1、授课提示：对应学生用书第327页A组基础保分练1已知抛物线y22px(p0)的焦点F到直线3x4y40的距离等于，则抛物线的准线方程为()Ax1Bx2Cx1Dx2答案：D2(2021长沙模拟)A是抛物线y22px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的准线方程是()Ax1By1Cx2Dy2答案：A3(2021滨州模拟)若抛物线y22px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()Ay24xBy26xCy28xDy210x答案：C4过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A
2、4BC5D6解析：易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20，得xAxB1，因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得xA12(xB1)，即xA2xB1，由解得xA2，xB，所以|AB|AF|BF|xAxBp.答案：B5(2021合肥检测)已知双曲线x21的两条渐近线分别与抛物线y22px(p0)的准线交于A，B两点O为坐标原点若OAB的面积为1，则p的值为()A1BC2D4解析：双曲线的两条渐近线方程为y2x，抛物线的准线方程为x，故A，B两点的坐标为，|AB|2p，所以SOAB2p1，解得p.答案：B6(2021广东六校联考)抛物线y2x2上有一动弦
3、AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为()A.BC.D1解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为ykxb，由题意知y0b0，联立得整理得2x2kxb0，k28b0，x1x2，x1x2，则|AB|，点M的纵坐标y0xxb.因为弦AB的长为3，所以3，即(1k2)9，故(14y04b)(y0b)9，即(14y04b)(4y04b)36.由基本不等式得，(14y04b)(4y04b)212，当且仅当时取等号，得18y012，y0，故点M的纵坐标的最小值为.答案：A7已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，2)，则此抛物线的标准方程为_答案
4、：x28y8直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p_，_.解析：由1，得p2.当直线l的斜率不存在时，l：x1，代入y24x，得y2，此时|AF|BF|2，所以1；当直线l的斜率存在时，设l：yk(x1)(k0)，代入抛物线方程，得k2x22(k22)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，1.综上，1.答案：219已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，
5、求点N的坐标解析：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2，抛物线方程为y24x.(2)点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA.MNFA，kMN.又FA的方程为y(x1)，故MN的方程为y2x，解方程组得x，y，N的坐标为.10(2021襄阳联考)动点P到定点F(0,1)的距离比它到直线y2的距离小1.设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A，B两个不同的点，过点A，B分别作曲线C的切线，且两切线相交于点M.(1)求曲线C的方程；(2)求证：0.解析：(1)由已知得动点P在直线y2的上方，条件可转化为动点P到定点F(0,1)的距离等于它
6、到直线y1的距离，动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，故其方程为x24y.(2)证明：设直线AB的方程为ykx1.则得x24kx40.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB4k，xAxB4.由x24y得yx2，yx.直线AM的方程为yxxA(xxA)，直线BM的方程为yxxB(xxB)，得(xx)(xAxB)x(xx)，x2k.将x代入，得yxxAxAxBx，yxAxB1，M(2k，1)(2k,2)，(xBxA，k(xBxA)，2k(xBxA)2k(xBxA)0.B组能力提升练1已知抛物线y22px(p0)，O是坐标原点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则
7、使POF是直角三角形的点P共有()A0个B2个C4个D6个解析：如图所示，过焦点F作PFx轴，交抛物线于点P，P，连接OP，OP，则OFP，OFP都是直角三角形显然POF不可能为直角若OPF90，易知F，设P，y0，可得，y，y2.0，0，0，与0矛盾，OPF不可能为直角综上，使POF是直角三角形的点P有且仅有2个答案：B2(2021贵州省适应性考试)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，该抛物线的准线与x轴交于点M，若|AF|4，则MAB的面积为()A.BC.D2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线的定义得|AF|x1x114，所以x13，代入抛物线方程y2
8、4x，得y2，不妨令A(3,2)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率为，所以直线AF的方程为y(x1)，由可得B，所以|AB|.又点M(1，0)到直线y(x1)的距离d，所以MAB的面积S.答案：A3(多选题)(2021海南嘉积中学模考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()AC的准线方程为y1B线段PQ的长度最小为4CM的坐标可能为(3,2)D.3恒成立解析：由焦点F到准线的距离为2，得抛物线C的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，A项错误设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线
9、PQ的方程为xmy1.联立消去y可得x2(4m22)x10，消去x可得y24my40，所以x1x24m22，y1y24m.|PQ|x1x2p4m244，故B项正确当m1时，可得M(3,2)，所以C项正确又x1x21，y1y24，所以x1x2y1y23，所以D项正确答案：BCD4(2021成都摸底)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l.若位于x轴上方的动点A在准线l上，线段AF与抛物线C相交于点B，且|AF|1，则抛物线C的标准方程为_解析：如图，设直线l与x轴交于点D，过点B作BEl于点E，则|DF|p.由抛物线的定义知|BE|BF|.设|BE|BF|m，因为AEBADF，所以
10、，即，所以，所以|AF|.由|AF|1，得1，解得p1，所以抛物线C的标准方程为y22x.答案：y22x5在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点A在抛物线C上，若|AO|AF|.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l与抛物线C交于P，Q两点，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求OPQ的面积的最大值解析：(1)因为点A在C上，|AO|AF|，所以点A的纵坐标为，所以，所以p2，所以抛物线C的方程为x24y.(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb(b0)，代入抛物线方程，可得x24kx4b0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x2
11、4b，所以y1y24k22b，因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以2k2b1，即2k21b0，所以0b1，SOPQb|x1x2|bbb(0b1)设yb3b2，y3b22b0，函数单调递增，所以当b1时，OPQ的面积取最大值为2.6已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程解析：设直线AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0，则x1x22pk，x1x22p
12、.(1)由x22py得y，则A，B处的切线斜率的乘积为，因为点N在以AB为直径的圆上，所以ANBN，所以1，所以p2.(2)易得直线AN：yy1(xx1)，直线BN：yy2(xx2)，联立，得结合式，解得即N(pk，1)|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，则ABN的面积SABN|AB|d2，当k0时，取等号因为ABN的面积的最小值为4，所以24，所以p2，故抛物线C的方程为x24y.C组创新应用练1(2021兰州模拟)设抛物线y28x的焦点为F，过点M(4,0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|4，则BCF与ACF的面积之比()A.BC.D解析：由抛物线
13、方程y28x，得焦点F的坐标为(2,0)，准线方程为x2.如图，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为E，N.设直线AB的方程为yk(x4)(k0)，则由消去y并整理得k2x2(8k28)x16k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x216.由抛物线的定义知|BF|BN|x224，所以x22，所以x18，所以|AE|x1210.因为BNAE，所以.答案：D2(多选题)已知抛物线C：y28x的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，经过M点且斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论中正确的是()Ak的取值范围是(1,1)By1y28x1x2C存在k
14、，使得以AB为直径的圆经过点FD若ABF的面积为16，则直线AB的倾斜角为或解析：依题意得，F(2,0)，M(2,0)，直线l的方程为yk(x2)，联立得消去y得k2x2(4k28)x4k20，因为直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以解得1k1且k0，故A选项错误；因为x1x24，所以yy8x18x2644256，易知y1，y2同号，所以y1y216，于是y1y24x1x2，故B选项错误；由于(x12，y1)，(x22，y2)，所以x1x22(x1x2)4y1y24241632，显然当k2时，0，此时AFB为直角，即以AB为直径的圆经过点F，故C选项正确；AFB的面积S|SMFASMFB|MF|y1y2|2，而y1y2k(x12)k(x22)k(x1x24)，y1y216，所以S216 ，令S16，得k，所以直线AB的倾斜角为或，故选项D正确答案：CD
