1、2021年上海市浦东新区华师大二附中高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题（共12小题）.1（1+2x）6展开式中x3项的系数为 （用数字作答）2若复数z满足2z+32i，其中i为虚数单位，则z 3已知数列an的前n项和为Sn2n1，则此数列的通项公式为 4已知，则的取值范围是 5椭圆x2+3y21的短轴长为 6若实数x，y满足不等式组，则x+y的最大值是 7集合Ax|y，By|ylog2（x+1），则AB 8方程x2+y24tx2ty+3t240（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程）9若an是等比数列，且，则a1 10定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项
2、为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有 个11在三棱锥DABC中，已知ABAD2，BC1，则CD 12在ABC中，A150，D1，D2，D2020依次为边BC上的点，且BD1D1D2D2D3D2019D2020D2020C，设BAD11，D1AD22，D2019AD20202020，D2020AC2021，则的值为 二、选择题（共4小题）.13已知平面直角坐标系中不垂直于x轴的直线l，则“l的斜率等于k”是“l的倾斜角等于arctank”的（）A充要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分又不必要条件14函数g（x）43
3、x的图象可看成将函数f（x）3x的图象（）A向左平移log34个单位得到B各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的4倍得到C向右平移log34个单位得到D各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的倍得到15设抛物线C：xay2+by+2（a0），若对于任意实数y，总有|x|2（等号可以取到），则该抛物线的焦点坐标为（）ABC（0，0）D16若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在0，+）上单调递增，则下列结论：y|f（x）|是偶函数；对任意的xR都有f（x）+|f（x）|0；yf（x）在（，0上单调递增；yf（x）f（x）在（，0上单调递增其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4三、解答题17已知向量（1+c
4、osx，1），（1，a+sinx）（为常数且0），函数f（x）在R上的最大值为2（1）求实数a的值；（2）把函数yf（x）的图象向右平移个单位，可得函数yg（x）的图象，若yg（x）在0，上为增函数，求的最大值18国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某钻石的价值V（美元）与其重量W（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元（1）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率；（2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉，证明：当MN时，价值损失的百分率最大（注：价值损失的百分率（原有价值现有价值）/原有价值100%，在切割过程
5、中的重量损耗忽略不计）19如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD（）求证：PD平面PAB；（）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（）在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由20在双曲线C：中，F1、F2分别为双曲线C的左、右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，PF1F2的重心为G，内心为I（1）求内心I的横坐标；（2）已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点F2与双曲线C交于M、N两点，若AM、AN的斜率k1、k2满足，求直线l的方程；（3）若IGF1F2，求点P的坐标21设数列
6、an（n3，nN*）是公差为d的等差数列（1）若d2，aR，讨论方程|xa1|+|xa3|a的根的个数；（2）若a11，d1，求函数f（x）|a1x1|+|a2x1|+|a100x1|的最小值；（3）若数列an满足：|a1|+|a2|+|an|a1+1|+|a2+1|+|an+1|a12|+|a22|+|an2|507，试求该数列项数n的最大值参考答案一、填空题（共12小题）.1（1+2x）6展开式中x3项的系数为160（用数字作答）解：通项公式Tr+12r，令r3，可得：（1+2x）6展开式中x3项的系数160故答案为：1602若复数z满足2z+32i，其中i为虚数单位，则z12i解：设za
7、+bi，（a、b是实数），则abi，2z+32i，2a+2bi+abi32i，3a3，b2，解得a1，b2，则z12i故答案为：12i3已知数列an的前n项和为Sn2n1，则此数列的通项公式为an2n1解：当n1时，a1S1211，当n2时，anSnSn12n1（2n11）2n1，又2111，所以an2n1，故答案为：an2n14已知，则的取值范围是3，13解：|即313故答案为：3，135椭圆x2+3y21的短轴长为解：椭圆x2+3y21的标准方程为：1，所以椭圆x2+3y21的短轴长为2b故答案为：6若实数x，y满足不等式组，则x+y的最大值是2解：如图即为满足不等式组的可行域，由得A（2
