1、第 1 页/共 18 页初中数学 9 年级上册同步培优专题题库(北师大版)专题 4.8 图形的位似姓名:_ 班级:_ 得分:_ 注意事项:本试卷满分 100 分,考试时间 45 分钟,试题共 24 题答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(2020汝南县一模)如图,以点 O 为位似中心,把ABC 中放大到原来的 2 倍得到ABC以下说法中错误的是()AABCABCB点 C,O,C三点在同一条直线上CAO:AA1:2DABAB【分
2、析】根据位似的性质对各选项进行判断【解析】点 O 为位似中心,把ABC 中放大到原来的 2 倍得到ABC,ABCABC,OA:OA1:2,ABAB,CC经过点 O故选:C2(2019 秋揭西县期末)在平面直角坐标系中,ABC 与A1B1C1 位似,位似中心是原点 O,若ABC与A1B1C1 的相似比为 1:2,且点 A 的坐标是(1,3),则它的对应点 A1 的坐标是()A(3,1)B(2,6)C(2,6)或(2,6)D(1,3)【分析】直接利用ABC 与A1B1C1 的相似比为 1:2,结合位似变换是以原点为位似中心,相似比为 k,第 2 页/共 18 页那么位似图形对应点的坐标的比等于 k
3、 或k,进而得出答案【解析】ABC 与A1B1C1 的相似比为 1:2,且点 A 的坐标是(1,3),它的对应点 A1 的坐标是:(2,6)或(2,6)故选:C3(2020安阳模拟)如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,ABC 的三个顶点均在格点(网格线的交点)上以原点 O 为位似中心,画A1B1C1,使它与ABC 的相似比为 2,则点 B 的对应点 B1 的坐标是()A(4,2)B(1,)C(1,)或(1,)D(4,2)或(4,2)【分析】先根据图形求出点 B 的坐标,根据以原点 O 为位似中心的位似图形的性质计算【解析】由图可知,点 B 的坐标为(2,1),以原点
4、 O 为位似中心,画A1B1C1,使它与ABC 的相似比为 2,点 B 的对应点 B1 的坐标是(22,12)或(22,12),即(4,2)或(4,2),故选:D4(2020河北模拟)如图,平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 的坐标分别为(4,0)、(2,3),ABO是ABO 关于点 A 的位似图形,且 O的坐标为(2,0),则点 B的坐标为()A(1,5)B(,5)C(1,)D(,)第 3 页/共 18 页【分析】过点 B 作 BEx 轴于点 E,B作 BFx 轴于点 F,根据位似变换的性质得到 ,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可【解析】过点 B 作 BEx 轴于点 E,B作 B
5、Fx 轴于点 F,则 BEBF,由题意得,OEEA2,BE3,点 A、B 的坐标分别为(4,0)、(2,3),ABO是ABO 关于的 A 的位似图形,且 O的坐标为(2,0),OBOB,BEBF,AEBAFB,即 ,解得,AF3,BF ,OF1,则点 B的坐标为(1,),故选:C5(2020河北)在如图所示的网格中,以点 O 为位似中心,四边形 ABCD 的位似图形是()第 4 页/共 18 页A四边形 NPMQB四边形 NPMRC四边形 NHMQD四边形 NHMR【分析】由以点 O 为位似中心,确定出点 C 对应点 M,设网格中每个小方格的边长为 1,则 OC ,OM2,OD ,OB ,OA
6、 ,OR ,OQ2,OP2 ,OH3,ON2 ,由 2,得点 D 对应点 Q,点 B 对应点 P,点 A 对应点 N,即可得出结果【解析】以点 O 为位似中心,点 C 对应点 M,设网格中每个小方格的边长为 1,则 OC ,OM 2,OD ,OB ,OA ,OR ,OQ2,OP 2 ,OH 3,ON 2 ,2,点 D 对应点 Q,点 B 对应点 P,点 A 对应点 N,以点 O 为位似中心,四边形 ABCD 的位似图形是四边形 NPMQ,故选:A6(2019 秋汝阳县期中)如图,已知线段 AB 的两个端点的坐标分别是 A(m,m),B(2n,n),以原点 O 为位似中心,相似比为 ,把线段 A
7、B 缩小,则经过位似变换后,A 的对应点 A坐标是()A(m,n)B(m,m)C(m,m)D(n,n)第 5 页/共 18 页【分析】根据位似变换的性质解答【解析】以原点 O 为位似中心,相似比为 ,把线段 AB 缩小,点 A 的坐标为(m,m),点 A坐标是(m,m),故选:C7(2020渝中区校级二模)如图,以点 C(1,0)为位似中心,作ABC 的位似图形ABC,若点 B的横坐标是2,点 B 的对应点 B的横坐标是 2,则ABC 与ABC 的周长之比为()A1:2B1:3C2:3D2:1【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应线段长进而得出相似比,即可得出周长比【解析】过点 B 作 B
