1、1.2应用举例课时过关能力提升1已知从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系是()A.B.=C.+=90D.+=180解析 要正确理解仰角、俯角的含义,准确地找出仰角、俯角的确切位置,如图,从A处望B处的仰角与从B处望A处的俯角是内错角(根据水平线平行),即=.答案B2如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,已知从A,B两点测得树尖的仰角分别为30,45,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为()A.(30+303)mB.(30+153)mC.(15+303)mD.(15+33)m解析设树高为h.由正弦定理,得60sin(45-30)=PBsin30,PB=6
2、012sin15=30sin15=30(6+2)(m),h=PBsin 45=(30+303)m.答案A3已知在船A上测得它的南偏东30的海面上有一灯塔,船以每小时30海里的速度向东南方向航行半个小时后,于B处看得灯塔在船的正西方向,则这时船和灯塔相距()A.15(6-2)2海里B.152-562海里C.15(6-2)4海里D.152-564海里解析 如图所示,设灯塔为C,由题意可知,在ABC中,BAC=15,B=45,C=120,AB=300.5=15(海里).由正弦定理,得BCsinBAC=ABsinC,可求得BC=15sin120sin 15=15326-24=152-562(海里).答
3、案B4已知一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15方向上,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后,又测得灯塔S在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.20(6+2)海里/时B.20(6-2)海里/时C.20(6+3)海里/时D.20(6-3)海里/时答案B5如图所示,ABC是简易遮阳棚,A,B是南北方向上的两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成40角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角为()A.75B.60C.50D.45解析如图,作CE平面ABD于点E,则CDE是太阳光线与地面所成的角,即CDE=40,延长DE交直线AB于点F,连接CF,
4、则CFD是遮阳棚与地面所成的角,设为.要使SABD最大,只需DF的长度最大.在CFD中,CFsin40=DFsin(140-).DF=CFsin(140-)sin40.CF为定值,当=50时,DF的长度最大.答案C6已知在湖面上高h m处,测得天空中一朵云的仰角为,测得云在湖中倒影的俯角为,则云距湖面的高度为m.解析如图,设湖面上高h m处为A,测得云C的仰角为,测得C在湖中倒影D的俯角为,CD与湖面交于点M,过A的水平线交CD于点E.设云高CM=x m,则CE=(x-h)m,DE=(x+h)m,AE=x-htan m.又AE=x+htan m,x-htan=x+htan.整理,得x=tan+
5、tantan-tanh=-sin(+)sin(-)h.答案-sin(+)sin(-)h7如图,某炮兵阵地位于点A,两观察所分别位于C,D两点.已知ACD为正三角形,且DC=3 km,当目标出现在B时,测得CDB=45,BCD=75,则炮兵阵地与目标的距离为.(精确到0.01 km)解析在BCD中,CDB=45,BCD=75,CBD=180-BCD-CDB=60.由正弦定理,得BD=CDsin75sin60=12(6+2)(km).在ABD中,ADB=45+60=105,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos 105=3+14(6+2)2+2312(6+2)14(6-2)=5+2
6、3.AB=5+232.91(km).炮兵阵地与目标的距离约是2.91 km.答案2.91 km8在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A为(3-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75方向,距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船,此时,走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船,并求出所需时间.(结果保留根号,无需求近似值)解如图,设缉私艇t小时后在D处追上走私船,则BD=10t海里,CD=103t海里.BAC=45+75=120,在ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=(3
7、-1)2+22-2(3-1)2cos 120=6,BC=6 海里.由正弦定理,得sinABC=ACsinBACBC=2sin1206=22,ABC=45.BC为东西走向,CBD=120.在BCD中,由正弦定理,得sinBCD=BDsinCBDCD=10tsin120103t=12,BCD=30,BDC=30.BD=BC=6,即10t=6,t=610.答:缉私艇沿北偏东60方向行驶才能最快追上走私船,需610小时.9甲船在A处,乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处,乙船以10 n mile/h的速度向正北方向行驶,而甲船同时以8 n mile/h的速度由A处向北偏西60方向行驶,问经过多长时间
8、后,甲、乙两船相距最近?分析假设t h后,甲、乙两船相距最近,但此时乙船可能在A处南边,也可能在A处北边,因此需分类讨论,进而用余弦定理,利用二次函数求最值,将问题解决.解设甲、乙两船经过t h后相距最近,且分别到P,Q两处,因乙船到达A处需2 h,(1)当0t2时(如图),在APQ中,AP=8t,AQ=20-10t,PQ=AQ2+AP2-2APAQcos120=(20-10t)2+(8t)2-2(20-10t)8t-12=84t2-240t+400=221t2-60t+100.(2)当t2时(如图),在APQ中,AP=8t,AQ=10t-20,PQ=AQ2+AP2-2AQAPcos60=221t2-60t+100.综合(1)(2),可知PQ=221t2-60t+100(t0).当t=3021=107时,PQ最小.甲、乙两船行驶107 h后,相距最近.