8、，0）由图易得：当x2，y0时x+y有最大值2故答案为27集合Ax|y，By|ylog2（x+1），则AB1，+）解：Ax|x1，BR，AB1，+）故答案为：1，+）8方程x2+y24tx2ty+3t240（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是x2y0（结果化为普通方程）解：把圆的方程化为标准方程得（x2t）2+（yt）22t2+4，圆心（2t，t）则圆心坐标为，所以消去t可得x2y，即x2y0故答案为：x2y09若an是等比数列，且，则a1解：设等比数列an的公比为q，0|q|1，由，可得2，则有2，由q1a1代入a1222q2，解得a1，故答案为：10定义“规范01数列”an如下：an共有
9、2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有14个解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0
10、，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共14个故答案为1411在三棱锥DABC中，已知ABAD2，BC1，则CD解：设BAC，DAC，|BC1，AC2+AB22ACABcos1，即AC24ACcos33，（）3，2ACcos2ACcos3，2ACcos2ACcos3，CD2（）224+AC22ACcos4+AC24ACcos+67，CD故答案为：12在ABC中，A150，D1，D2，D2020依次为边BC上的点，且BD1D1D2D2D3D2019D2020D2020C，设BAD11，D1AD22，D20
11、19AD20202020，D2020AC2021，则的值为解：注意到a1+2+2020150，在BAD1中，在D1AD2中，同理可得，又，sin2021，故答案为：二、选择题（共4小题）.13已知平面直角坐标系中不垂直于x轴的直线l，则“l的斜率等于k”是“l的倾斜角等于arctank”的（）A充要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D既非充分又不必要条件解：当k0时，由l的斜率等于k，可得l的倾斜角等于arctank，当k0时，由l的斜率等于k，可得l的倾斜角等于arctank，反之，l的倾斜角等于arctank，则直线l的斜率为tan（arctank）k“l的斜率等于k”是“l的倾斜角等于
12、arctank”的必要非充分条件故选：C14函数g（x）43x的图象可看成将函数f（x）3x的图象（）A向左平移log34个单位得到B各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的4倍得到C向右平移log34个单位得到D各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的倍得到解：设直线yt与函数f（x）3x及函数g（x）43x的图象分别相交于A、B两点，令 3xt，可得xlog3t，43xt 可得x，故A、B两点之间的距离为 log3tlog3t（ log3tlog34）log34，故函数g（x）43x的图象可看成将函数f（x）3x的图象，向左平移log34个单位得到的，故选：A15设抛物线C：xay2+by+2（a0）
13、，若对于任意实数y，总有|x|2（等号可以取到），则该抛物线的焦点坐标为（）ABC（0，0）D解：xay2+by+2a（y+）2+2，因为对于任意实数y，总有|x|2，所以b0，所以xay2+2，由于抛物线xay2+2是抛物线xay2的图象向右平移两个单位得到的，而xay2的焦点为（，0），所以抛物线xay2+2的焦点坐标为（+2，0）故选：A16若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在0，+）上单调递增，则下列结论：y|f（x）|是偶函数；对任意的xR都有f（x）+|f（x）|0；yf（x）在（，0上单调递增；yf（x）f（x）在（，0上单调递增其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4解：f（
14、x）是R上的奇函数，且f（x）在0，+）上单调递增，y|f（x）|是偶函数，故正确；对任意的xR，不一定有f（x）+|f（x）|0，故不正确；yf（x）在（，0上单调递减，故不正确；yf（x）f（x）f（x）2在（，0上单调递增，故正确故选：B三、解答题17已知向量（1+cosx，1），（1，a+sinx）（为常数且0），函数f（x）在R上的最大值为2（1）求实数a的值；（2）把函数yf（x）的图象向右平移个单位，可得函数yg（x）的图象，若yg（x）在0，上为增函数，求的最大值解：（1）f（x）1+cosx+a+sinx2sin（x+）+a+1因为函数f（x）在R上的最大值为2，所以3+a2
15、，故a1（2）由（1）知：f（x）2sin（x+），把函数f（x）2sin（x+）的图象向右平移个单位，可得函数yg（x）2sinx又yg（x）在0，上为增函数，g（x）的周期T，即2，的最大值为218国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某钻石的价值V（美元）与其重量W（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元（1）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率；（2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉，证明：当MN时，价值损失的百分率最大（注：价值损失的百分率（原有价值现有价值）/原有价值100%，在切割过程中的重量损耗
