1、第 1 页/共 18 页初中数学 9 年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题 4.8 图形的位似姓名：_ 班级：_ 得分：_ 注意事项：本试卷满分 100 分，考试时间 45 分钟，试题共 24 题答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2020汝南县一模）如图，以点 O 为位似中心，把ABC 中放大到原来的 2 倍得到ABC以下说法中错误的是（）AABCABCB点 C，O，C三点在同一条直线上CAO：AA1：2DABAB【分
2、析】根据位似的性质对各选项进行判断【解析】点 O 为位似中心，把ABC 中放大到原来的 2 倍得到ABC，ABCABC，OA：OA1：2，ABAB，CC经过点 O故选：C2（2019 秋揭西县期末）在平面直角坐标系中，ABC 与A1B1C1 位似，位似中心是原点 O，若ABC与A1B1C1 的相似比为 1：2，且点 A 的坐标是（1，3），则它的对应点 A1 的坐标是（）A（3，1）B（2，6）C（2，6）或（2，6）D（1，3）【分析】直接利用ABC 与A1B1C1 的相似比为 1：2，结合位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，第 2 页/共 18 页那么位似图形对应点的坐标的比等于 k
3、 或k，进而得出答案【解析】ABC 与A1B1C1 的相似比为 1：2，且点 A 的坐标是（1，3），它的对应点 A1 的坐标是：（2，6）或（2，6）故选：C3（2020安阳模拟）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上以原点 O 为位似中心，画A1B1C1，使它与ABC 的相似比为 2，则点 B 的对应点 B1 的坐标是（）A（4，2）B（1，）C（1，）或（1，）D（4，2）或（4，2）【分析】先根据图形求出点 B 的坐标，根据以原点 O 为位似中心的位似图形的性质计算【解析】由图可知，点 B 的坐标为（2，1），以原点
4、 O 为位似中心，画A1B1C1，使它与ABC 的相似比为 2，点 B 的对应点 B1 的坐标是（22，12）或（22，12），即（4，2）或（4，2），故选：D4（2020河北模拟）如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 的坐标分别为（4，0）、（2，3），ABO是ABO 关于点 A 的位似图形，且 O的坐标为（2，0），则点 B的坐标为（）A（1，5）B（，5）C（1，）D（，）第 3 页/共 18 页【分析】过点 B 作 BEx 轴于点 E，B作 BFx 轴于点 F，根据位似变换的性质得到 ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【解析】过点 B 作 BEx 轴于点 E，B作 B
5、Fx 轴于点 F，则 BEBF，由题意得，OEEA2，BE3，点 A、B 的坐标分别为（4，0）、（2，3），ABO是ABO 关于的 A 的位似图形，且 O的坐标为（2，0），OBOB，BEBF，AEBAFB，即 ，解得，AF3，BF ，OF1，则点 B的坐标为（1，），故选：C5（2020河北）在如图所示的网格中，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（）第 4 页/共 18 页A四边形 NPMQB四边形 NPMRC四边形 NHMQD四边形 NHMR【分析】由以点 O 为位似中心，确定出点 C 对应点 M，设网格中每个小方格的边长为 1，则 OC ，OM2，OD ，OB ，OA
6、 ，OR ，OQ2，OP2 ，OH3，ON2 ，由 2，得点 D 对应点 Q，点 B 对应点 P，点 A 对应点 N，即可得出结果【解析】以点 O 为位似中心，点 C 对应点 M，设网格中每个小方格的边长为 1，则 OC ，OM 2，OD ，OB ，OA ，OR ，OQ2，OP 2 ，OH 3，ON 2 ，2，点 D 对应点 Q，点 B 对应点 P，点 A 对应点 N，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是四边形 NPMQ，故选：A6（2019 秋汝阳县期中）如图，已知线段 AB 的两个端点的坐标分别是 A（m，m），B（2n，n），以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 A
7、B 缩小，则经过位似变换后，A 的对应点 A坐标是（）A（m，n）B（m，m）C（m，m）D（n，n）第 5 页/共 18 页【分析】根据位似变换的性质解答【解析】以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小，点 A 的坐标为（m，m），点 A坐标是（m，m），故选：C7（2020渝中区校级二模）如图，以点 C（1，0）为位似中心，作ABC 的位似图形ABC，若点 B的横坐标是2，点 B 的对应点 B的横坐标是 2，则ABC 与ABC 的周长之比为（）A1：2B1：3C2：3D2：1【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应线段长进而得出相似比，即可得出周长比【解析】过点 B 作 B
