1、全等三角形综合指导一、复习目标1理解三角形的有关概念,以及三角形三边之间的关系、内角和等基本性质2掌握一般三角形全等和直角三角形全等的条件，能熟练利用判别方法说明两个三角形全等3掌握用尺规作三角形的基本方法，会利用尺规根据三角形全等的识别方法作三角形4能借助三角形有关知识解决实际生活中的问题二、重要知识点回顾（请你仔细阅读并填空）1三角形有关概念（1）定义： 叫三角形（2）边角关系：三角形两边之和 ，三角形两边之差 ；三角形三个内角的和是 （3）分类：三角形按角分类为 三角形、 三角形、 三角形；直角三角形两锐角 （4）重要线段： 叫做三角形的角平分线， 叫做三角形的中线， 叫做三角形的高，三
2、角形的三条角平分线交于 、三条中线 、三条高所在的直线 2图形全等（1）定义： 称为全等图形（2）特征：全等图形的 都相同3全等三角形（1）定义： 叫全等三角形；如果ABC与DEF全等，把它们记作 ，记两个三角形全等时，一般把 写在对应的位置上（2）性质：全等三角形的对应边 、 相等（3）全等三角形的判定判定三角形全等的条件有：（1） ，（2） （3） （4） 4尺规作图（1）定义：在几何里，把只用 和 画图的方法称为尺规作图； 和 的尺规作图称为 ，一些复杂的尺规作图，都是由 组成的（2）基本尺规作图基本作图有五种，分别是 、 、 、 、 （3）尺规作图时，用 画直线、射线和线段，用 画弧和
3、圆5直角三角形全等 的两个直角三角形全等简写成“斜边、直角边”或“HL”，判定两个直角三角形全等除了“HL”外，还有 、 、 、 6利用全等三角形测距离测量距离的常用方法有： 、 三、易混、易错问题辨析1三角形的角平分线、高和中线都是线段2书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置3三角形全等的判别方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判别三角形全等的条件中至少有一条边4寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系5求作三角形时应注意分析条件特征，对于较复杂些的求作三角形问题可先画草图.6运用三角形全等测距
4、离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由7注意只有说明两个直角三角形全等时，才使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL” 四、典型思想与方法例析1.方程思想如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题例1. 如图1，已知A=27，CBE=90，C=30，求ADE的度数。分析：要求一个角的度数，可以先看一下它所出的位置：如果是某个三角形的一个内角，可以考虑三角形内角和定理计算，如果是某个三角形的外角，可以考虑三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算，本题中的ADE只能是BFD或者AED的内角，不
5、可能是某个三角形的外角解：设ADE=X，CBE=90，C=30（已知）DEC=180-(CBE+C)=180-(90+30)=60（三角形内角和定理）又DEC=A+ADE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）60=27+X，X=60-27=33，即ADE=33评注：本题可以通过设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题中的方程思想2分类思想例2已知等腰三角形的周长是24cm，已知其中一边长为6cm，求其他两边长.分析：要注意分两种情况考虑，因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，所以通过其中一边长为6cm，求其他两边的长应该分成两种情况考虑：一种是6cm长的边为腰，另一种是6
6、cm长的边为底.解：因为长为6cm的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况计算：当长为6cm的边为腰时，则底边为 24-62=12 ，6+6=12 两边之和等于第三边，所以6cm长为腰不能组成三角形，舍去.当长为6 cm的边为底边时，则腰长为（24-6）2=9，6cm、9cm、9cm可以组成三角形，三角形其他两边长为9 cm.评注：本题体现了数学中的分类讨论思想，并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边.3.转化思想 图2例3如图2是用两根拉线固定电线杆的示意图，其中，两根拉线的长AB=AC，BD和DC的长相等吗？为什么？分析：因为电线杆和地面垂直，它和两根拉线分别构成两个直角三
7、角形，所以通过全等三角形的知识解决解：BD和DC相等因为ADBC,所以ADB=ADC=90,又AB=AC,AD=AD,所以RtABDRtACD(HL)，所以BD=DC 评注：本题就是转化的策略，它将实际问题转化为全等三角形的问题，从而解决问题五、复习对策根据本章的特点，我建议同学们在学习或复习中要注意以下几点：（1）善于观察，勤于思考，勇于探索空间观念的发展需要在学习中亲自经历观察、操作、想象、推理与交流等数学活动，本章主要是学习和研究与三角形相关的一些形式，一定要认真观察，勤于思考，发现图形中某些特点和性质，充分利用教科书中所提供的素材进行探索性的研究，从而主动获取知识（2）重视数学知识和应
8、用的结合三角形在日常生活中随处可见，应用也很广泛，科书中许多地方设置了三角形的应用，具有很强的现实性、趣味性、挑战性，一定要很好地去体验和感悟，除词之外，我们要结合本地区的实际寻找更多的与三角形有关的素材进行学习研究，例如：可从有关书籍、网络上选取，也可从各种建筑设施、自然环境中去发现，达到学用结合（3）强化直观操作与说理结合，逐步培养有条理的思考和表达本章涉及到很多动手操作题，学习过程千万不要忽视，要积极参与，勤于动手，在实践中获得知识，同时，在各种数学活动中要自觉地进行思考，自觉地用语言说明操作的过程，并尝试解释其中的理由，养成说理有据的意识（4）学会在合作中学习我们每一个人都是有差异的，
