1、江苏省宿迁市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 两条直线，之间的距离为（ ）A. B. C. D. 13【答案】B【解析】【分析】化简两条直线的方程，再利用平行线间的距离公式，即可得答案；【详解】两条直线的方程分别为：，两条直线之间的距离，故选：B.【点睛】本题考查平行线间的距离公式，考查运算求解能力，求解时注意将直线方程的系数化成相同.2. 采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据简单随机
2、抽样每个个体被抽到的概率直接计算，即可得答案；【详解】简单随机抽样每个个体被抽到的概率，含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为，故选：D.【点睛】本题考查简单随机抽样的概念，考查对概念的理解，属于基础题.3. 若直线过两点，则此直线的倾斜角是（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】A【解析】【分析】根据两点的斜率公式，算出直线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的范围，得出倾斜角的大小.【详解】直线过点，直线斜率，即直线的倾斜角满足；，故选：A.【点睛】本题主要考查利用两点的坐标求直线斜率与倾斜角的应用问题，属于基础题.4. 某老师从星期一到星期五收
3、到的信件数分别为10，6，8， 5， 6，则该组数据的方差的值为（ ）A. B. C. D. 16【答案】C【解析】【分析】先求出某老师从星期一到星期五收到信件的平均数，由此能求出该组数据的方差.【详解】某老师从星期一到星期五收到信件的平均数为：，该组数据的方差，故选：C.【点睛】本题主要考查一组数据的方差的求法，属于基础题.5. 设直线过定点，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将方程转化为，令的系数和常数项为零即可得结果.【详解】将直线方程化为，当时即，直线恒过定点，故选：B.【点睛】本题主要通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解，属于中档题
4、.6. 两圆与的公切线条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据圆心距和两圆的半径的关系，得到两圆相交，即可得到两圆有2条公切线，得到答案.【详解】圆的圆心为，半径为圆的圆心为，半径为两圆心的距离为.所以两圆相交，则其公切线有2条.故选：B【点睛】本题考查了两圆的公切线条数，确定两圆的位置关系是解题的关键.7. 已知正四面体，则与平面所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】采用数形结合，点在等边的投影为的中心，可得到与平面所成角为，然后计算，最后简单计算可得结果.【详解】由题可知：如图所示在正四面体中，点在等边的投影为的中心则与平
5、面所成角为设，所以，所以故选：D【点睛】本题考查利用几何法求解线面角的余弦值，本题关键在于找到该线面角，考查计算，属基础题.8. 已知圆的圆心在直线上，且过两点，则圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先设圆心，根据题意得到，从而得到圆心，再计算半径即可得到答案.【详解】由题知：圆心在直线上，设圆心，因为在圆上，所以，解得.则，所以圆.故选：C【点睛】本题主要考查圆的标准方程，同时考查学生的计算能力，属于简单题.二、多项选择题：在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 在中，角、的对边分别为，若，则使此三角形有两解的的值可以是（ ）A. 5B. C. 8D.
6、【答案】BC【解析】【分析】根据三角形解的个数判断，即为锐角时，三角形有两解.【详解】当为锐角时，三角形有两解.，的值可以是，8，故选：BC.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，考查运算求解能力，属于基础题.10. 下列说法正确的是（ ）A. 某种彩票中奖的概率是，则买10000张彩票一定会中1次奖B. 若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为和，则乙同学成绩比较稳定C. 线性回归直线一定经过点D. 从装有3只红球、3只白球的袋子中任意取出4只球，则“取出1只红球和3只白球”与“取出3只红球和1只白球”是互斥事件【答案】CD【解析】【分析】由概率的概念即可判断A；根据方差越小成绩越稳定可判断
7、B；由线性回归直线的性质可判断C；由互斥事件的概念可判断D.【详解】某种彩票中奖的概率是，则买10000张彩票可能中奖，也可能不中奖，故A错误；由于甲同学的方差小于乙同学的方差，故甲同学的成绩比较稳定，故B错误；线性回归直线一定经过样本中心点，故C正确；“取出1只红球和3只白球”与“取出3只红球和1只白球”不可能同时发生，故D正确；故选：CD.【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，属于基础题.11. 如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，给出以下结论，其中正确的有（ ）A. 与所成的角为45B. 平面C. 平面平面D. 对于任意的点，四棱锥的体积均不变【答案】BCD【解析】【分析】由异面直线所