8、Ex 轴于点 E，过点 B作 BFx 轴于点 F，以点 C（1，0）为位似中心，作ABC 的位似图形ABC，点 B 的横坐标是2，EC1，点 B 的对应点 B的横坐标是 2，CF3，ABC 与ABC 的周长之比为：1：3故选：B8（2020重庆）如图，ABC 与DEF 位似，点 O 为位似中心已知 OA：OD1：2，则ABC 与DEF 的面积比为（）第 6 页/共 18 页A1：2B1：3C1：4D1：5【分析】根据位似图形的概念求出ABC 与DEF 的相似比，根据相似三角形的性质计算即可【解析】ABC 与DEF 是位似图形，OA：OD1：2，ABC 与DEF 的位似比是 1：2ABC 与DE
9、F 的相似比为 1：2，ABC 与DEF 的面积比为 1：4，故选：C9（2019 秋开江县期末）如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点 A，B，E 在 x 轴上若正方形 ABCD 的边长为 2，则点 F 坐标为（）A（8，6）B（9，6）C ，D（10，6）【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出 EF 的长，进而得出OBCOEF，进而得出 EO 的长，即可得出答案【解析】正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，BC2，EFBE6，BCEF，OBCOEF，第 7 页
10、/共 18 页 ，解得：OB3，EO9，F 点坐标为：（9，6），故选：B10（2019 春荣成市期中）如图，ABO 放大后变为ABO，其中 A、B 的对应点分别为 A、B，点 A、B、A、B均在格点上若线段 AB 上有一点 P（m，n），则点 P 在 AB上的对应点 P的坐标为（）A（m，n）B（，）C（，3n）D（3m，3n）【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比进而得出对应点坐标【解析】如图所示：OB ，OB 3 ，ABO 放大后变为ABO，ABO 与ABO 是位似图形，位似比为：3，线段 AB 上有一点 P（m，n），点 P 在 AB上的对应点 P的坐标为（3m，3n）故选：D二、填
11、空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）请把答案直接填写在横线上11（2020滨州一模）在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标分别为 A（6，2），B（4，0），O（0，0）以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，得到CDO，则点 A 的对应点 C 的坐标是（3，1）或（3，1）第 8 页/共 18 页【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律，把 A 点的横纵坐标分别都乘以 或 得到 C 点坐标【解析】A 点坐标为（6，2），以原点 O 为位似中心，把ABC 缩小为原来的 得到CDO，C 点坐标为（3，1）或（3，1）故答案为（3，1）或（3，1）
12、12（2020长沙模拟）如图，已知ABO 顶点 A（2，4），以原点 O 为位似中心，把ABO 缩小到原来的 ，则与点 A 对应的点 A的坐标是（1，2）或（1，2）【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把 A 点的横纵坐标分别乘以 或 得到点 A的坐标【解析】顶点 A（2，4），以原点 O 为位似中心，把ABO 缩小到原来的 ，与点 A 对应的点 A的坐标是（1，2）或（1，2）故答案为（1，2）或（1，2）13（2019 秋涟源市期末）如图，在平面直角坐标系中，ABC 和ABC是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形，且点 B（3，1），B（6，2），若点 A（5，6），则
13、 A 的坐标为（2.5，3）【分析】利用点 B（3，1），B（6，2）即可得出位似比进而得出 A 的坐标【解析】点 B（3，1），B（6，2），点 A（5，6），A 的坐标为：（2.5，3）故答案为：（2.5，3）第 9 页/共 18 页14（2020 春沙坪坝区校级月考）如图，平面直角坐标系中有正方形 ABCD 和正方形 EFGH，若点 A 和点E 的坐标分别为（2，3），（1，1），则两个正方形的位似中心的坐标是（，0）或（4，）【分析】分两种情况讨论，一种是点 A 和 E 是对应顶点，B 和 F 是对应顶点；另一种是点 A 和 G 是对应顶点，C 和 E 是对应顶点【解析】（1）当点 A
