1、高考资源网() 您身边的高考专家7.1.2复数的几何意义知识点一复平面的相关概念如图,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数zabi可用点Z(a,b)表示这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系,即复数zabi复平面内的点Z(a,b)知识点二复数的向量表示如图,设复平面内的点Z表示复数zabi,连接OZ,显然向量是由点Z唯一确定的;反过来,点Z也可以由向量唯一确定复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应),即复数zabi平面向量.这是复数的另一种几何意义,并且规定相等的向量表示同
2、一个复数知识点三复数的模的定义公式向量的模叫做复数zabi的模或绝对值,记作|z|或|abi|,即|z|abi|(a,bR)如果b0,那么zabi是一个实数a,它的模等于|a|(a的绝对值)知识点四共轭复数一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数1复数的向量表示(1)任何一个复数zabi与复平面内一点Z(a,b)对应,而任一点Z(a,b)又可以与以原点为起点,点Z(a,b)为终点的向量对应,这些对应都是一一对应,即(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解
3、决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径讨论复数的运算性质和应用时,可以在复平面内,用向量方法进行2共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身,即zzR.利用这个性质,可以证明一个复数是实数(3)z|z|2|2R.z与互为实数化因式1判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上()(2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数()(3)复数的模一定是正实数()(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)若(0,3),则对应的复数为_(2)复数z14i位于复平面上的
4、第_象限(3)复数i的模是_(4)复数56i的共轭复数是_答案(1)3i(2)四(3)(4)56i题型一 复平面内复数与点的对应例1在复平面内,若复数z(m2m2)(m23m2)i对应点(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线yx上,分别求实数m的取值范围解复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2,虚部为m23m2.(1)由题意得m2m20,解得m2或m1.(2)由题意得1m0,解得m5,所以当m5时,复数z对应的点在x轴上方(2)由题意得(m25m6)(m22m15)40,解得m1或m,所以当m1或m时,复数z对应的点在直线xy40上.题型二 复平面内复数与向量的对应例2已知
5、平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,32i,24i,试求:(1)表示的复数;(2)表示的复数;(3)点B对应的复数解由题意得O为原点,(3,2),(2,4)(1)(3,2)(3,2)表示的复数为32i.(2)(3,2)(2,4)(5,2),表示的复数为52i.(3)(3,2)(2,4)(1,6),表示的复数为16i,即点B对应的复数为16i.复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义,利用这个几何意义,复数问题可以转化为平面向量来解决,平面向量问题也可以用复数方法来求解(1)复数43i与25i分别表示向量与,则向量表示的复数是_;(2)在复平面内,O为原点,向量对应复数
6、为12i,则点A关于直线yx对称点为B,向量对应复数为_答案(1)68i(2)2i解析(1)因为复数43i与25i分别表示向量与,所以(4,3),(2,5),又(2,5)(4,3)(6,8),所以向量表示的复数是68i.(2)点A(1,2)关于直线yx对称的点为B(2,1),所以2i.题型三 复数模的综合应用例3设zC,则满足条件|z|34i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形?解由|z|34i|得|z|5.这表明向量的长度等于5,即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心,以5为半径的圆巧用复数的几何意义解题(1)复平面内|z|的意义我们知道,在实数集中,实
7、数a的绝对值,即|a|是表示实数a的点与原点O间的距离那么在复数集中,类似地,有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点间的距离也就是向量的模,|z|.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P,Q所对应的复数分别为z1,z2,则|PQ|z2z1|.运用以上性质,可以通过数形结合的方法解决有关问题设zC,且满足下列条件,在复平面内,复数z对应的点Z的集合是什么图形?(1)1|z|2;(2)|zi|1.解(1)根据复数模的几何意义可知,复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,不包括环的边界(2)根据模的几何意义,|zi|1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,
8、1)的距离为1.满足|zi|1的点Z的集合为以(0,1)为圆心,以1为半径的圆内的部分(不含圆的边界)1已知aR,且0a1,i为虚数单位,则复数za(a1)i在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析0a0且a10,故复数za(a1)i在复平面内所对应的点(a,a1)位于第四象限故选D2复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上,则()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0 Da2或a0答案D解析由点Z在虚轴上可知,点Z对应的复数是纯虚数和0,a22a0,解得a2或a0.3已知复数z12i(i是虚数单位),则|z|_.答案解析因为z12i,所以|z|.4已知复数z3ai,且|z|5,则实数a的取值范围是_答案4a4解析|z|5,解得4a4.5如果复数z(m2m1)(4m28m3)i(mR)对应的点在第一象限,求实数m的取值范围解因为复数z对应的点在第一象限,所以解得m.所以实数m的取值范围为.- 6 - 版权所有高考资源网