1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015年高考数学走出题海之黄金30题系列 专题06考前必做难题30题 第二期 1设函数是定义在上的奇函数，当时，其中，若对任意的，都有，则实数的取值范围为 【答案】【解析】当时，又当时，函数在上单调递增，满足；当时，函数在上单调递减，在及在上单调递增，要满足，须恒成立，即恒成立，因此，从而，综上得实数的取值范围为.2函数在区间内无零点，则实数的范围是 .【答案】【解析】可变形为，由题意函数与在上无交点，的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为，在上为减函数，当时，在上是减函数，且，此时和在上有交点，不合题意；当时，在上是增函数，要使得和在上无交点，则有，所以的取值
2、范围是.3把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列,若,则_【答案】【解析】图乙中第n行有n个数,且第n行最后一个数为 ,前n行共有个数,由 ,可知2015在第45行,第45行第一个数为,又该行的数从小到大构成公差为2的等差数列,因此 ,所以.4是定义在上的奇函数，若当时， ，则关于的函数的所有零点之和为 （用表示）【答案】【解析】根据对称性，作出R上的函数图象，由，所以，零点就是与交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数的图象与的交点在之间的交点关于对称，所以，在之间的两个交点
3、关于对称，所以，设，则，所以，即，由，所以，即，所以，.5. 在中，为边上一点，若的外心恰在线段上，则 【答案】【解析】如图，设外心为，取的中点，的中点，连接，设，所以，则，即，又，所以， BFECDAO而，则，所以；6. 设点P,M,N分别在函数的图象上，且,则点P横坐标的取值范围为 .【答案】【解析】由得为中点，设，则，所以，其中，由得，因为所以点P横坐标的取值范围为.7. 在平面直角坐标系中，已知C：，A为C与x轴负半轴的交点，过A作C的弦AB，记线段AB的中点为M . 若OA = OM，则直线AB的斜率为 【答案】2【解析】设，因为,则线段的中点，又OA = OM，所以，且，则，解得，
4、即，所以.8已知中心为的正方形的边长为2，点、分别为线段、上的两个不同点，且，则的取值范围是 【答案】【解析】由题意知，所以.设，则.，表示单位圆面上的点与点连线的距离的平方加上2，故其最小值为，最大值为.故的最下值为.又当的模最大且夹角最小时，最大，故当和点重合时，最大等于，再由点分别为线段上的两个不同的点可得，的最大值小于2，故的取值范围为，所以应填.9已知均为锐角，且，则的最大值是 【答案】【解析】由已知可知，且，则，所以，当且仅当时等号成立；10. 已知三个正数满足，则的最小值是 【答案】【解析】由得，由得，设，则满足，平面区域如下图：令，即，所以当时，有最小值.11在中，内角所对的边
5、分别为，且边上的高为，则取得最大值时，内角的值为 【答案】【解析】由题意得：，由余弦定理得：所以即，所以当时，取得最大值.12设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为 【答案】1，2，313定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点例如y| x |是上的“平均值函数”，0就是它的均值点给出以下命题：函数是上的“平均值函数” 若是上的“平均值函数”，则它的均值点x0若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是若是区间a，b （ba1）上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）【答案】【解析】正确.
6、因为f（0）f（2）f（2）0，可知正确不正确反例：f（x）0在区间0，6上正确由定义：得，又所以实数m的取值范围是m（0，2）正确理由如下：由题知要证明，即证明： ，令，原式等价于令，则，所以得证14对定义在区间D上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间D上可被替代，D称为“替代区间”给出以下命题：在区间上可被替代；可被替代的一个“替代区间”为；在区间可被替代，则；，则存在实数，使得在区间 上被替代；其中真命题的有 【答案】【解析】中，故在区间上可被替代，故正确；中，记，易得所以，故正确；中，对任意恒成立，易得，故，正确；中假设在区间 上能被替代，则，显然此式不能恒成立，故不正确.
