1、高考资源网（） 您身边的高考专家北京十五中高一年级数学期中试卷一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共75分；把答案填涂在机读卡上）1. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A. 棱柱B. 棱台C. 圆柱D. 圆台【答案】D【解析】由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台故选D2.在区间上随机取一个实数x，则x使不等式成立的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求解绝对值不等式，求得满足题意的解集的区间长度，除以的区间长度即可.【详解】由，可得：，又，故满足题意的解集为，故满
2、足题意的区间长度为：3，所在区间的区间长度为：4，根据几何概型计算公式可得：，故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、交集求解，以及几何概型.3.已知中，那么角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：三角形中由正弦定理得.,所以.即选C.本题的关键就是正弦定理的应用.考点：正弦定理.4.ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c若a3，b4，C60，则c的值等于 ( )A. 5B. 13C. D. 【答案】C【解析】分析】由余弦定理可得c的值.【详解】 故选C【点睛】本题考查应用余弦定理求解三角形的边长，意在考查余弦定理的掌握情况，解题中要注意选择合适的表达式，准
3、确代入数值.5.ABC中, 如果, 那么ABC是（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由正弦定理得，所以，,所以，同理可得，所以三角形是等边三角形.考点：正弦定理在三角形中的应用.6.已知A船在灯塔C北偏东70方向处，B船在灯塔C北偏西50方向处，则A，B两船的距离为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由方位角可知中的两边及夹角，由余弦定理即可求得.【详解】根据题意，作图如下：易知在中，故由余弦定理可得：解得：，则故选：A.【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题.7. 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等
4、于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A. 1:2:3B. 2：3：4C. 3:2:4D. 3:1:2【答案】D【解析】本题考查圆柱、圆锥、球的体积公式及运算.设球的半径为则圆柱、圆锥的底面半径都为圆柱、圆锥的高都为所以圆柱、圆锥、球的体积分别为；则则圆柱、圆锥、球的体积的比为故选D8.正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出.【详解】因底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.【点睛】本题
5、主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题.9.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的棱长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由三视图得出该几何体的直观图，结合题意求解即可.【详解】由三视图可知其直观图，该几何体为四棱锥P-ABCD，最长的棱为PA，则最长的棱长为，故选A【点睛】本题主要考查几何体的三视图，属于基础题型.10.下表是某校120名学生假期阅读时间(单位: 小时)的频率分布表，现用分层抽样的方法从，四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（ ）分组频数频率120.10300.40n0.25合计120100A. 2，5，
6、8，5B. 2，5，9，4C. 4，10，4，2D. 4，10，3，3【答案】A【解析】【分析】根据频率与频数的关系，可求得分布表中的参数；再由样本容量与总体数量可得抽样比例，根据该比例，即可求得每组抽取的人数.【详解】由题可得：，由样本容量20，与学生总人数120，可得：抽样比例=，故在区间有12人，故从该组抽取12人；在区间有30人，故从该组抽取人；在区间有48人，故从该组抽取人；在区间有30人，故从该组抽取人.故选：A.【点睛】本题考查频数分布表中参数的计算，以及分层抽样，其核心是利用等比例进行计算.11.以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况.乙队记录中有一个数字模
7、糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m表示.那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（ ）甲队乙队873 280 3 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别计算两队的平均分，再求解满足题意的可能取到值的个数，除以所有可能取值的数量，即为概率.【详解】由题可得：甲队的平均分=；乙队的平均分=；的取值可以为0,1,2,3，9，共10种可能；若满足乙队平均分超过甲队平均分，则：，解得，故有9种可能，故满足题意的概率，故选：D.【点睛】本题考查茎叶图中平均数的计算、古典概型的计算，属基础题.12.为了了解在一个小水库中鱼养殖情况，从这个小水库中的多处不同位置捕
8、捞出100条鱼，将这100条鱼做一记号后再放回水库. 几天后再从水库的不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条. 根据上述样本，我们可以估计小水库中鱼的总条数约为（ ）A. 20000B. 6000C. 12000D. 2000【答案】D【解析】【分析】由捕捞出120条鱼中有标记的有6条，可得标记的比例，进而求解鱼的总数.【详解】设鱼的总数为，则由题可知：，解得，故选：D.【点睛】本题考查用样本估计总体的方法，属基础题.13.某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组（15号，610号，19
9、6200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ）A. 3，8，13B. 2，7，12C. 3，9，15D. 2，6，12【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为20040=5，当第5组抽出的号码为22时，即22=45+2，所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，12故选：B【点睛】本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题14.一个正三棱柱的每一条棱长都是a，则经过底面一边和相对侧棱的不在该底面上的端点的截面面积为（ ）A. B. C
