记为a，（a
15、0），则g（x）在区间k，k（k0）上的最小值为a，a+sinx1a，a+2+sinx+1a+2，a+2f（x）a+2，函数f（x）=1+sinx在区间k，k（k0）上的值域为m，n，m=a+2，n=a+2，m+n=4故选D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上的相应位置.11已知命题p：xR，|1x|x5|a，若p为假命题，则a的取值范围是（4，+）【考点】函数恒成立问题【分析】利用全称命题的否定是特称命题，判断全称命题是证明题，求解即可【解答】解：命题p：xR，|1x|x5|a，若p为假命题，可知全称命题是证明题，即：xR，|1x|x5|a恒成立，因为，|1x
16、|x5|4，所以a4则a的取值范围是（4，+）故答案为：（4，+）12a，b，c分别是ABC角A，B，C的对边，ABC的面积为，且，则c=2或【考点】正弦定理【分析】由已知利用三角形面积公式可求a，利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值，利用余弦定理即可解得c的值【解答】解：，SABC=absinC=，解得a=2，cosC=利用余弦定理c2=a2+b22abcosC，可得：c=，解得：c=2或故答案为：2或（填写一个不给分）13如图表示的是求首项为41，公差为2的等差数列前n项和的最小值的程序框图，如果中填a=a+2，则可填写a0【考点】程序框图【分析】由程序设计意图可知，处应求通项，有a
17、=a+2，又由此数列首项为负数，公差为正数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个非正项即可，从而可求处可填写：a0【解答】解：由程序设计意图可知，S表示此等差数列an前n项和，故处应该填写a=a+2，又因为此数列首项为负数，公差为正数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个非正项即可，故处可填写：a0故答案为：a014若x，y满足不等式组，表示平面区域为D，已知点O（0，0），A（1，0），点M是D上的动点，则的最大值为【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，由题意和数量积的运算可得=，数形结合由斜率的意义求出k=的最小值可得【解答】解：作出不等式组所对应的可行域D（如图MNP），由题意可得=（
18、1，0），设M（x，y），则=（x，y），可化为x=，则=，数形结合可知当取区域中的点M（，1）与原点连线的斜率k=取最小值，=取最大值=，故答案为：15若函数y=f（x）的导数y=f（x）仍是x的函数，就把y=f（x）的导数y=f（x）叫做函数y=f（x）二阶导数，记做y（2）=f（2）（x）同样函数y=f（x）的n1阶导数的导数叫做y=f（x）的n阶导数，表示y（n）=f（n）（x）在求y=ln（x+1）的n阶导数时，已求得，根据以上推理，函数y=ln（x+1）的第n阶导数为【考点】导数的运算【分析】根据导数的计算和归纳推理即可求出答案【解答】解：求y=ln（x+1）的n阶导数时，已求得，
19、根据以上推理，函数y=ln（x+1）的第n阶导数为故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.16已知函数（）求f（x）的最大值；（）求f（x）的图象在y轴右侧第二个最高点的坐标【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（）根据三角恒等变换化简f（x）=sin（2x），从而求出f（x）的最大值即可；（）根据函数的表达式得到，令k=1，得，从而得到满足条件的点的坐标【解答】解：（）由已知，有f（x）=cos x（sin x+cos x）cos2x+=sin xcos xcos2x+=sin
20、 2x（1+cos 2x）+=sin 2xcos 2x=sin（2x），所以f（x）的最大值为；（）令2x=，得，令k=1，得所以f（x） 的图象在y轴右侧第二个最高点的坐标是17如图，三棱锥ABCD中，ABC和BCD所在平面互相垂直，且BC=BD=4，AC=4，CD=4，E，F分别为AC，DC的中点（）求证：平面ABD平面BCD；（）求二面角EBFC的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABD平面BCD；（）建立空间坐标系求出平面的法向量利用向量法即可求二面角EBFC的正弦值或者根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的
21、边角关系进行求解【解答】（ I）证明由BC=4，ACB=45，则，显然，AC2=AB2+BC2，所以ABC=90，即ABBC又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCD=BC，AB平面ABC，所以AB平面BCD，又AB平面ABD，所以平面ABD平面BCD （）（方法一）由BC=BD，F分别为DC的中点，知BFDC，由CD=，知，知，所以FBC=60，则DBC=120，如图，以点B为坐标原点，以平面DBC内与BC垂直的直线为x轴，以BC为y轴，以BA为z轴建立空间坐标系；则B（0，0，0），A（0，0，4），C（0，4，0），E（0，2，2），所以， 显然平面CBF的一个法向量为=（0，0，1）
22、，设平面BEF的法向量为=（x，y，z），由，得其中一个=（，1，1），设二面角EBFC的大小为，则|cos|=|cos，|=|=，因此sin =，即二面角EBFC的正弦值为（方法二）连接BF，由BC=BD，F分别为DC的中点，知BFDC，如图，在平面ABC内，过E作EGBC，垂足为G，则G是BC的中点，且EG平面BCD在平面DBC内，过G作GHBF，垂足为H，连接EH由EG平面BCD，知EGBF，又EHBF，EGEH=E，EG，EH平面EHG，所以BF平面EHG，所以EHG是二面角EBFC的平面角由GHBF，BFDC，则GHFC，则EG是ABC的中位线，所以EG=，易知HG是BFC的中位线，
