1、高考资源网（） 您身边的高考专家高 二 数 学（第32讲）【教学内容、目标】第十章 排列 组合 和概率概率2（互斥事件、相互独立事件，独立重复试验）要求：1、了解互斥事件、相互独立事件、独立重复试验（n重贝努里试验）的概念。 2、会计算“互斥事件至少有一个发生的概率”， 会计算“相互独立事件同时发生的概率”。 3、会计算与独立重复试验有关的概率问题。【学习指导】1、随机事件的运算（1）“事件A与B中至少有一个发生”即事件A、B的并，记作A+B(或AB)（2）“事件A、B同时发生”即事件A、B的交（积），记作AB（AB）示意图ABAB（阴影部分）表示A+B表示AB2、互斥事件有关问题（1）若事件
2、A、B不可能同时发生，则称A、B为互斥事件（互不相容事件）即AB（或AB=）（2）若A、B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）（3）若A、B互斥且A、B中至少有一个事件要发生，即若A不发生，则B发生，若A发生则B不发生，则称A、B为对立事件。记B为。 （注）（4）若A1,A2,An彼此互斥，则P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)3、相互独立事件及有关问题（1）若A（B）事件的发生与否对B（A）事件发生的概率没有影响，则称A、B为相互独立事件。（2）若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)若A1,A2,An相互独立，则P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(
3、An) （注）事实上A,B相互独立P(AB)=P(A)P(B)，但不能将这一命题推广到三个事件相互独立的情况。 如：若A、B、C相互独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)但P(ABC)=P(A)P(B)P(C)A,B,C 相互独立4、独立重复试验（n垂贝努里试验）（1）每次试验只有两个结果，A或（A发示 A事件发生）（2）若P(A)=P，P()=q，则在n次试验中，A事件发生k次的概率为： Pn(k)=CnkPkq1-k (注p+q=1)（3）Pn(k)是二项式(p+q)n展开式的第k+1项，因此独立重复试验的概率公式又叫做概率的二项公布。【典型例题分析】例1、某人射击一次，如果事件A“中
4、靶”的概率为0.95，事件B“中靶环数大于5”的概率为0.7，（中靶的环数以0，1，2，10计），那么：（1）“不中靶”的概率是多少？（2）“中靶环数小于6”的概率是多少？（3）“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？分析与解：依本题的题意，我们可以将“射击一次”这个试验的结果分成下列两组相互对立的事件：（1）A=中靶，P(A)=0.95，则=不中靶，P()=1-P(A)=0.05（2）B=中靶环数大于5，P(B)=0.7，则=中靶环数小于6，P()=0.3（3）记C=中靶环数大于0且小于6列表中靶环数i0 1i5 i6概率P0.05 x 0.7注意到C+B+=，且C、B、三个事件两两互斥P(
5、C)=1-P()-P(B)=0.25回顾：1、一次试验的结果可以分成若干个互斥的事件，所有这些事件的概率之和应为1（可以列张表，这样的表今后将被称为分布列）2、“中靶环数大于0且小于6”也可以看作为事件A，可P(A)P(A)P()因为事件A与事件不独立。例2、判断下列试验中的事件A、B，哪些是互斥事件？哪些是相互独立事件？（1）五人抽签决定一个出线名额，记A“甲抽中”记B“乙抽中”。（2）五把钥匙中有一把可以打开门，现每次选一把试开，记A“第一次打开门！”记B“第三次打开门。”在下列条件（用后放回；用后不放回）下判断。（3）口袋中3白、2红共五个球，记A“从中任取一只球，得白球。”记B“取出的
6、球不放回，从中任取一只球，得红球。”分析与解：（1）A、B是互斥的，因为只有一个出线名额，甲、乙不可能同时抽中。（2）在（用后放回）条件下，A、B是相互独立的，不轮第一次能否打开门，第三次打开门的概率都是。 在（用后不放回）条件下，A、B是互斥的，在这个前提下，五次试开中有且仅有一次能打开门，A、B不可能同时发生。（3）A、B既不互斥，也不独立。A、B可以同时发生（第一次取白球，第二次取红球）A发生时，B发生的概率为，A不发生时，B发生的概率为。故A、B不独立。回顾：1、从概念上看，互斥事件与相互独立事件之间，分属不同的判断系统。互斥事件可以用文氏图，从集合论的角度加以理解，而相互独立事件是不
7、能用文氏图来辅助理解的，因而掌握时更加困难。2、可以验证，对于两个随机事件A、B。（P(A),P(B)（0，1）必有：A、B互斥则A、B不独立，A、B独立则A、B不互斥。（反之不成立）例3、有两门高射炮，每门射击一次，击中敌机的概率都为0.6，现两门炮同时射击一次。求：（1）都击中敌机的概率；（2）恰有一门击中敌机的概率；（3）至少有一门击中敌机的概率；（4）若要使击中敌机的概率不小于0.99，至少需要多少门这样的高射炮同时射击一次？解：记A=甲炮击中敌机，B=乙炮击中敌机，则事件A、B相互独立且P(A)=P(B)=0.6（1）AB=都击中敌机 P(AB)=P(A)P(B)=0.36（2）恰有
8、一门炮击中敌机=A+BP(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.48（3）“至少有一门炮击中敌机”的对立事件为“没有一门炮击中敌机”其概率P=1-P()=1-0.40.4=0.84（4）设需要n门高射炮，据题意要求至少有一门炮击中敌机。其概率为P=1-(0.4)n, 1-(0.4)n0.99，即0.4n0.01，nlog0.40.015.03（注：取lg2=0.3010，用换底公式）故至少6门高射炮同时射击一次。例4、如图，用A、B、C三种不同的元件连结成两个系统，N1,N2，当A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且B、C至少有一个正常工作时，