8、成角的定义计算即可判断A；根据平面平面即可判断B；根据平面即可判断C；根据可判断D.【详解】连接，为与所成角，设正方体棱长为1，则，故A错误；平面平面，平面，平面，故B正确；连接，则，平面，又，平面，又平面，平面平面，故C正确；设正方体棱长为1，则，故三棱锥的体积均不变，故D正确；故选：BCD.【点睛】本题考查了线面平行，面面垂直的判定和性质，考查异面直线所成的角以及三棱锥体积的计算，属于中档题.12. 已知中，在上，为的角平分线，为中点下列结论正确的是（ ）A. B. 的面积为C. D. 在的外接圆上，则的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】先由余弦定理算出，再计算面积，验证B选项，在中，
9、利用余弦定理求验证A选项，用等面积法，求验证C选项，用正弦定理表示，结合三角函数性质验证D选项.【详解】解：在中，由余弦定理得，因为，所以.所以，故B错误；在中，所以，故A正确；因为为的角平分线，由等面积法得，整理得，解得，故C正确；在的外接圆上，如图则，所以在中，记，由正弦定理得，又，所以，其中，又因为，所以的最大值为，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查正余弦定理的综合应用，考查数学运算能力，是中档题.三、填空题：13. 用分层抽样的方法从高一、高二、高三3个年级的学生中抽取1个容量为60的样本，其中高一年级抽取15人，高三年级抽取20人，已知高二年级共有学生500人，则3个年级学生总数
10、为_人.【答案】1200【解析】【分析】计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数.【详解】由题意可知，高二年级抽取：（人）， 抽样比为： 该校学生总数为：人故答案为：【点睛】本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.14. 从中任取两个不同数，其和能被3整除的概率是_.【答案】【解析】【分析】使用列举法，计算所有的可能结果数，然后计算和能被3整除的结果数，根据古典概型的概念可得结果.【详解】从中任取两个不同数所有可能结果为：，共15个则和能被3整除的可能结果数为5故所求概率为故答案为：【点睛】本题考查古典概型的计算，属基础题.1
11、5. 已知正三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则该三棱锥的外接球的表面积为_；该三棱锥的顶点到面的距离为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由题意画出图形，作出正三棱锥的外接球的球心，利用勾股定理求得外接球的半径，再由球的表面积公式求三棱锥外接球的表面积；利用等体积法求三棱锥的顶点到面的距离【详解】设底面三角形的外心为，连接，则该三棱锥的外接球的球心在（或其延长线）上，连接连接BG并延长，交于，连接，由等边三角形的边长，得则,所以设三棱锥的外接球的半径为，则,解得.所以三棱锥的外接球的表面积为又设点到面的距离为，则则得到故答案为：；【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了利
12、用等体积法求点到面的距离，考查计算能力，是中档题16. 在平面直角坐标系中，已知圆，线段是圆的一条动弦，且，线段的中点为，则直线被圆截得的弦长取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由已知求得点的轨迹，再求出过点且与的轨迹相切的直线方程，求出所求切线被圆所截弦长，结合图形可得直线被圆截得的弦长取值范围【详解】圆的圆心坐标为弦，线段中点为，则即点的轨迹方程为设过原点与圆相切的直线方程为则，解得或即切线方程为或如图,点在直线的下方，在直线的上方.而点到直线的距离为，到直线的距离为.由图可知当直线过圆的圆心时，直线被圆截得的弦长最长，圆的直径4.当直线与圆相切时，直线与圆心的距离最远，此时直线被圆截得
13、的弦长最短，为所以直线被圆截得的弦长取值范围是故答案为：【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱中，点，分别是，的中点，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先连接，易证四边形是平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判断即可证明.（2）首先易证，从而得到二面角的平面角为，再求余弦值即可.【详解】连接，如图所示，在直三棱柱中，侧面，是平行四边形，因为，分别是，中点，所以且，又且，所以且，所以四边形是平行四
