1、8.4空间中的平行关系1空间中直线与平面之间的位置关系(1)直线在平面内，则它们_公共点；(2)直线与平面相交，则它们_公共点；(3)直线与平面平行，则它们_公共点直线与平面相交或平行的情况统称为_2直线与平面平行的判定和性质(1)直线与平面平行的判定定理平面外_与此平面内的_平行，则该直线与此平面平行即线线平行线面平行用符号表示：_(2)直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的_与该直线_即线面平行线线平行用符号表示：_3平面与平面之间的位置关系(1)两个平面平行，则它们_；(2)两个平面相交，则它们_，两个平面垂直是相交的一种特殊情况4平面与平面平行
2、的判定和性质(1)平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条_与另一个平面平行，则这两个平面平行用符号表示：_推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行即l，l.平行于同一个平面的两个平面平行即，.(2)平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线_即面面平行线线平行用符号表示：_如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面用符号表示：_如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面用符号表示：_自查自纠1(1)有无数个(2)有且只有一个(3)没有直线在平面
3、外2(1)一条直线一条直线a，b，且aba(2)交线平行a，a，bab3(1)没有公共点(2)有一条公共直线4(1)相交直线a，b，abP，a，b(2)平行，a，bab，aa，ll 已知平面，和直线a，b，a，b，且ab，则与的关系是()A平行B相交C平行或相交D垂直解：可在平面内作一直线c，且c与a相交，若c平行于面，则根据面面平行的判定定理知；若c与面相交，则面与相交故选C. ()设，是两个不同的平面，m是直线且m.“m”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：如果m，m，那么与可能平行也可能相交；反过来，如果m，那么m，所以m是的必要不充分
4、条件故选B. ()在空间中，a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中真命题的是()A若a，b，则abB若a，b，则abC若a，ab，则bD若，a，则a解：对于A，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，A错误；对于B，分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能平行、相交或异面，B错误；对于C，直线b可能位于平面内，C错误；对于D，直线a与平面没有公共点，因此a，D正确故选D. 如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)解：在中，由于平面MNP与AB所在的
5、侧面平行，所以AB平面MNP；在中，由于AB与以MP为中位线的三角形的底边平行，ABMP，又MP平面MNP，AB平面MNP.AB平面MNP.中，只须平移AB，即可发现AB与平面MNP相交故填. 棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，给出下列结论：PR与BQ是异面直线；RQ平面BCC1B1；平面PQR平面D1AC；过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为的等边三角形以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)解：由于PR是A1BC1的中位线，所以PRBQ，故不正确；由于RQA1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1
6、，所以不正确；由于PRBC1D1A，PQA1BD1C，所以正确；由于A1BC1是边长为的正三角形，所以正确故填.类型一线线平行如图所示，在三棱锥PABQ中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.求证：ABGH.证明：D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，EFAB，DCAB.EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD，EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，EFGH.又EFAB，ABGH.【点拨】证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质
7、定理来证明()如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.证明：EFB1C.证明：由正方形的性质可知A1B1ABDC，且A1B1ABDC，四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1CA1D.又A1D面A1DE，B1C面A1DE，B1C面A1DE.又B1C面B1CD1，面A1DE面B1CD1EF，EFB1C.类型二线面平行()如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点(1)证明：AD1平面BDC1；(2)证明：BD平面AB1D1.证明：(1)D1，D分别为A1
8、C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，C1D1綊DA，四边形ADC1D1为平行四边形，AD1C1D.又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，AD1平面BDC1.(2)连接D1D，BB1平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1平面BB1D1DD1D，BB1D1D.又D1，D分别为A1C1，AC的中点，BB1DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，BDB1D1.又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1.【点拨】(1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行(2)应
9、用线面平行性质的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线如图，在四棱锥PABCD中，CDAB，且CDAB.若PMMB，求证：CM平面PAD.证明：取AP的中点F，连接FM，DF，则FMAB，FMAB.CDAB，CDAB，FM綊CD.四边形CDFM为平行四边形，CMDF.DF平面PAD，CM平面PAD，CM平面PAD.类型三面面平行()如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点(1)求证：BE平面DMF；(2)求证：平面BDE平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，BEMO.又
10、BE平面DMF，MO平面DMF，BE平面DMF.(2)N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，DEGN.又DE平面MNG，GN平面MNG，DE平面MNG.又由(1)知BEMO，BE平面MNG，MO平面MNG，BE平面MNG(依据中位线证MNBD也可)又DE，BE为平面BDE内两条相交直线，平面BDE平面MNG.【点拨】证明面面平行的方法详见“名师点睛”栏；第(2)问选用的证法也是证明面面平行的常用证法如图，平面，线段AB分别交，于M，N，线段AD分别交，于C，D，线段BF分别交，于F，E，若AM9，MN11，NB15，SFMC78.求END的面积解：，平面AND分别与，交于MC，N
11、D，MCND.同理MFNE.FMCEND.又，BN15，BM151126，AN91120，AM9，SENDSFMC100.1证明线线平行的方法(1)利用平面几何知识；(2)平行公理：ab，bcac；(3)线面平行的性质定理：a，a，bab；(4)面面平行的性质定理：，a，bab；(5)线面垂直的性质定理：m，nmn.2证明直线和平面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)判定定理：a，b，且aba；(3)利用面面平行的性质：，ll；(4)向量法m，n，mnm；(5)空间平行关系的传递性：mn，m，n，mn；(6)，l，ll.3证明面面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)利用判定