8、Ex 轴于点 E,过点 B作 BFx 轴于点 F,以点 C(1,0)为位似中心,作ABC 的位似图形ABC,点 B 的横坐标是2,EC1,点 B 的对应点 B的横坐标是 2,CF3,ABC 与ABC 的周长之比为:1:3故选:B8(2020重庆)如图,ABC 与DEF 位似,点 O 为位似中心已知 OA:OD1:2,则ABC 与DEF 的面积比为()第 6 页/共 18 页A1:2B1:3C1:4D1:5【分析】根据位似图形的概念求出ABC 与DEF 的相似比,根据相似三角形的性质计算即可【解析】ABC 与DEF 是位似图形,OA:OD1:2,ABC 与DEF 的位似比是 1:2ABC 与DE
9、F 的相似比为 1:2,ABC 与DEF 的面积比为 1:4,故选:C9(2019 秋开江县期末)如图,在平面直角坐标中,正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形,且相似比为 ,点 A,B,E 在 x 轴上若正方形 ABCD 的边长为 2,则点 F 坐标为()A(8,6)B(9,6)C ,D(10,6)【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出 EF 的长,进而得出OBCOEF,进而得出 EO 的长,即可得出答案【解析】正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形,且相似比为 ,BC2,EFBE6,BCEF,OBCOEF,第 7 页
10、/共 18 页 ,解得:OB3,EO9,F 点坐标为:(9,6),故选:B10(2019 春荣成市期中)如图,ABO 放大后变为ABO,其中 A、B 的对应点分别为 A、B,点 A、B、A、B均在格点上若线段 AB 上有一点 P(m,n),则点 P 在 AB上的对应点 P的坐标为()A(m,n)B(,)C(,3n)D(3m,3n)【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比进而得出对应点坐标【解析】如图所示:OB ,OB 3 ,ABO 放大后变为ABO,ABO 与ABO 是位似图形,位似比为:3,线段 AB 上有一点 P(m,n),点 P 在 AB上的对应点 P的坐标为(3m,3n)故选:D二、填
11、空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)请把答案直接填写在横线上11(2020滨州一模)在平面直角坐标系中,ABO 三个顶点的坐标分别为 A(6,2),B(4,0),O(0,0)以原点 O 为位似中心,把这个三角形缩小为原来的 ,得到CDO,则点 A 的对应点 C 的坐标是(3,1)或(3,1)第 8 页/共 18 页【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律,把 A 点的横纵坐标分别都乘以 或 得到 C 点坐标【解析】A 点坐标为(6,2),以原点 O 为位似中心,把ABC 缩小为原来的 得到CDO,C 点坐标为(3,1)或(3,1)故答案为(3,1)或(3,1)
12、12(2020长沙模拟)如图,已知ABO 顶点 A(2,4),以原点 O 为位似中心,把ABO 缩小到原来的 ,则与点 A 对应的点 A的坐标是(1,2)或(1,2)【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系,把 A 点的横纵坐标分别乘以 或 得到点 A的坐标【解析】顶点 A(2,4),以原点 O 为位似中心,把ABO 缩小到原来的 ,与点 A 对应的点 A的坐标是(1,2)或(1,2)故答案为(1,2)或(1,2)13(2019 秋涟源市期末)如图,在平面直角坐标系中,ABC 和ABC是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形,且点 B(3,1),B(6,2),若点 A(5,6),则
13、 A 的坐标为(2.5,3)【分析】利用点 B(3,1),B(6,2)即可得出位似比进而得出 A 的坐标【解析】点 B(3,1),B(6,2),点 A(5,6),A 的坐标为:(2.5,3)故答案为:(2.5,3)第 9 页/共 18 页14(2020 春沙坪坝区校级月考)如图,平面直角坐标系中有正方形 ABCD 和正方形 EFGH,若点 A 和点E 的坐标分别为(2,3),(1,1),则两个正方形的位似中心的坐标是(,0)或(4,)【分析】分两种情况讨论,一种是点 A 和 E 是对应顶点,B 和 F 是对应顶点;另一种是点 A 和 G 是对应顶点,C 和 E 是对应顶点【解析】(1)当点 A
14、 和 E 是对应顶点,B 和 F 是对应顶点时,位似中心就是 AE 与 BF 的交点,如图所示:连接 AE,交 x 轴于点 N,点 N 即为两个正方形的位似中心,点 A 和点 E 的坐标分别为(2,3),(1,1),AB3,EF1,BF1(2)3,ABEF,ABNEFN,解得:BN ,ON 2 ,两个正方形的位似中心的坐标是:(,0)(2)当点 A 和 G 是对应顶点,C 和 E 是对应顶点时,位似中心就是 AG 与 CE 的交点,如图所示:连接 AG,DF,BH,CE 并延长交于点 M,第 10 页/共 18 页设 AG 所在直线解析式为:ykx+b,把 A(2,3),G(2,0)代入得:故