9、系统N2正常工作。已知元件A、B、C能正常工作的概率依次为0.80, 0.90，0.90，分别求系统N1、N2正常工作的概率。解：分别记元件A、B、C能正常工作的事件为A、B、C，则：P(A)=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90（1）系统N1正常工作即A、B、C同时正常工作，即ABC事件发生。P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.80.90.9=0.684（2）系统N2正常工作即事件A（B+C）发生，（关键求P（B+C） (N1) A B C C B (N2) A （解法一）B、C至少有一个发生对应三种情况：B发生，C不发生；B不发生，C发生；B、C都发生。 =0
10、.80.90.1+0.80.10.9+0.80.90.9 =0.792（解法二）“B、C至少有一个发生”的对立事件为“B、C都不发生” 即 P2=P(A(B+C)=P(A)P(B+C)=P(A)(1-P()P()= 0.8（1-0.10.1）=0.80.99=0.792（解法三）B、C不互斥，则P(B+C)=P(B)+P(C)-P(BC)=0.9+0.9-0.81=0.99P2=P(A(B+C)=P(A)P(B+C)=0.80.99=0.792回顾：1、本题为2001年天津、江西、山西高考题 2、解法二用到了狄摩根律：例5、甲、乙两只冰箱内各有5听饮料，某人在每次饮同时，在任一冰箱内任取一听，
11、求甲冰箱已空，而乙冰箱还剩3听饮料的概率。解：甲冰箱已空，乙冰箱还剩3听，则一共取了7次，每次取甲、乙冰箱的概率均为P=。在这7次中，恰有5次取了甲冰箱，有2次取了乙冰箱，故这7次（取法）可视为7次独立重复实验，故当甲空而乙有3听饮料的概率为：回顾：本题相当于“甲、乙两盒各有若干只相同的小球，每次从两盒中任选一盒，取一只小球，向甲盒被取了5次，而乙盒被取了2次的概率。” 注意每次取的时候，能区分的仅为冰箱，与冰箱中的饮料是无关的，故每次试验的样本空间都为甲、乙，而取甲、还是取乙的概率都是，因此这个试验可被视为独立重复试验。【同步练习】1、某产品共50个，其中正品45个，次品5个，从中任取三个，
12、出现至少一件次品的概率为。2、某房间内有4个人，至少有两个人生日相同（以每年365天计）的概率为。3、从4名男生，5名女生任选3人组成代表队，则男生人数不超过2人的概率 。4、同一试题，甲解出此题的概率为，乙解出此题的概率为，丙解出此题的概率为，甲、乙、丙三人独立解题，则恰有一人解出此题的概率为。5、某植物种子的发芽率为0.9，现种下此类种子5粒，恰有2粒种子发芽的概率为 。6、某气象站的天气预报准确率为0.8，在一周内（7天），连续5天预报准确的概率为。7、已知某人解每道题的正确率都为，则该人解五道题答对3题的概率为 。8、某厂生产的灯泡使用寿命超过1000小时的概率为0.8，则同样的三个灯
13、泡在使用1000小时后，至多只有一个坏的概率为。9、甲、乙两人比赛象棋，已知甲胜乙的概率为0.32，甲不输的概率为0.63，若两人连赛2盘，则乙都不输棋的概率为。10、某产品有3个零件A、B、C，若A、B、C都是正品，所得产品才是合格品，已知A、B的合格率分别为0.98，0.97，又已知该产品的次品率约为6%，则零件C的次品率为。11、有10张足球票，其中5张10元面值，3张20元面值，2张50元面值，从这10张球票中任取3张，求票价之和为80元的概率。12、如图，电路由A、B、C三个元件构成，A、B、C三个元件发生故障的概率分别为0.2，0.2，0.3，求电路能正常工作的概率。 B A C
14、13、某单位有20人，已知有8人为A型血，4人为B型血，1人为AB型血，7人为O型血。已知，O型血的人能输血给任何人，AB型血的人能接受任何人的输血，同血型的人也可以互相供血。现从中，任取两人，问这两人可以完成一次供、输血的概率。【练习答案】1、 一件次品也没有的概率 至少一件次品的概率2、 没有任何人生日相同的概率为 至少2人生日相同的概率为3、 即求“男生人数至多2人”的概率，其对立事件为“男生人数超过2人”即“男生有3人”其概率为4、 记A、B、C分别为甲、乙、丙解出此题的时间“恰有1人解出此题”即 5、0.0081 即5次独立重复试验中某事件发生2次的概率 P5(2)=6、0.0393
15、 因要求连续五天预报正确，只可能周一周五或周二周六或周三周日三种情况。故P=30.850.22=0.03937、 8、0.896 三个都不损坏P1=0.83，只坏一个 P=P1+P2=0.8969、0.4624 记A=甲胜乙，则=甲不胜乙=乙不输，连赛2盘，乙都不输棋，对应于事件，10、0.01 设C的合格率为P(C)=x，则1-0.980.9x=0.06x0.99，次品率11、解：票价之和为80元则可能为1张10元，1张20元，1张50元：12、解：设元件A、B、C能正常工作的事件为A、B、C，P(A)=0.8, P(B)=0.8, P(C)=0.7 则电路能正常工作的事件为A(B+C) P=P(A(B+C)=P(A)P(B+C)=P(A)(1-P()P() =0.8(1-0.20.3)=0.75213、解：注意到选出相同血型的两个人可以彼此供血，而不同血型的两个人只有当一人为A型，另一人为B型时，才不能完成一次供输血。故- 8 - 版权所有高考资源网