9、要勇于正视自己的不足和弱项，在学习过程中要经常与他人合作，与他人交流，相互借鉴，取长补短，从而更好地丰富自己的数学活动经验，提高思维水平和解决问题的能力六、重要考点例析考点1：考查三角形的概念例4（2008年湖南省株洲市）现有2cm、4cm、8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个分析：要判断所给的哪三根小木棒可首尾相接后摆成三角形，则需要看较短的两个木棒的长度的和是否大于第三个木棒的长，如果大于，则可以构成三角形，否则，不能构成三角形解：根据两较短木棒的长度和大于第三个木棒的长度，共有4，4，2；8，8，4
10、；8，8，2三种情况，故选C【评注】和三角形三边关系的试题,主要涉及根据三角形的三边关系确定所给的线段能够构成三角形,解决问题应注意三角形三边关系的灵活运用考点2：考查三角形三边关系例5（2008年福建福州）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A13cmB6cmC5cmD4cm分析：本题考察了三角形的三边关系及不等式的相关知识三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边解：第三边的长度满足949+4，即513，故选B评注：在实际判断时，不需要去将三角形的任意两边都相加，然后判断其和是否大于第三边只需选取较小的两边相加，判断其和是否大于
11、最大边即可考点3：三角形内角和例6(2008年宁夏回族自治区)如图3，ABCD， ACBC，BAC =65，图3则BCD= 度.分析：由三角形内角和可以知道ABC=25，再根据平行线性质，我们可以知道BCD=ABC.解：根据以上分析该填：25.点评 本题考查了平行线性质和三角形内角和性质的掌握.考点4：全等三角形计算题例7（2008年遵义市）如图4，则等于（ ）ABCDOEABDC图4解：根据，可证，所以，又因为，所以，故选A点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质全等三角形具有对应边、对应角相等的性质考点5：全等三角形说理题例8（2008年南宁市）如图5，在ABC中，D是BC的中点，DEAB
12、，DFAC，垂足分别是E、F，BE=CF.（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；图5（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明解：（1）3对分别是：ABDACD；ADEADF；BDECDF（2）BDECDF证明：因为DEAB，DFAC，所以BED=CFD=90，又因为D是BC的中点，所以BD=CD，在RtBDE和RtCDF中，所以BDECDF点评：本题考察三角形的全等知识。第（1）小题是根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面第（2）个问题具有一定的开放性，选择证明不同的结论，判定方法会有不同，这里根据HL可判断两个直角三角形全等考点6：全等三角形实际问题例9(2008年
13、西宁市) 如图6，一块三角形模具的阴影部分已破损（1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具的形状和大小完全相同的模具？请简要说明理由图6BCA分析：只要根据三角形全等的条件来判定即可（1）只要度量残留的三角形模具片的的度数和边的长，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（2）按尺规作图的要求，正确作出的图形点评：本题是同学们生活中经常遇到的问题，重点考查同学们运用三角形全等的知识解决生活中遇到的问题的能力考点7：作图题例10（2008年无锡市）已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为图7（1）请你借助图7画出一个满足题设条件的
14、三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图3的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹2cm1cm402cm1cm40图8图9分析：已知条件是两边与一角，应该有两种情况，一种是两边和其中一边的对角，另一种情况是两边及其夹角，然后用尺规作图即可.解：（1）作图如图8；（2）如图9；（3）这一条件，且彼此不全
15、等的三角形共有满足4个点评：本题考查全等三角形和尺规作图，通过作图，进一步探究为什么“SSA”不能证三角形全等.考点8：全等三角形综合应用例11（2008年泰安市）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图10（1）所示放置，图10（2）是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结图10（2）图10（1）DCEAB（1）请找出图10（2）中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试问：DC与BE位置关系如何？说明你的理由 分析：第（1）问主要是考查三角形全等的方法，判断三角形全等的方法有SSS、SAS、AAS、ASA，只要对照找条件即可；第（2）问只要证明即可.（1）解：图10（2）中.证明如下：与均为等腰直角三角形，即，.（2）.理由：由（1）知，又，. 点评：本题主要是考查三角形全等的判定以及判定的方法，证明垂直问题的思路等，考查了学生的综合能力.