15、 ,解得:,故 y x ;设 BH 所在直线解析式为:ymx+n,把 B(2,0),H(2,1)代入得:,故 y x ,解得:,故 M(4,),综上所述:两个正方形的位似中心的坐标是:(,0)或(4,)故答案为:(,0)或(4,)15(2019 秋鄄城县期末)在平面直角坐标系中,ABC 和ABC是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形,且点 B(3,1),B(6,2)若点 A(2,3),则 A的坐标为(4,6)第 11 页/共 18 页【分析】根据点 B 和 B的坐标求出ABC 和ABC的相似比,根据位似变换的性质计算即可【解析】ABC 和ABC是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形,点 B(3
16、,1),B(6,2),则ABC 和ABC的相似比为 1:2,点 A(2,3),A的坐标为(22,32),即(4,6),故答案为(4,6)16(2019 秋海珠区期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以原点为位似中心,线段 CD 与线段 AB 是位似图形,若 C(2,3),D(3,1),A(4,6),则 B 的坐标为(6,2)【分析】直接利用 C,A 点的变化规律得出 B 点坐标即可【解析】以原点为位似中心线段 CD 与线段 AB 是位似图形,C(2,3),A(4,6),D(3,1)的对应点 B 的坐标为:(6,2)故答案为:(6,2)17(2020温州三模)如图,在平面直角坐标系中,ABC
17、 与A1B1C1 是位似图形,坐标原点 O 为位似中心A 与 A1,B 与 B1 是对应顶点已知 A(6,2),A1(3,1),BC5,则 B1C1 的长为 【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长【解析】ABC 与A1B1C1 是位似图形,坐标原点 O 为位似中心,A(6,2),A1(3,1),ABC 与A1B1C1 的相似比为:,BC5,B1C1 的长为:5 第 12 页/共 18 页故答案为:18(2020泰兴市模拟)如图,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点,边 OA 在 x 轴上,OC在 y 轴上,如果矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O
18、位似,且矩形 OABC的面积等于矩形 OABC 面积的 ,那么点 B的坐标是(2,3)或(2,3)【分析】根据位似图形的概念得到矩形 OABC矩形 OABC,根据相似多边形的性质求出相似比,根据位似图形与坐标的关系计算,得到答案【解析】矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O 位似,矩形 OABC矩形 OABC,矩形 OABC的面积等于矩形 OABC 面积的 ,矩形 OABC与矩形 OABC 的相似比为 ,点 B 的坐标为(4,6),点 B的坐标为(4 ,6 )或(4 ,6 ),即(2,3)或(2,3),故答案为:(2,3)或(2,3)三、解答题(本大题共 6 小题,共 46 分解答时应写出
19、文字说明、证明过程或演算步骤)19根据下列要求画图:(1)如图,以 AB 的中点 O 为位似中心,把矩形 ABCD 按相似比 1:2 缩小;(2)如图,以点 B 为位似中心,把ABC 按相似比 2:1 放大【分析】(1)直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案;(2)直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案第 13 页/共 18 页【解析】(1)如图所示:矩形 ABCD、矩形 ABCD即为所求;(2)如图所示:BCA、BAC即为所求20(2020合肥二模)在平面直角坐标系中,ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1,2),B(2,1),C(4,3)(1)画出ABC 关于 x
20、 轴对称的A1B1C1;(2)以点 O 为位似中心,在网格中画出A1B1C1 的位似图形A2B2C2,使A2B2C2 与A1B1C1 的相似比为 2:1;(3)设点 P(a,b)为ABC 内一点,则依上述两次变换后点 P 在A2B2C2 内的对应点 P2 的坐标是(2a,2b)【分析】(1)利用关于 x 轴对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1 的坐标,然后描点即可;(2)利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系,把点 A1、B1、C1 的横纵坐标都乘以 2 得到A2、B2、C2 的坐标,然后描点即可;(3)利用(2)中的坐标变换规律求解【解析】(1)如图,A1B1C1 为所作;(2)