12、定理：a，b，abP，a，b；推论：a，b，m，n，abP，mnQ，am，bn(或an，bm)；(3)利用面面平行的传递性：；(4)利用线面垂直的性质：.4应用面面平行的性质定理时，关键是找(或作)辅助线或平面，对此需要强调的是：(1)辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加；(2)辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断5注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”：“线线平行”“线面平行”“面面平行”；应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”：“面面平行”“线面平行”“线线平行”1()已知m，n是两条不同的直线，是三个不
13、同的平面，下列命题中错误的是()A若m，m，则B若，则C若m，n，mn，则D若m，n是异面直线，m，m，n，n，则解：由线面垂直的性质可知A正确；由两个平面平行的性质可知B正确；由异面直线的性质易知D正确；对于选项C，可以相交或平行，C错误，故选C.2若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交解：直线l不平行于平面，且l，l与相交观察各选项，易知A，C，D都是错误的故选B.3设，为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，
14、n；n，m.可以填入的条件有()A BC D解：由面面平行的性质定理可知正确；当m，n，m，n可能是异面直线，错误；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，mn，正确故选C.4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，AD4，AA13.分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1VAEA1DFD1，V2VEBE1A1FCF1D1，V3VB1E1BC1F1C.若V1V2V3141，则截面A1EFD1的面积为()A4B8C4D16解：由于两个截面平行，所以三部分都可看作直棱柱，所以底面积之比为141.易得AE2，A1E.SA1EFD14.故选C.5如图，在
15、正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内与平面D1EF平行的直线()A不存在 B有1条C有2条 D有无数条解：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，则必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行故选D.6如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是()AEHFG B四边形EFGH是矩
16、形C是棱柱 D是棱台解：EHA1D1，A1D1B1C1，EH面BCC1B1，EH面BCC1B1.又面EFGH面BCC1B1FG，EHFG，且EHFG，由长方体的特征知四边形EFGH为矩形，此几何体为五棱柱，选项A，B，C都正确故选D.7给出下列四个命题：平行于同一平面的两条直线平行；垂直于同一平面的两条直线平行；如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任何直线都平行；如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)解：中平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能异面，错误；根据直线与平面垂直的性质定理知，正确；若直线l与平面平
17、行，则l必平行于内某一方向上的无数条直线，故错误；正确故填.8()如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ_解：平面A1B1C1D1平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCDPQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1B1D1，B1D1PQ.又B1D1BD，BDPQ.设PQABM，又ABCD，四边形BDQM为平行四边形，MQBDa.又PMBDa，PQMQPMaa.故填a.9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P，Q分别是DD1，CC1的中点求证：(1)PO面D1B
18、Q；(2)平面D1BQ平面PAO.证明：(1)连接DB，在D1DB中，P，O分别是DD1，DB的中点，则POD1B，又PO面D1BQ，D1B面D1BQ，PO面D1BQ.(2)易证四边形APQB是平行四边形，PABQ.又PA面D1BQ，BQ面D1BQ，PA面D1BQ.又由(1)知PO面D1BQ，POPAP，PO，PA平面D1BQ，平面D1BQ平面PAO.10如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA13，D为C1B的中点，P为AB边上的动点(1)当点P为AB的中点时，证明DP平面ACC1A1；(2)若AP3PB，求三棱锥BCDP的体积解：(1)证明：连接DP，AC1，P为AB中点，D为C1
19、B的中点，DPAC1.又AC1平面ACC1A1，DP平面ACC1A1，DP平面ACC1A1.(2)由AP3PB，得PBAB.过点D作DEBC于E，则DE綊CC1，CC1平面ABC，DE平面BCP，又CC13，DE.VBCDPVDBCPSBCPDE2sin60.11()如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CF平面ABC，ABBC，CFDE，BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小解：(1)证明：在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，四边形BHFE为平行四边形，BEHF
20、.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，GHAB.又GHHFH，平面FGH平面ABED.BD平面ABED，BD平面FGH.(2)设AB2，则CFDE1，在三棱台DEFABC中，G为AC的中点，由DFACGC，可得四边形DGCF为平行四边形，DGFC.又FC平面ABC，DG平面ABC.连接GB，在ABC中，由ABBC，BAC45，G是AC的中点，得ABBC，GBGC，因此，GB，GC，GD两两垂直以G为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Gxyz，则G(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，0)，D(0，0，1)，可得H，F(0，1)，(0，1)设n(x，y，z)是平面FGH的法向量，则由
21、得令x1，可得平面FGH的一个法向量n(1，1，)(，0，0)是平面ACFD的一个法向量，cos，n，平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60. 如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，BACACD90，EAC60，ABACAE.(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP平面EAB？请证明你的结论；(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值解：(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.证明如下：取AB的中点F连接DP，PF，EF，则FPAC，FPAC.取AC的中点M，连接EM，EC.AEAC且EAC60，EAC是正三角形EMAC.四边形EMCD为矩形EDMCACFP.又EDAC.EDFP且EDFP，即四边形EFPD是平行四边形DPEF.而EF平面EAB，DP平面EAB，DP平面EAB.(2)过点B作AC的平行线l，过点C作l的垂线交l于点G，连接DG.EDAC，EDl.l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱平面EACD平面ABC，DCAC，DC平面ABC.又l平面ABC，DCl.l平面DGC，lDG.DGC是所求二面角的平面角设ABACAE2a，则CDa，GC2a.GDa.coscosDGC.