14、边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因为，为中点，所以.因为三棱柱为直三棱柱，所以面，又面，所以，因为，所以面，又因为面，所以，所以二面角的平面角为，因为，所以，因为面，面，所以，所以，即二面角的余弦值为.【点睛】本题第一问考查线面平行的证明，第二问考查二面角的求法，属于中档题.18. 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形顶点和，所在直线的方程为，.（1）求对角线所在直线的方程；（2）求所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得线段的中点的坐标，由可得直线的斜率，再由直线过点可求得对角线所在直线的方程；（2）联立直线、的方程，可求得点的坐标，进而可求得直线的斜
15、率，由可得，再由点的坐标可求得直线的方程.【详解】（1）因为、，所以中点坐标为， 因为，直线斜率为，所以直线斜率为，由四边形是平行四边形，所以过点，所以直线方程为，即；（2）联立直线、的方程，解得，得，所以斜率为，又因为，所以斜率为，所以方程为，即.【点睛】本题考查直线方程的求解，解题时要结合平行四边形的基本性质求得直线的斜率，结合点斜式得直线方程，考查计算能力，属于中等题.19. 某奶茶店为了解冰冻奶茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某5天卖出冰冻奶茶的杯数与当天气温的对照表：温度/1520253035冰冻奶茶杯数/十杯579810（1）画出散点图；（2）求出变量，之间的线性回归方程
16、；若该奶茶店制定某天的销售目标为杯，当该天的气温是时，该奶茶店能否完成销售目标？注：线性回归方程的系数计算公式：，.（参考数据：，）【答案】（1）散点图见解析；（2），不能【解析】【分析】（1）根据题中已知条件画出散点图即可.（2）利用题中所给公式计算即可得到回归直线为，再将代入回归直线即可得到答案.【详解】（1）散点图如图所示：（2），所以故所求线性回归方程当时，所以当该天的气温是时，该奶茶店不能完成销售目标.【点睛】本题第一问考查散点图，第二问考查回归直线方程的求法和回归直线方程的应用，属于简单题.20. 如图，在中，为边上一点，且（1）求；（2）求面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析
17、】（1）由余弦定理结合题意可得，根据同角三角函数的平方关系可得、，再利用即可得解；（2）由正弦定理可得，进而可求得、，利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）在中，由余弦定理得所以因为，是三角形的内角，所以所以；（2）在中，由正弦定理得，所以，所以，所以【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角恒等变换的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.21. 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方
18、图；（2）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数；（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率.【答案】（1）0.008；直方图见解析；（2）66.8；（3）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图先求出分数在内的概率，从而得出答案.（2）由平均数的计算公式直接计算即可.（3）先求出成绩在内的人数，成绩在内的人数，然后用列举法列出抽取2人的所有结果，由古典概率公式可得答案.【详解】（1）由图可得分数在内的频率为，所以频率分布直方图如下：（2）本次考试成
19、绩的平均数约为.（3）第5组人数为，第6组人数为被抽取的成绩在内的4人，分别记为，；成绩在内的3人，分别记为，；则从这7人中随机抽取2人的情况为：，共21种；被抽到2人中至少有1人成绩优秀的情况为：，共15种.故抽到2人中至少有1人成绩优秀的概率为：.【点睛】本题考查完善频率分布直方图，根据频率分布直方图求平均数，考查古典概率问题，属于中档题.22. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆，点，为圆上的不同于点的两点.（1）已知坐标为，若直线截圆所得的弦长为 ，求圆的方程；（2）若直线过，求面积的最大值；（3）若直线，与圆都相切，求证：当变化时，直线的斜率为定值.【答案】（1）；（2）；（3）证
20、明见解析.【解析】【分析】(1)求出直线的方程，利用圆的弦长公式可求出圆的半径，即可得出答案.(2) 直线的方程为,可得点到直线的距离，由即可求解.（3）过点与圆相切的切线斜率存在，设为，设直线，的斜率分别为，由与圆相切得，可得，的关系，将与圆联立解得的坐标，即可得出答案.【详解】（1）因为，所以，所以直线的方程为，所以点到直线的距离为.因为直线截圆所得的弦长为，所以，所以圆的方程为.（2）由题知直线的斜率存在，故可设直线的方程为即，所以点到直线的距离，在圆中由垂径定理得.所以.令，则当，则时，面积的最大值为.（3）因为，所以过点与圆相切的切线斜率存在，设为，即与圆相切得，化简得 （1）设直线，的斜率分别为，则，是方程（1）的两个根，所以， 将与圆联立解得，同理，所以所以当变化时，直线的斜率为定值.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的斜率为定值的问题，考查转化思想，计算能力，属于中档题.
