1、第一讲数列的概念与简单表示法1.2021浙江杭州二中、学军中学等五校联考已知Sn为数列an的前n项和,且Sn=2an-3n(nN*),则()A.an为等比数列 B.an为摆动数列C.an=32n+1-9 D.Sn=62n-3n-62.2020唐山市模拟已知Sn为数列an的前n项和,3Sn=an+2,则数列Sn()A.有最大项也有最小项B.有最大项无最小项C.无最大项有最小项D.无最大项也无最小项3.2021陕西省部分学校摸底检测已知数列an的前n项和为Sn,若a1=1,2Sn=an+1+1,则Sn=.4.2021河北衡水模拟已知在数列an中,a1=-ln 2,an+1=an+ln ,则an=.
2、5.2021江苏南通模拟已知数列an是首项为2,公比为3的等比数列,若数列bn满足b1=a1,bn+1=anbn,则bn的通项公式bn=.6.2021安徽安庆检测在数列an中,a1=1,an=2an-1+ln 3(n2),则数列an的通项公式an=.7.2021长春市第一次质量监测双空题已知数列an的前n项和Sn=10n-n2,数列bn的每一项都有bn=|an|,设数列bn的前n项和为Tn,则T4=,T30=.8.2020贵阳市第二次适应性考试双空题在数列an中,a1+2a2+3a3+nan=2n,则a4=,数列的前n项和为.9.2020安徽六校联考已知正项数列an的前n项和Sn满足2Sn=+
3、an-2,则数列an的通项公式为.10.2020烟台市重点中学考前模拟多选题已知数列an的前n项和为Sn,且有(a1+a2+an)an=(a1+a2+an-1)an+1(n2,nN*),a1=a2=1.数列的前n项和为Tn,则以下结论正确的是()A.an=1 B.Sn=2n-1C.Tn= D.Tn为递增数列11.多选题在数列an中,a1=1,a2=2,a3=3,an+3+(-1)nan+1=1(nN*),数列an的前n项和为Sn,则下列结论正确的是()A.数列an为等差数列 B.a18=10C.a17=3 D.S31=14612.条件创新已知数列an满足an=ncos,bn=an+an+1,则
4、数列bn的前50项和为.13.双空题已知数列an满足a1=,a2=1,2an+2+an=3an+1,则an=,若数列bn满足bn=,则bn的最大值为.14.条件创新已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,当n2时,+2SnSn-1=n-1.若am+am+1+at-1+at=1(m2)且t-m=21,则m=.15.2021八省市新高考适应性考试已知各项都为正数的数列an满足an+2=2an+1+3an.(1)证明:数列an+an+1为等比数列.(2)若a1=,a2=,求an的通项公式.答 案第一讲数列的概念与简单表示法1.D解法一因为Sn=2an-3n(nN*),所以当n2时,Sn-1=2an
5、-1-3(n-1),两式相减得an=2an-3n-2an-1+3(n-1)=2an-2an-1-3,即an=2an-1+3,所以an+3=2(an-1+3)(n2),又当n=1时,a1=2a1-3,得a1=3,所以数列an+3是首项为6,公比为2的等比数列,所以an+3=62n-1,即an=32n-3,所以Sn=62n-3n-6.故选D.解法二当n2时,an=Sn-Sn-1,所以Sn=2an-3n=2(Sn-Sn-1)-3n,即Sn=2Sn-1+3n,则Sn+3n+6=2Sn-1+3(n-1)+6(n2),当n=1时,S1=2S1-3,得S1=3,所以数列Sn+3n+6是首项为12,公比为2的
6、等比数列,所以Sn+3n+6=122n-1=62n,即Sn=62n-3n-6.故选D.2.A因为3Sn=an+2,当n2时,3Sn-1=an-1+2,所以当n2时,-得3an=an-an-1,即an=-an-1.又当n=1时,3S1=3a1=a1+2,所以a1=1,所以数列an是以1为首项,-为公比的等比数列,即an的各项为1,-,-,-,因此数列an的最大项为首项1,最小项为第二项-.又3Sn=an+2,所以数列Sn的最大项为1,最小项为.故选A.3.(1+3n-1)因为2Sn=an+1+1,所以2Sn=Sn+1-Sn+1,即Sn+1=3Sn-1,所以Sn+1-=3(Sn-).因为a1=1,
7、所以S1=1,所以S1-=0,所以数列Sn-是以为首项,3为公比的等比数列,所以Sn-=3n-1,所以Sn=(1+3n-1).4.-ln(n+1)由题设得an+1-an=ln,当n2时,an=a1+(a2-a1)+(an-an-1)=-ln 2+ln +ln+ln=ln()=ln=-ln(n+1).当n=1时,a1=-ln 2也满足上式.故所求an=-ln(n+1).5.2n由题设可得b1=2,=an=23n-1,所以当n2时,bn=b1=2(230)(231)(23n-2)=2n30+1+(n-2)=2n.当n=1时,b1=2也满足上式.故bn=2n.6.(1+ln 3)2n-1-ln 3,