16、忽略不计）解：（1）有题意可得54000k32，k6000，把一颗3克拉的钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石后价值损失的百分率为：100%37.5%；（2）由（1）知，把一颗3克拉的钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉，则价值损失百分率为：（1）100%1且M+N3，MN时，取最小，此时1最大，即，当MN时损失百分率最大19如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD（）求证：PD平面PAB；（）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（）在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理
17、由【解答】（）证明：平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，且ABAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，PD平面PAD，ABPD，又PDPA，且PAABA，PD平面PAB；（）解：取AD中点为O，连接CO，PO，CDAC，COAD，又PAPD，POAD以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，1，0），C（2，0，0），则，设为平面PCD的法向量，则由，得，则设PB与平面PCD的夹角为，则；（）解：假设存在M点使得BM平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（）知，A（0，1，0），P（0，0，1），B（1，1，0），则有，可得M（0
18、，1，），BM平面PCD，为平面PCD的法向量，即，解得综上，存在点M，即当时，M点即为所求20在双曲线C：中，F1、F2分别为双曲线C的左、右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，PF1F2的重心为G，内心为I（1）求内心I的横坐标；（2）已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点F2与双曲线C交于M、N两点，若AM、AN的斜率k1、k2满足，求直线l的方程；（3）若IGF1F2，求点P的坐标解：（1）双曲线C：的a2，b，c3，设|PF1|m，|PF2|n，PF1F2的内切圆与边PF1切于S，与边PF2切于K，与边F2F1切于T，可得|PS|PK|，|F1S|F1T|，|F2T|F2K|
19、，由双曲线的定义可得mn2a，即有|F1S|F2K|F1T|F2T|2a，又|F1T|+|F2T|2c，解得|F2T|ca，则T的横坐标为a，由I与T的横坐标相同，可得I的横坐标为a2；（2）由A（2，0），F2（3，0），设直线MN的方程为yk（x3），与双曲线的方程5x24y220联立，可得（54k2）x2+24k2x36k2200，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2，x1x2，k1+k2+2k5k（+）2k5k2k5k，解得k2，所以直线l的方程为y2x+6；（3）设P（x0，y0）（x00，y00），则G（，），设PF1F2的内切圆的半径为r，则S|F1F2|y0（m
20、+n+2c）r，于是cy0（m+n+2c）r，可得r，由IGF1F2，知得，即m+n4c12，又mn2a4，解得n4因此，解得x04，y0即有点P的坐标为（4，）21设数列an（n3，nN*）是公差为d的等差数列（1）若d2，aR，讨论方程|xa1|+|xa3|a的根的个数；（2）若a11，d1，求函数f（x）|a1x1|+|a2x1|+|a100x1|的最小值；（3）若数列an满足：|a1|+|a2|+|an|a1+1|+|a2+1|+|an+1|a12|+|a22|+|an2|507，试求该数列项数n的最大值解：（1）根据题意，数列an的公差d2时，该数列为递增数列，即a1a3，且有a3a
21、12d4，因此令f（x）|xa1|+|xa3|，则有f（x），则方程|xa1|+|xa3|a的根的个数，即函数f（x）与直线ya的交点个数，作出函数f（x）的图象如下：由图可得，当a4时，方程有两个根；当a4时，方程有无穷个根；当a4时，方程无解（2）数列an（n3，nN*）是公差为d的等差数列，a11，d1，所以an1+（n+1）1n，f（x）|a1x1|+|a2x1|+|a100x1|x1|+|2x1|+|100x1|x1|+|+100|，共有项，又|xa|+|xb|ab|，把f（x）前后两项对应相加可得，f（x），70（1+70）2485，71（71+1）2556，f（x）（），当且仅当x71时，等号成立；+1，故可得f（x）的最小值为（3）设数列各项为akd（1kn，d0），令f（x），则本题等价于f（x）507至少有3个不同的根a，a+1，a+2，故yf（x）的图象与水平直线l：y507至少有3个不同的公共点，由于yf（x）的图象关于直线y对称，为（n+1）段的下凹折线，它与水平直线l有三个公共点当且仅当折线有一水平段在l上，当且仅当n2m且a，a+1，a+2md，（m+1）d，f（md）507，即d3，且m2d507，由此可得，m13，所以m13时，取d3，a4满足题意，则n2m26所以n的最大值为26
