1、小专题复习课（三）数列、不等式、推理与证明热 点 聚 焦考 情 播 报热点一：等差数列与等比数列的基本计算1.主要考查利用等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式进行基本运算，考查解方程(组)思想方法的应用2.试题以选择题、填空题的形式出现，难度中低档热点二：等差数列与等比数列的性质及应用1.主要考查利用等差数列、等比数列的性质解决有关的计算问题2.试题为选择题、填空题，命题角度新颖、灵活，经常与其他知识交汇在一起，难度中等热点聚焦考 情 播 报热点三：数列的通项与求和问题1.主要考查利用累加法、累乘法、构造法等求数列的通项公式以及利用公式法、错位相减法、裂项求和法、分组转化法等求数列的前n
2、项和2.试题主要以解答题的形式出现，考查学生的运算能力，难度中等热点四：一元二次不等式的解法1.主要考查一元二次不等式的解法，多与集合运算、求函数定义域、用导数求单调区间等融合在一起命题2.试题一般以选择题、填空题形式出现，难度不大，属于基础题热点聚焦考 情 播 报热点五：平面区域与线性规划问题1.一是考查平面区域，多与判断区域形状、面积计算、几何概型求解、函数图象应用等交汇在一起，题目灵活多变；二是考查线性规划问题，多为线性目标函数，还会涉及距离、斜率等非线性模型，有时还可与平面向量联系2.该考点试题主要是选择题、填空题，以考查基础知识为主，难度为中低档热点六：基本不等式的应用1.通常有两种
3、考查形式：一是与命题真假判断、充分必要条件判断等交汇在一起，考查对基本不等式成立条件的理解；二是考查用基本不等式求最值，求取值范围，求解恒成立问题等2.试题多以选择题、填空题形式出现，主要考查学生灵活运用知识的能力，属于中低档试题热点聚焦考 情 播 报热点七：归纳推理与类比推理1.以考查归纳推理为主，兼考查类比推理，通常是根据已有结论推得一般结论2.试题以选择题、填空题为主，考查学生观察、分析、归纳问题的能力，属于基础题热点一等差数列与等比数列的基本计算1.(2013海口模拟)若数列an是等差数列，且a6=-2 013,a13=-2 013,Sn是an的前n项和，则Sn()(A)必大于零(B)
4、必小于零(C)必等于零(D)无法确定与零的大小关系【解析】选B.由已知可得该等差数列的公差为0，是常数列，故Sn=-2 013n,必有Sn0，因此q450，从而q0，即正确.其余命题均错误，如当时满足题意，但数列an的各项全为负数，故和均错；当时满足题意，故错误.答案:热点二等差数列与等比数列的性质及应用1.在各项均为正数的等比数列an中，则下列结论中正确的是()(A)数列an是递增数列(B)数列an是递减数列(C)数列an是常数列(D)数列an有可能是递增数列也有可能是递减数列【解析】选C.因为an各项均为正数，所以a4+a8因此而已知所以只能有a4+a8=2a6，这时a4=a8，数列an是
5、常数列.2.(2013珠海模拟)已知各项均不为零的等差数列an满足：数列bn是各项均为正值的等比数列，且b7=a7,则等于()【解析】选A.由可得所以于是于是3.(2013聊城模拟)已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为_.【解析】设项数为n，依题意有解得n=20.答案:20热点三数列的通项与求和问题1.(2013厦门模拟)已知数列an满足a1=3,an+1-6an=3n+1(nN*),则数列an的通项公式为()(A)an=6n-3n (B)an=6n(C)an=3n (D)an=6n-1-3n-1【解析】选A.由已知可得即即数列
6、是等比数列，其首项为公比为2,所以故an=6n-3n.2.(2013济宁模拟)已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，bn是首项为1，公比为2的等比数列，则数列的前10项的和等于()(A)511 (B)512 (C)1 023 (D)1 013【解析】选D.依题意可得an=2+(n-1)1=n+1,bn=12n-1=2n-1,于是因此其前10项之和为3.(2013太原模拟)已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d,Sn为其前n项和，且满足an2=S2n-1(nN*).数列bn满足Tn为数列bn的前n项和.(1)求数列an的通项公式和Tn.(2)是否存在正整数m,n(1m0，又mN*，