8、nN*由an=2an-1+ln 3得到an+ln 3=2(an-1+ln 3),则an+ln 3是以a1+ln 3为首项、2为公比的等比数列, 所以an+ln 3=(1+ln 3)2n-1,所以an=(1+ln 3)2n-1-ln 3,nN*.7.24650当n=1时,a1=S1=9,当n2时,an=Sn-Sn-1=10n-n2-10(n-1)-(n-1)2=-2n+11,当n=1时也满足,所以an=-2n+11(nN*),所以当n5时,an0,bn=an,当n5时,an0,所以an-an-1-1=0,即an-an-1=1(n2).又a1=2,所以数列an是以2为首项、1为公差的等差数列,所以
9、an=2+(n-1)1=n+1.10.BD由(a1+a2+an)an=(a1+a2+an-1)an+1, 得Sn(Sn-Sn-1)=Sn-1(Sn+1-Sn),化简得=Sn-1Sn+1,根据等比数列的性质得数列Sn是等比数列.易知S1=1,S2=2,故Sn的公比为2,则Sn=2n-1,Sn+1=2n,Sn+2=2n+1,=-.由裂项相消法得Tn=1-=.故B正确,C错误,D正确.根据Sn=2n-1知A选项错误,故选BD.11.BD依题意得,当n是奇数时,an+3-an+1=1,即数列an中的偶数项构成以a2=2为首项、1为公差的等差数列,所以a18=2+(9-1)1=10.当n是偶数时,an+
10、3+an+1=1,所以an+5+an+3=1,两式相减,得an+5=an+1,即数列an中的奇数项从a3开始,每间隔一项的两项相等,即数列an的奇数项呈周期变化,所以a17=a43+5=a5.在an+3+an+1=1中,令n=2,得a5+a3=1,因为a3=3,所以a5=-2,所以a17=-2.对于数列an的前31项,奇数项满足a3+a5=1,a7+a9=1,a27+a29=1,a31=a47+3=a3=3,偶数项构成以a2=2为首项、1为公差的等差数列,所以S31=1+7+3+152+=146.故选BD.12.-52由an=ncos,得bn=an+an+1=ncos+(n+1)cos=nco
11、s-(n+1)sin,则b4n=4ncos 2n-(4n+1)sin 2n=4n,b4n-1=(4n-1)cos(2n-)-4nsin(2n-)=4n,b4n-2=(4n-2)cos(2n-1)-(4n-1)sin(2n-1)=2-4n,b4n-3=(4n-3)cos(2n-)-(4n-2)sin(2n-)=2-4n,所以b4n-3+b4n-2+b4n-1+b4n=4,于是数列bn的前50项和b1+b2+b3+b48+b49+b50=12(b1+b2+b3+b4)+b413-3+b413-2=124+2-413+2-413=-52.13.-()n-1由2an+2+an=3an+1,得an+2-
12、an+1=(an+1-an),又a2-a1=,an+1-an是以为首项、为公比的等比数列,an+1-an=()n-1=()n,则an-an-1=()n-1,an-1-an-2=()n-2,a2-a1=,累加得an-a1=+()2+()n-2+()n-1=1-()n-1,又a1=,an=-()n-1,bn=.由bn+1-bn=-=0得n3,由bn+1-bn=3,所以b1b2b5bn,故bn的最大值为b3=b4=.14.50或53当n=2时,+2S2S1=1,即+2(1+a2)=1,得a2=-1.又当n2时,an=Sn-Sn-1,则+=n-1,则+=n,所以-=1,又S1=1,S2=0,则,是首项
13、为1、公差为1的等差数列,是首项为0、公差为1的等差数列,当n为奇数时,=1+(-1)1=,当n为偶数时,=0+(-1)1=-1,因而am+am+1+at-1+at=St-Sm-1=Sm+21-Sm-1,易知m+21与m-1同奇同偶,当同为奇数时,Sm+21-Sm-1=-=1,得m=50,当同为偶数时,Sm+21-Sm-1=-=1,得m=53.15.(1)因为an+2=2an+1+3an,nN*,所以an+2+an+1=3(an+1+an),nN*,又数列an各项都为正数,所以an+1+an0,所以=3.所以数列an+an+1为等比数列,公比为3.(2)由(1)知an+1+an=(a1+a2)3n-1=23n-1,则an+1=-an+23n-1,an+1-=-(an-),nN*,又a1-=0,所以an-=0,所以an=,nN*.