21、如图,A2B2C2 为所作;第 14 页/共 18 页(3)点 P 的对应点 P2 的坐标是(2a,2b)故答案为(2a,2b)21(2018宁波模拟)我们把三个顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上的三角形称为格点三角形,如图 1 中的ABC 就是一个格点三角形(1)在图 2 中画出面积最小的格点DBE,使DBEABC(2)在图 3 中画出面积最大的格点FBG,使FBGABC【分析】(1)由题意 AB:BC2:1,利用数形结合的思想画出 BD2,BE1 的直角三角形即可(2)BF 的最大值2 ,画出 BF2 ,BG 的直角三角形即可【解析】(1)如图 2 中,DBE 即为所求(2)如图
22、 3 中,FBG 即为所求22(2020武汉模拟)如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,线段OA 的端点在格点上,且 OA1请选择适当的格点,用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,保留连第 15 页/共 18 页线的痕迹,不要求说明理由(1)作OAB,使线段 OB2,线段 AB (2)C 为线段 OB 的中点,画OCDAOB(3)选择适当的格点 E,作BAE45【分析】(1)依据勾股定理即可得出点 B 的位置;(2)依据相似三角形的判定,即可得到格点 D 的位置;(3)依据等腰直角三角形的底角等于 45,即可得到格点 E 的位置【解析】(1)如图所示,OAB 即为
23、所求;(2)如图所示,OCDAOB;(3)如图所示,BAE4523(2020福清市模拟)如图,已知ABC 中,C90,点 D 在边 BC 上,在 AC 边上求作点 E,使CDECBA;并求出当 AB10,BC8,CD3 时,四边形 ABDE 的面积(要求尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法)【分析】由CDECBA 知CDEB,据此利用尺规作图作CDEB 即可得;先求出 SABC24,再由 ()2 求出 SCDE ,最后根据可得答案【解析】如图所示点 E 即为所求第 16 页/共 18 页C90,AB10,BC8,AC6,则 SABC 6824,又CDECBA,()2,CD3,解得 SCDE ,则
24、四边形 ABDE 的面积SABCSCDE24 24(2020常州一模)定义:我们知道,四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解:(1)如图 1,ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上,若四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形,请用无刻度的直尺在网格中画出点 D(保留画图痕迹,找出 3 个即可);(2)如图 2,在四边形 ABCD 中,ABC80,ADC140,对角线 BD 平分ABC请问 BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”吗?请说明理由;运用:(3)如图 3,已知 FH 是四
25、边形 EFGH 的“相似对角线”,EFHHFG30连接 EG,若EFG的面积为 6,求 FH 的长第 17 页/共 18 页【分析】(1)先求出 AB,BC,AC,再分情况求出 CD 或 AD,即可画出图形;(2)先判断出A+ADB140ADC,即可得出结论;(3)先判断出FEHFHG,得出 FH2FEFG,再判断出 EQ FE,继而求出 FGFE24,即可得出结论【解析】(1)如图 1 所示AB ,BC2,ABC90,AC5,四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形,当ACD90时,ACDABC 或ACDCBA,或 ,或 ,CD2.5 或 CD10,同理:当CAD90时,AD2.5 或 AD10,如图中,D1,D2,D3,D4 即为所求(2)如图 2,BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”,理由如下:ABC80,BD 平分ABC,ABDDBC40,A+ADB140,ADC140,BDC+ADB140第 18 页/共 18 页ABDC,ABDDBC,BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”;(3)如图 3,FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”,EFH 与HFG 相似又EFHHFG,FEHFHG,FH2FEFG,过点 E 作 EQFG 垂足为 Q,可得 ,FGFE24,FH2FGFE24,