23、所以HG=，所以，sinEHG，即二面角EBFC的正弦值为 18某架飞机载有5位空降兵空降到A、B、C三个地点，每位空降兵都要空降到A、B、C中任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是，用表示地点C空降人数，求：（）地点A空降1人，地点B、C各空降2人的概率；（）随机变量的分布列与期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（I）先求出基本事件的总数，再求出“地点A空降1人，地点B、C各空降2人”包含的基本事件个数，由此能求出所求事件的概率（ II）由题意知随机变量B（5，），由此能求出随机变量的分布列和数学期望【解答】解：（I）基本事件的总数为35个，“地点A空
24、降1人，地点B、C各空降2人”包含的基本事件为，所以所求事件的概率为：；（ II）由题意知随机变量B（5，），随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=，P（=5）=，所以随机变量的分布列为：012345P根据二项分布得数学期望19已知数列bn的前n项和（）求数列bn的通项公式；（）设数列an的通项，求数列an的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）利用递推关系即可得出；（II）=（3n2）2n+（1）n2n设数列（3n2）2n的前n项和为An，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；再利用
25、等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（I）数列bn的前n项和，b1=B1=1；当n2时，bn=BnBn1=3n2，当n=1时也成立bn=3n2（II）=（3n2）2n+（1）n2n设数列（3n2）2n的前n项和为An，则An=2+422+723+（3n2）2n，2An=22+423+（3n5）2n+（3n2）2n+1，An=2+3（22+23+2n）（3n2）2n+1=4（3n2）2n+1=（53n）2n+110，An=（3n5）2n+1+10数列（1）n2n的前n项和= 1（2）n数列an的前n项和Tn=（3n5）2n+1+10 1（2）n20在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1
26、（ab0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为（）求椭圆C的方程；（）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1=k2，并求出的值；（ii）求OMN面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y10），（x2，y2），用A的坐标
27、表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到的值；（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值【解答】解：（）由题意知，则a2=4b2椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2将y=x代入可得，因此，解得a=2则b=1椭圆C的方程为；（）（i）设A（x1，y1）（x1y10），D（x2，y2），则B（x1，y1）直线AB的斜率
28、，又ABAD，直线AD的斜率设AD方程为y=kx+m，由题意知k0，m0联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0因此由题意可得直线BD的方程为令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）可得，即因此存在常数使得结论成立（ii）直线BD方程为，令x=0，得，即N（）由（i）知M（3x1，0），可得OMN的面积为S=当且仅当时等号成立OMN面积的最大值为21已知函数f（x）=ln（x+1）+aex（aR）（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若f（x）不是单调函数，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数定义域，当a=1时，f（x）=，构造辅助函数h（x）
29、=ex（x+1）（x1），求单判断h（x）的单调性，求得函数的最小值，即可判断f（x）0，可求f（x）的单调区间；（）由（）可知exx+1，当a1时，exa（x+1），f（x）0，函数单调递增，不满足，当a1时，构造辅助函数g（x）=exa（x+1）（x1），求导，利用导数求得函数的单调性，根据函数的单调性求得函数的零点，即可求得函数f（x）的单调区间，即可求得满足题意的a的取值范围【解答】解：函数函数f（x）=ln（x+1）+aex（aR）定义域为（1，+），=；（）当a=1时，f（x）=，令h（x）=ex（x+1）（x1），则h（x）=ex1，由h（x）=0，得x=0，则x（1，0）时，h
30、（x）0；x（0，+）时，h（x）0，所以h（x）在（1，0）上是减函数，在（0，+）上是增函数，所以h（x）h（0）=e01=0，即f（x）0，所以f（x）在（1，+）上是增函数，即f（x）的增区间为（1，+） （）由（）知exx+1，当a1时，a（x+1）x+1，故exa（x+1），于是f（x）=0，则f（x）在（1，+）上是增函数，故a1不合题意；当a1时，令g（x）=exa（x+1）（x1），g（x）=exa，由g（x）=0，得x=lna0，于是x（1，lna）时，g（x）0；x（lna，+）时，g（x）0，即所以g（x）在（1，lna）上是减函数，在（lna，+）上是增函数，而g（1）=e10，g（lna）=elnaa（lna+1）=alna0，故g（x）在（1，lna）上存在唯一零点，设其为x0，则x（1，x0）时，g（x）0，即f（x）0；x（x0，lna）时，g（x）0，即f（x）0，f（x）在（1，x0）上是增函数，在（x0，lna）上是减函数，f（x）不是单调函数，故a1符合题意实数a的取值范围是（1，+）2016年8月1日高考资源网版权所有，侵权必究！