7、且m1,所以m=2,此时n=12.因此，当且仅当m=2,n=12时，T1，Tm,Tn成等比数列.方法二：因为故即2m2-4m-10,(以下同方法一)热点四一元二次不等式的解法1.已知函数图象经过点则函数的定义域为()【解析】选A.由已知可得即所以a=-2，即要使函数有意义，应满足2x2-3x-20，解得或x2.2.已知函数则不等式f(x)x2的解集是()(A)-1，1(B)-2，2(C)-2，1(D)-1，2【解析】选A.由得-1x0;由得00对x(1,2)恒成立，则实数k的取值范围是_.【解析】不等式可化为x2-1k(x-1),由于x(1,2)，所以x-10,于是x+1k，当x(1,2)时，
8、x+1(2,3)，因此k的取值范围是k2.答案:k2 热点五平面区域与线性规划问题1.(2013浙江模拟)已知变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最小值为()(A)12 (B)11 (C)8 (D)-1【解析】选C.画出可行域(如图)，而y=-3x+z,所以当直线y=-3x+z经过点A(2，2)时，z取最小值，最小值z=8.2.已知实数x，y满足如果目标函数zx-y的最小值为-1，则实数m等于()(A)7 (B)5 (C)4 (D)3【解析】选B.画出可行域如图中阴影部分，由题意知，当(x，y)在点A处时取得最小值.由得因此所以m5.3.(2013潍坊模拟)如果直线2ax-by+14=0(a
9、0,b0)和函数f(x)=mx+1+1(m0,m1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x-a+1)2+(y+b-2)2=25的内部或圆上，那么的取值范围是_.【解析】函数f(x)=mx+1+1的图象经过定点(-1,2)，所以直线2ax-by+14=0也经过点(-1,2)，于是-2a-2b+14=0，即a+b=7.又点(-1,2)在圆(x-a+1)2+(y+b-2)2=25的内部或圆上，所以a2+b225，故点P(a,b)在直线x+y=7和圆x2+y2=25相交形成的弦MN上，其中M(3,4),N(4,3)，而表示点P与原点的斜率，所以即答案:热点六基本不等式的应用1.(2013郑州模拟
10、)已知角的终边上有一点则tan 的最小值为()【解析】选B.依题意知由于t0,所以当且仅当即时，tan 取最小值1.2.(2013温州模拟)已知函数有最大值-4，则a的值为()(A)1 (B)-1 (C)4 (D)-4【解析】选B.由于当即x=2时，取得最小值4，而函数有最大值-4，所以a=-1.3.(2013宝鸡模拟)“蛟龙号”载人潜水器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器.设计最大下潜深度为7 000米.6月24日，“蛟龙号”载人潜水器7 000米海试在西太平洋马里亚纳海沟进行了第四次下潜试验.“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s(米)与时间t(分钟)之间的关系满足关系式为
11、s=0.2t2-14t+2 000，则平均速度的最小值是_米/分钟.【解析】平均速度为当且仅当即t=100分钟时，v(t)取得最小值.答案:26 热点七归纳推理与类比推理1.(2013合肥模拟)已知x，yZ,nN*,设f(n)是不等式组表示的平面区域内可行解的个数，归纳推理f(n)=_.【解析】当n=1时，f(1)=1；当n=2时，f(2)=3；当n=3时，f(3)=6；当n=4时，f(4)=10；，归纳可得答案:2.对于大于或等于2的自然数m的3次方幂，作如下分解：13=1,23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，根据上述分解规律，若m3(mN*)的分解式中最小的数是
12、31，则m的值为_.【解析】由给出的几个分解式可得一般规律为：m3(mN*)的分解式中第1个数是m(m-1)+1，令m(m-1)+1=31,解得m=6.答案:63.问题“求方程3x+4x=5x的解”有如下的思路：方程3x+4x=5x可变为考查函数可知，f(2)=1，且函数f(x)在R上单调递减，所以原方程有唯一解x=2.类比上述解法，可得到不等式：x6-(2x+3)(2x+3)3-x2的解集是_.【解析】将不等式化为x6+x2(2x+3)3+(2x+3).构造函数f(x)=x3+x，显然函数f(x)在R上单调递增，而f(x2)f(2x+3)，所以x22x+3，解得x3或x-1.答案:(-,-1)(3,+)