7、15设是等比数列，公比，为的前n项和。记，设为数列的最大项，则=_【答案】【解析】试题分析：设等比数列的首项为，则，所以，因为，当且仅当，即时取等号，故当，最大16已知同时满足下列条件：；.则实数的取值范围 .【答案】【解析】说明给定一个的值，中至少一个的值小于0.对，当时；当时.所以当时必有，从而.由得.由得.当时，的解为或，此时应有.当时，的解为或，此时应有，所以.时，此时，不满足.当时，都满足.故实数的取值范围是.17在平面直角坐标系中，圆：，圆：若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，满足，则半径r的取值范围是 【答案】【解析】由题意可知满足的点应在以为圆心，半径为25的圆
8、上及其内部（且在圆的外部），记该圆为，若圆上存在满足条件的点，则圆与圆有公共点，所以，即，解得；18若关于x的不等式（组）恒成立，则所有这样的解x构成的集合是_.【答案】【解析】不等式等价于，即又（均值不等式不成立）令故，所以，（因为最小值大于，在中，可以取等号），故，解得或，所以答案为.故填.19已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为 【答案】45【解析】由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到大顺序排列，当时，对于中的任一元素，比它大的有个，这个元素组成的集合的所有子集有个，把加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的
9、的子集，而最小元素为的的子集也只有这些，故在中出现次，所以，时，适合上式，时，当，不成立，当时，由于，所以，最小的为20已知函数，在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】设A，B，则A、B是函数的图象上在区间（1，2）内的任意两不同点，所以表示函数图象的割线AB的斜率，要使不等式恒成立，只需保证端点处的切线斜率都大于等于1，即且，解得，所以实数a的取值范围是.21设的三边长分别为，若，则的最大值是 【答案】【解析】由，得，又，所以，而，所以所以，所以的最大值是.22已知 ，曲线 和直线 有交点Q，则满足的等量关系式为_. (不能含其它参量) 【答案】23若函
10、数的最小正周期为，若对任意,都有，则的值为 .【答案】【解析】由已知，此时，因最小正周期为，故，又对任意,都有，所以应为的最值，即，所以24.定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为 .【答案】【解析】当时，可知当时，；当时，则，当时，；当时，则，当时，；所以在区间内的所有零点的和为.25已知数列的奇数项是首项为的等差数列，偶数项是首项为的等比数列，数列前项和为，且满足.()求数列的通项公式；（）若，求正整数的值；（）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由.www.2【答案】（）（）（）或【解析】（I）设的公差为d. 的公比为，则由 故 故 （
11、II）由，若，则 即，即 若，即即为正整数为正整数，即即，此时式为不合题意综上，. （III）若为中的一项，则为正整数 又 故若为中的某一项只能为 若无解若，显然不符合题意，符合题意当时，即，则即为增函数，故，即为增函数故，故当时方程无解即是方程唯一解若即综上所述，或.26. 已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线,若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：(1) 求曲线的方程；(2)证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；(3)求面积的最大值【答案】(1) ；（2）证明见解析，定点；（3）【解析】（1）设两动圆的公共点为Q，则有：由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，所以曲线的方程
12、是： （2）证法一：由题意可知：，设，,当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点 ，当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：，把代入有： ，因为，所以有，把代入整理：，（有公因式m-1）继续化简得：，或（舍），综合斜率不存在的情况，直线恒过定点 证法二：（先猜后证）由题意可知：，设，,如果直线恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在轴上，设为；取特殊直线，则直线的方程为，解方程组得点，同理得点，此时直线恒经过轴上的点（只要猜出定点的坐标给2分）下边证明点满足条件当的斜率不存在时，直线方程为：，点 的坐标为，满足条件； 当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：，把代入得： ，所以 （3）面积
13、=由第(2)小题的代入，整理得： 因在椭圆内部，所以,可设， ，(时取到最大值)所以面积的最大值为27. 在距A城市45千米的B地发现金属矿，过A有一直线铁路AD欲运物资于A，B之间，拟在铁路线AD间的某一点C处筑一公路到B 现测得千米，（如图）已知公路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1个单位，总运费为为了求总运费的最小值，现提供两种方案：方案一：设千米；方案二设（1）试将分别表示为、的函数关系式、；（2）请选择一种方案，求出总运费的最小值，并指出C点的位置【答案】（1），；（2），C距A千米；【解析】（1）在中，由余弦定理解得，方案一：在中， 方案二：在中， (2)若用方案一，则由得
14、，这时，C距A地千米若用方案二，则 在，在 这时，C距A地千米. 28. 已知函数，（1）求证： ;（2）设,求证：存在唯一的使得g(x)图象在点A()处的切线与y=f(x)图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得成立. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析【解析】（1）令，得,当时当时，由最小值定义得即.（2）在处切线方程为 设直线与图像相切于点，则 由得 下证在上存在且唯一.令，在上.又图像连续，存在唯一 使式成立，从而由可确立.故得证，由（1）知即证当时不等式即在上有解.令，即证，由得.当时，当时，.令，其中则，.综上得证.29. 已知函数，(1)若函
15、数在上单调递增，求实数的取值范围；(2) 若直线是函数图象的切线，求的最小值；(3)当时，若与的图象有两个交点，求证：（取为，取为，取为）【答案】（1）（2）（3）详见解析【解析】（1）,则，在上单调递增，对，都有，即对，都有，故实数的取值范围是 (2) 设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得， 令，则，当时 ，在上单调递减；当时，在上单调递增，故的最小值为 （3）由题意知，两式相加得，两式相减得，即，即， 不妨令，记，令，则， 在上单调递增，则，则，又，即，令，则时，在上单调递增，又，则，即30. 已知数列（，）满足， 其中，（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；（2）设集合若，求证：；是否存在实数，使，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由【答案】（1），（2）详见解析，不存在【解析】（1）当时， 因为，或，所以 （2）由题意， 令，得因为，所以令，则 不存在实数，使，同时属于 假设存在实数，使，同时属于，从而 因为，同时属于，所以存在三个不同的整数（），使得 从而 则 因为与互质，且与为整数，所以，但，矛盾 所以不存在实数，使，都属于高考资源网版权所有 侵权必究