10、. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，找出截面三角形，求得三边长度，利用余弦定理求一个角，再用面积公式即可.【详解】由题意，作图如下：在中，由余弦定理可得：解得：，故由面积公式得：.故选：A.【点睛】本题考查几何体截面面积的求解，属于中档题；要把空间问题转化为平面问题.15.中，、的对边的长分别为、，给出下列四个结论：以、为边长的三角形一定存在；以、为边长的三角形一定存在；以、为边长的三角形一定存在；以、为边长的三角形一定存在.那么，正确结论的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法或验证三边形三边是否满足“两边之和大于第三边”，从而对各命题的正误进行
11、判断.【详解】对于命题，取，则，不满足三边关系，命题错误；对于命题，由题意知，同理可得，命题正确；对于命题，取，则，不满足三边关系，命题错误；对于命题，同理可得，命题正确.故选C.【点睛】本题考查三角形是否存在的判断，解题的关键就是三角形三边关系“两边之和大于第三边”的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案作答在答题纸上）16.一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为 .【答案】6【解析】【详解】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.17.已知正方体外接球的表面积是12，那么正方体的棱长等于_.【答案】2【解析】【分析
12、】由球的表面积可得球的半径，通过半径和正方体棱长之间的关系，即可求得棱长.【详解】由题可知：，解得：，又正方体棱长与其外球球半径关系为：，代入求得2.故答案为：2.【点睛】本题考查正方体外接球半径与正方体棱长之间的关系，需要牢记：.18.随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为_cm；样本数据的方差为_.【答案】 (1). 172 (2). 45【解析】【分析】根据平均数与方差的计算公式，代值计算即可.【详解】由平均数的计算公式可得：平均身高=由方差的计算公式可得样本方差=45.故答案为：
13、172；45【点睛】本题考查平均数和方差的计算公式，属于基础知识题.19.某单位有职工人，其中青年职工人，中年职工人，老年职工人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为人，则样本容量为 【答案】15【解析】设样本容量为x人，20.设ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.则的周长的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】反凑余弦定理，求得角A；再利用余弦定理，结合均值不等式，以及两边之和大于第三边，进而求得三角形周长的范围.【详解】由，可得：，化简得：，即得：，又，解得：；由余弦定理可得：，整理得：即：由均值不等式：即：解得：，当且仅当时，取
14、得最大值.又根据两边之和大于第三边，可得：，综上所述：，故周长范围：.故答案为：.【点睛】本题考查利用余弦定理、均值不等式求解三角形周长的范围问题；其难点是利用均值不等式进行变式.三、解答题：（本大题共4个小题，共50分）21.随机抽取某中学甲乙两班各6名学生，测量他们的身高(单位:cm)，获得身高数据的茎叶图如下图.甲班29 1 08 2181716乙班00 1 4 73（1）判断哪个班的平均身高较高, 并说明理由； （2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这6名学生中随机抽取两名学生，求至少有一名身高不低于学生被抽中的概率.【答案】（1），估计乙班平均身高高于甲班；（2）45；（3）【解析
15、】【分析】（1）由平均数的计算公式分别计算两组样本的平均数，之后进行比较；（2）由方差的计算公式求解即可；（3）求得从6名学生中抽2名学生的全部事件个数，再找出满足题意的事件个数，用古典概型的计算公式即可求得.【详解】（1）由茎叶图可知：甲班样本平均身高 (单位：cm) 为：； 乙班样本平均身高 (单位：cm) 为：.由可以估计乙班平均身高高于甲班. （2）由（1）得 ，所以，甲班的样本方差为： . （3）设“至少有一名身高不低于175cm的同学被抽中”的事件为A. 从乙班6名学生中抽中两名学生有：（180，177），（180，174），（180，171），（180，170），（180，163
16、），（177，174），（177，171），（177，170），（177，163），(174, 171)，（174，170），（174，163），（171，170），（171，163），（170，163），共15个基本事件，而事件A含有9个基本事件， 所以.所以，至少有一名身高不低于175cm的同学被抽中的概率为.【点睛】本题考查平均数的计算公式、方差的计算公式、古典概型的计算，属综合基础题.22.北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：，加以统计，得到如图
17、所示的频率分布直方图.（1）给出图中实数a的值；（2）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中，月均用水量低于8吨的约有多少户；（3）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组的概率.【答案】（1）；（2）1300；（3）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中的概率和为1，将所有长方形面积计算后相加即可；（2）先计算样本中月均用水量低于8吨的频率，之后乘以总数，即可求得；（3）分别计算从月均用水量不低于10吨的人中抽取2名的所有事件个数和满足题意的事件个数，再利用古典概型计算公式求解.【详解】（1
18、）因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间的频率为，所以，图中实数. （2）由图可知， 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为：， 所以小明所在学校2000名同学家庭中，月均用水量低于8吨的约有：(户). （3）设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组”为事件A，由图可知，样本数据中月均用水量在的户数为.记这四名同学家庭分别为；月均用水量在的户数为.记这两名同学家庭分别为；则选取的同学家庭的所有可能结果为：共15种， 事件A的可能结果为：共8种， 所以.【点睛】本题考查频率分布直方图的性质（面积和为1）、用样本估计总体、古典概型，属综合基础题.23.在中，分别为角所对的三边，已知（
19、）求角的值；（）若，求的长【答案】（）；（）【解析】【试题分析】（1）依据余弦定理可得及题设可求得，进而求出的值；（2）先借助题设条件，求出 ，再运用正弦定理求出的长： (1)(2) =24.在中，角的对边分别为，.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由内角和定理得：，结合与的值，即可求得；（2）由（1）所得结论，利用正弦定理，求得，代入面积公式即可求得.【详解】（1）A、B、C为的内角，且， .（2）由（1）知，又，在中，由正弦定理，得；故：的面积【点睛】第一问考查内角和定理，以及正弦的差角公式，解简单三角形；第二问考查正弦定理、面积公式的使用；属综合基础题.- 17 - 版权所有高考资源网
