1、5.6 函数=(+)5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 问题导入 我们知道，单位圆上的点，以(1,0)为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画.对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面先看一个实际问题.问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌输工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理。新知探索 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模
2、型刻画它的运动规律。思考1：与盛水筒运动相关的量有哪些?它们之间有怎样的关系？新知探索 如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过 后，盛水筒从点0运动到点.由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度，由以下量所决定：筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度，盛水筒的初始位置0以及所经过的时间.下面我们分析这些量的相关关系，进而建立盛水筒运动的数学模型.新知探索 如图，以为原点，以与水平面平行的直线为轴建立直角坐标系.设=0时，盛水筒位于点0，以为始边，0为终边的角为，经过 后运动到点(,).于是，以为始边，为终边的角为+，并且有=(+).所以盛水筒距离水面的高度与时间的关系是
3、=(+)+.函数就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律.由于是常量，我们可以只研究函数的性质。下面我们分析这些量的相关关系，进而建立盛水筒运动的数学模型.5.6.2 函数=(+)的图象 新知探索 上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如=(+)(其中 0,0)的函数.显然，这个函数由参数,所确定.因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质.思考2：从解析式看，函数=就是函数=(+)在=1，,=1，=0时的特殊情形.(1)能否借助我们熟悉的函数=的图象研究参数,对函数=(+)的影响？(2)函数=(+)含有三个参数，你认为应
4、按怎样的思路进行研究？新知探索 1.探索对=(+)图象的影响 为了更加直观地观察参数对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验.如图，取=1，=1，动点在单位圆1上以单位角速度按逆时针方向运动.如果动点以0为起点(此时=0)，经过 后运动到点，那么点的纵坐标就等于.以(,)为坐标描点，可以得到正弦函数=的图象.新知探索 思考3：在单位圆上拖动起点0，使点0绕点1旋转6到1，你发现图象有什么变化？如果使点0绕点1旋转，或者旋转一个任意角呢？当起点位于1时，=6，可得函数=(+6)的图象.进一步，在单位圆上，设两个动点0，1分别以为起点同时开始运动.如果以0为起点的动点到达圆周上点的时间为，
5、那么以1为起点的动点相继到达点的时间是(6).这个规律反映在图象上就是：如果(,)是函数=图象上的一点，那么(6,)就是函数=(+6)图象上的点，如图所示.新知探索 这说明，把正弦曲线=上的所有点向左平移个单位长度，就得到=(+6)的图象.一般地，当动点的起始位置所对应的角为时，对应的函数是=(+)(0)，把正弦曲线上的所有点向左(当 0时)或向右(当 0)对=(+)图象的影响 下面,仍然通过数学实验来探索.如图，取圆的半径=1.为了研究方便，不妨令=6.当=1时得到=(+6)的图象.思考5：取=2，图象有什么变化？取=12呢？取=3，=13，图象又有什么变化？当取任意实数呢？取=2时，得到函
6、数=(2+6)的图象.进一步，在单位圆上，设以1为起点的动点，当=1时到达点的时间为1，当=2时到达点的时间为2.因为=2时动点的转速是=1的2倍，所以2=12 1.这样，设(,)是函数=(+6)图象上的一点，那么(12,)就是函数=(2+6)图象上的相应点，如图所示.这说明，把=(+6)的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，就得到=(2+6)的图象.=(2+6)的周期为，是=(+6)的周期的12.新知探索 同理，取=12时，动点的转速是=1的12倍，以1为起点，到达点的时间是=1的2倍.这样，把=(+6)图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，就得到=(12 +
7、6)的图象.=(12 +6)的周期为4，是=(+6)的周期的2倍.新知探索 一般地，函数=(+)的周期是2，把=(+)图象上所有点的横坐标缩短(当 1时)或伸长(当0 0)对=(+)图象的影响 下面通过数学实验探索对函数图象的影响.为了研究方便，不妨令=2，=6.当=1时，如图，可得=(2+6)的图象.思考6：改变的取值，使取2,12,3,13等，你发现图象有什么变化？当取任意正数呢？当=2时，得到函数=2(2+6)的图象.进一步，设射线11与以1为圆心、2为半径的圆交于1.如果单位圆上以1为起点的动点，以=2的转速经过 到达圆周上的点，那么点的纵坐标是(2+6)；相应地，点1在以1为圆心、2
8、为半径的圆上运动到点，点的纵坐标是2(2+6).这样，设(,)是函数图象=(2+6)上的一点，那么点(,2)就是函数图象=2(2+6)上的相应点，如图所示.这说明，把图象=(2+6)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就得到的图象=2(2+6).新知探索 同理，把图象=(2+6)上所有点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，就得到=12(2+6)的图象.新知探索 一般地，函数=(+)的图象，可以看作是把=(+)图象上所有点的纵坐标伸长(当 1时)或缩短(当0 0,0)图象的过程与方法吗？新知探索 一般地，函数=(+)(0,0)的图象，可以用以下方法得到：先画出函数=个的图象；再把
9、正弦曲线向左(向右)平移|个单位长度，得到函数=(+)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的1倍(纵坐标不变)，得到=(+)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数=(+)的图象.思考7：请同学们结合着以上内容，做出这一过程的流程图.新知探索 平移变换：=(+)=(+)=(+)向左(或右)平移|个单位长度 将横坐标变为原来的1|倍 将纵坐标变为原来的倍 从上述步骤可以清楚地看到，参数,是如何对函数图象产生影响的.新知探索 伸缩变换：=(+)=(+)向左(或右)平移|个单位长度 将纵坐标变为原来的倍 将横坐标变为原来的1|倍 例析 例1.画出函数=2(3
10、 6)的简图.解：先画出函数=的图象；再把正弦曲线向右平移6个单位长度，得到函数=(6)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的13，得到函数 =(3 6)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数=2(3 6)的图象，如图所示.例析 例1.画出函数=2(3 6)的简图.下面用“五点法”画函数=2(3 6)在一个周期(=23)内的图象.令=3 6，则=13(+6).列表，描点画图.0 2 23 2 18 29718591318 0 2020例析 例2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图，某摩天轮最高点
11、距离地面高度为120，转盘直径为110，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30.(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 后距离地面的高度为 米，求在转动一周的过程中，关于 的函数解析式；(2)求游客甲在开始转动五后距离地面的高度；(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差(单位：)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1).例析 解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.(1)设=0 时，游客甲位于点(0,55)，以为终边的角为
12、；根据摩天轮转一周大约需要30，可知座舱转动的角速度约为15/，由题意可得=55(15 2)+65，0 30.例析 解(2)当=5时，=55(15 5 2)+65=37.5.所以，游客甲在开始转动五后距离地面的高度约为37.5.解(3)如图，甲、乙两人的位置分别用点,表示，则=248=24.经过 后甲距离2地面的高度为1=55(15 2)+65，例析 点相对于点始终落后24，此时乙距离地面的高度为2=55(15 1324)+65.则甲、乙距离地面的高度差=|1 2|=55|(15 2)(15 1324)|=55|(15 2)+(1324 15)|，利用 +=2+2 2，可得=110|48(15 48)|，0 30.当15 48=2(或32)，即 7.8(或22.8)时，的最大值为11048 7.2.所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2.课堂小结&作业 课堂小结：(1)了解匀速圆周运动的数学模型；(2)理解并掌握图象变换的两种方式.作业：(1)梳理回顾本节课的例题；(2)制作图象变换的思维导图；(3)课本P239的练习14题.