14、 和 E 是对应顶点，B 和 F 是对应顶点时，位似中心就是 AE 与 BF 的交点，如图所示：连接 AE，交 x 轴于点 N，点 N 即为两个正方形的位似中心，点 A 和点 E 的坐标分别为（2，3），（1，1），AB3，EF1，BF1（2）3，ABEF，ABNEFN，解得：BN ，ON 2 ，两个正方形的位似中心的坐标是：（，0）（2）当点 A 和 G 是对应顶点，C 和 E 是对应顶点时，位似中心就是 AG 与 CE 的交点，如图所示：连接 AG，DF，BH，CE 并延长交于点 M，第 10 页/共 18 页设 AG 所在直线解析式为：ykx+b，把 A（2，3），G（2，0）代入得：故
15、 ，解得：，故 y x ；设 BH 所在直线解析式为：ymx+n，把 B（2，0），H（2，1）代入得：，故 y x ，解得：，故 M（4，），综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：（，0）或（4，）故答案为：（，0）或（4，）15（2019 秋鄄城县期末）在平面直角坐标系中，ABC 和ABC是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形，且点 B（3，1），B（6，2）若点 A（2，3），则 A的坐标为（4，6）第 11 页/共 18 页【分析】根据点 B 和 B的坐标求出ABC 和ABC的相似比，根据位似变换的性质计算即可【解析】ABC 和ABC是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形，点 B（3
16、，1），B（6，2），则ABC 和ABC的相似比为 1：2，点 A（2，3），A的坐标为（22，32），即（4，6），故答案为（4，6）16（2019 秋海珠区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为位似中心，线段 CD 与线段 AB 是位似图形，若 C（2，3），D（3，1），A（4，6），则 B 的坐标为（6，2）【分析】直接利用 C，A 点的变化规律得出 B 点坐标即可【解析】以原点为位似中心线段 CD 与线段 AB 是位似图形，C（2，3），A（4，6），D（3，1）的对应点 B 的坐标为：（6，2）故答案为：（6，2）17（2020温州三模）如图，在平面直角坐标系中，ABC
17、 与A1B1C1 是位似图形，坐标原点 O 为位似中心A 与 A1，B 与 B1 是对应顶点已知 A（6，2），A1（3，1），BC5，则 B1C1 的长为 【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长【解析】ABC 与A1B1C1 是位似图形，坐标原点 O 为位似中心，A（6，2），A1（3，1），ABC 与A1B1C1 的相似比为：，BC5，B1C1 的长为：5 第 12 页/共 18 页故答案为：18（2020泰兴市模拟）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC在 y 轴上，如果矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O
18、位似，且矩形 OABC的面积等于矩形 OABC 面积的 ，那么点 B的坐标是（2，3）或（2，3）【分析】根据位似图形的概念得到矩形 OABC矩形 OABC，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案【解析】矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O 位似，矩形 OABC矩形 OABC，矩形 OABC的面积等于矩形 OABC 面积的 ，矩形 OABC与矩形 OABC 的相似比为 ，点 B 的坐标为（4，6），点 B的坐标为（4 ，6 ）或（4 ，6 ），即（2，3）或（2，3），故答案为：（2，3）或（2，3）三、解答题（本大题共 6 小题，共 46 分解答时应写出
19、文字说明、证明过程或演算步骤）19根据下列要求画图：（1）如图，以 AB 的中点 O 为位似中心，把矩形 ABCD 按相似比 1：2 缩小；（2）如图，以点 B 为位似中心，把ABC 按相似比 2：1 放大【分析】（1）直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案第 13 页/共 18 页【解析】（1）如图所示：矩形 ABCD、矩形 ABCD即为所求；（2）如图所示：BCA、BAC即为所求20（2020合肥二模）在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，2），B（2，1），C（4，3）（1）画出ABC 关于 x
