1、向量的数量积新知探究问题1 前面我们已经学习了向量的加法和减法，请你归纳一下它们的结果有什么共同的特点？向量的加法和减法的运算结果仍是向量新知探究问题2 向量与向量之间有没有“乘法”呢？如果有，这种新的运算结果又是什么呢？还有，向量的加法与减法都能从物理学知识找到“原型”，如力的合成与分解那么，在物理学中有没有关于向量乘法的“原型”呢？请你具体说说向量与向量之间有“乘法”，其运算结果是数如图所示，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功WFscos，其中是F与s的夹角，注意要满足的条件是0180sFF1F2新知探究问题3 物理学中“求力所做的功”是两个矢量间的某种运算，在数学上，
2、矢量不考虑作用点就是向量，如果是两个向量，你能“定义”这种新的运算吗？思考后完成下表两个矢量F和s两个向量a与bF和s的夹角WFscos ababcos a与b的夹角是新知探究问题4 零向量有没有数量积呢？应该如何定义？有，零向量的数量积是零新知探究问题5 向量夹角与数量积的符号有什么关系？当0 90时，ab0；当90时，ab0；当90180时，ab0；当0时，abab；当180时，abab新知探究问题6 已知三角形ABC中，0，则三角形ABC的形状为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等腰直角三角形 cos B0，又B为ABC的内角，cos B0，B，故A正确2A新知探究问题7 在初中
3、我们学过的投影的定义是什么？一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影新知探究水平的力在做功，即功还可以理解为力F的水平分力的大小Fcos 与位移的大小s的乘积问题8 回到功的物理意义：小物块在力F的作用下在水平方向上运动位移s，如果把力F分解成水平分力和垂直分力，那么哪个力在真正做功呢？问题9 再抽去物理意义，bcos 的含义是什么呢？向量b在a方向上的投影新知探究问题10 根据上述分析，你能给出投影向量的定义吗？如图所示，已知两个非零向量a和b，作a，b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A，得到a在b上的投影r，r称为投影向量acos称为投影向量r的数量，也
4、称为向量a在向量b方向上的投影数量，BAAbrO可以表示为a a新知探究问题11 向量数量积的几何意义是什么？几何意义是：或a的长度a与b在a方向上投影数量bcos 的乘积a与b的数量积等于b的长度b与a在b方向上的投影数量acos 的乘积新知探究问题12 已知两个非零向量a，b，为a与b的夹角，e为与b 方向相同的单位向量据数量积公式，计算ae，aaae a e cos a cos，aa a a cos 0 a 2新知探究追问1：若ab0，则a与b有什么关系？ab0，a0，b0，cos 0，90，ab追问2：当0和180时，数量积ab分别是什么？当0时，ab a b；当180时，ab a b
5、新知探究问题13 你能写出向量数量积的性质吗？数量积的性质（1）若e是单位向量，则eaaeacos（2）若ab0ab（3）aaa2，即a =2（4）cos（ab0）（5）abab，当且仅当ab时等号成立新知探究问题14 a（bc）（ab）c成立吗？（ab）ca（bc），因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，因此，（ab）ca（bc）在一般情况下不成立所以（ab）c与向量c共线，a（bc）与向量a共线例1 如图，已知向量a与b，其中a3，b4，且a与b的夹角是150初步应用（1）求ab；（2）求向量b在a方向上的投影数量，并画图解释（1）6 3；（2）2 3（详解参考教材P102例1的解析）
6、ababOBB1A初步应用例2 已知向量a，b，c，其中a4，b6，且a与c的夹角120，b与c的夹角60，求ab在c方向上的投影数量1（详解参考教材P103例2的解析）例1 已知a4，b3，（2a3b）（2ab）43初步应用（1）求a与b的夹角；（3）若（ab）（ab），求实数的值（2）求ab；解答：（1）（2a3b）（2ab）4a28ab3b2648ab2743，ab6，即abcos 12cos 6，cos ，120，3 例1 已知a4，b3，（2a3b）（2ab）43初步应用（1）求a与b的夹角；（3）若（ab）（ab），求实数的值（2）求ab；（2）ab2（ab）2a22abb2161
7、2937，（3）（ab）（ab），（ab）（ab）0，即a2（1）abb2166（1）90，103解得：ab 37初步应用追问1：若ab，则ab等于多少？反之成立吗？ab0ab追问2：ab与ab的大小关系如何？为什么？abab因为ababcos 由cos 1，可得abab初步应用追问3：对于向量a，b，如何求它们的夹角？求夹角时先求两个向量a，b夹角的余弦值然后根据向量夹角的取值范围求角课堂练习练习：教科书第103页练习1，2，3，4归纳小结（1）从向量运算角度看，数量积是向量与向量之间的一种运算，数量积运算既有数量关系的表达式，又有明显的几何意义（2）从知识间联系的观点看，数量积的表达式中有
8、向量、向量的模、向量的夹角，这比以前的任何一种运算都丰富（3）从解决问题的角度看，在一定的条件下，可以运用向量的数量积，用代数运算的方法求向量的模的大小、向量的夹角的大小，进而可以解决几何问题中的有关平行、垂直的证明或角度等问题（4）有一句话：如果没有运算，向量只是一“路标”，因为有了运算，向量的力量无限问题15 本节课我们学习了平面向量的一种新型运算平面向量的数量积，与前面几种运算相比，请你说说这种运算具有怎样的特点？作业布置作业：教科书第107页，A组1，2，3，B组1，21目标检测 A已知a1，b2，a与b的夹角为，则ab等于（）A1B2C3D43解析：ab12cos 1，故选A32目标检测 D已知a8，b4，120，则向量b在a方向上的投影为（）A4B4C2D2解析：向量b在a方向上的投影为bcos4cos 12023目标检测 2已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta（1t）b若bc0，则t_解析：因为bc0，所以bta（1t）b0，即tab（1t）b20，又因为ab1，a，b的夹角为60，所以 t1t0，所以t2124目标检测 如图，在ABCD中，4，3，DAB60，求：（1）；（2）ABCD解答：（1）因为，且方向相同，所以与的夹角是0，（2）因为与的夹角为60，所以 cos 120所以与的夹角为120，43 6 12所以 cos 03319再见