20、 轴对称的A1B1C1；（2）以点 O 为位似中心，在网格中画出A1B1C1 的位似图形A2B2C2，使A2B2C2 与A1B1C1 的相似比为 2：1；（3）设点 P（a，b）为ABC 内一点，则依上述两次变换后点 P 在A2B2C2 内的对应点 P2 的坐标是（2a，2b）【分析】（1）利用关于 x 轴对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1 的坐标，然后描点即可；（2）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点 A1、B1、C1 的横纵坐标都乘以 2 得到A2、B2、C2 的坐标，然后描点即可；（3）利用（2）中的坐标变换规律求解【解析】（1）如图，A1B1C1 为所作；（2）
21、如图，A2B2C2 为所作；第 14 页/共 18 页（3）点 P 的对应点 P2 的坐标是（2a，2b）故答案为（2a，2b）21（2018宁波模拟）我们把三个顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的三角形称为格点三角形，如图 1 中的ABC 就是一个格点三角形（1）在图 2 中画出面积最小的格点DBE，使DBEABC（2）在图 3 中画出面积最大的格点FBG，使FBGABC【分析】（1）由题意 AB：BC2：1，利用数形结合的思想画出 BD2，BE1 的直角三角形即可（2）BF 的最大值2 ，画出 BF2 ，BG 的直角三角形即可【解析】（1）如图 2 中，DBE 即为所求（2）如图
22、 3 中，FBG 即为所求22（2020武汉模拟）如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段OA 的端点在格点上，且 OA1请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连第 15 页/共 18 页线的痕迹，不要求说明理由（1）作OAB，使线段 OB2，线段 AB （2）C 为线段 OB 的中点，画OCDAOB（3）选择适当的格点 E，作BAE45【分析】（1）依据勾股定理即可得出点 B 的位置；（2）依据相似三角形的判定，即可得到格点 D 的位置；（3）依据等腰直角三角形的底角等于 45，即可得到格点 E 的位置【解析】（1）如图所示，OAB 即为
23、所求；（2）如图所示，OCDAOB；（3）如图所示，BAE4523（2020福清市模拟）如图，已知ABC 中，C90，点 D 在边 BC 上，在 AC 边上求作点 E，使CDECBA；并求出当 AB10，BC8，CD3 时，四边形 ABDE 的面积（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）【分析】由CDECBA 知CDEB，据此利用尺规作图作CDEB 即可得；先求出 SABC24，再由 （）2 求出 SCDE ，最后根据可得答案【解析】如图所示点 E 即为所求第 16 页/共 18 页C90，AB10，BC8，AC6，则 SABC 6824，又CDECBA，（）2，CD3，解得 SCDE ，则
24、四边形 ABDE 的面积SABCSCDE24 24（2020常州一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解：（1）如图 1，ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点 D（保留画图痕迹，找出 3 个即可）；（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABC80，ADC140，对角线 BD 平分ABC请问 BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”吗？请说明理由；运用：（3）如图 3，已知 FH 是四
25、边形 EFGH 的“相似对角线”，EFHHFG30连接 EG，若EFG的面积为 6，求 FH 的长第 17 页/共 18 页【分析】（1）先求出 AB，BC，AC，再分情况求出 CD 或 AD，即可画出图形；（2）先判断出A+ADB140ADC，即可得出结论；（3）先判断出FEHFHG，得出 FH2FEFG，再判断出 EQ FE，继而求出 FGFE24，即可得出结论【解析】（1）如图 1 所示AB ，BC2，ABC90，AC5，四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形，当ACD90时，ACDABC 或ACDCBA，或 ，或 ，CD2.5 或 CD10，同理：当CAD90时，AD2.5 或 AD10，如图中，D1，D2，D3，D4 即为所求（2）如图 2，BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”，理由如下：ABC80，BD 平分ABC，ABDDBC40，A+ADB140，ADC140，BDC+ADB140第 18 页/共 18 页ABDC，ABDDBC，BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”；（3）如图 3，FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”，EFH 与HFG 相似又EFHHFG，FEHFHG，FH2FEFG，过点 E 作 EQFG 垂足为 Q，可得 ，FGFE24，FH2FGFE24，