1、专题01平行线的判定与性质压轴题四种模型全攻略【类型一平行线的判定与性质问题】例1（云南峨山七年级期末）如图，AGF=ABC，1+2=180（1）BF与DE平行吗？请说明理由；（2）若DE垂直于AC，AFG =60，求2的度数【答案】（1）平行，见解析；（2）150【解析】【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，得到GF/BC，再利用两直线平行，内错角相等，解得1FBC，最后根据同旁内角互补，两直线平行解题即可；（2）由BF/DE，DE垂直于AC，可证得AFB90，结合题意，可解得1的度数，再由1FBC，两直线平行，同旁内角互补，即可解得2的度数【详解】(1)解：平行理由：AGFABCGF/B
2、C，1FBC1+21802+FBC180，BF/DE； (2)DE垂直于ACAED=90，由（1）知BF/DEAFB90AFG60，130，由（1）知1FBCFBC=30BF/DE2=180FBC18030150.【点睛】本题考查平行线的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.【变式训练1】（广东揭西八年级期末）如图，已知ACFE，12180(1)求证：FABBDC；(2)若AC平分FAD，EFBE于点E，FAD80，求BCD的度数【答案】(1)见解析(2)50【解析】【分析】（1）由已知可证得2=FAC，根据平行线的判定得到FACD，根据平行线的性质即可得到FAB=BDC；（2）根据
3、角平分线的定义得到FAD=2FAC，即FAD=22，由平行线的性质可求得2，再平行线的判定和性质定理求出ACB，继而求出BCD(1)证明：ACEF，1+FAC=180，又1+2=180，FAC=2，FACD，FAB=BDC；(2)解：AC平分FAD，FAC=CAD，FAD=2FAC，由（1）知FAC=2，FAD=22，2=FAD，FAD=80，2=80=40，EFBE，ACEF，ACBE，ACB=90，BCD=902=50【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义求出2是解题的关键【变式训练2】（湖南长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，已知E
4、FAB，DEF=A(1)求证：DEAC；(2)若CD平分ACB，BED=60，求ACD的度数【答案】(1)见解析(2)30【解析】【分析】（1）根据EFAB，可得BDE=DEF，又DEF=A等量代换可得BDE=A，进而可得DEAC；（2）根据（1）的结论可得，根据角平分线的定义即可求得ACD的度数(1)EFAB，BDE=DEF，又DEF=ABDE=A，DEAC；(2) DEAC，BED=60， CD平分ACB，【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键【变式训练3】（山东潍坊八年级期中）如图，MNBC，BDDC，1=2=60，DC是NDE的平分线（
5、1）AB与DE平行吗？请说明理由；（2）试说明ABC=C；（3）试说明BD是ABC的平分线【答案】（1）ABDE，理由见解析，（2）见解析，（3）见解析【解析】【分析】（1）首先根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可证得ABC160，进而证明ABC2，根据同位角相等，两直线平行，即可证得；（2）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求得NDE的度数，然后根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求得C的度数，从而判断；（3）先求得ADB的度数，根据平行求出DBC的度数，然后求得ABD的度数，即可证得【详解】解：（1）ABDE，理由如下：MNBC，（已知）ABC160（两直线平行，内错角
6、相等）又12，（已知）ABC2（等量代换）ABDE（同位角相等，两直线平行）；（2）MNBC，NDE+2180，NDE180218060120DC是NDE的平分线，EDCNDCNDE60MNBC，CNDC60ABCC（3）ADC180NDC18060120，BDDC，BDC90ADBADCBDC1209030MNBC，DBCADB30ABCC60ABD30ABDDBCABCBD是ABC的平分线【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，垂线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理证明和计算【类型二含一个拐点模型】例2如图1，已知ABCD，直线AB、CD把平面分成、三个区域（直线AB、
7、CD不属于、中任何一个区域）点P是直线AB、CD、AC外一点，联结PA、PC，可得PAB、PCD、APC(1)如图2，当点P位于第区域一位置时，请填写APCPAB+PCD的理由解：过点P作PE/AB，因为AB/CD，PE/AB，所以PE/CD（）因为PE/AB，所以APEPAB（）同理CPEPCD因此APE+CPEPAB+PCD即APCPAB+PCD(2)在第（1）小题中改变点P的位置，如图3所示，求APC+PAB+PCD等于多少度？为什么？(3)当点P在第区域时，PAB、PCD、APC有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出相应的结论【答案】(1)平行的传递性；两直线平行，内错角相等；(2)
8、360，理由见解析；(3)PCD =PAB+APC，见解析【解析】【分析】（1）根据平行线的性质解题；（2）过点P作PE/AB，由两直线平行，同旁内角相等解得APE+PAB=180，EPC+PCD=180，再根据APC+PAB+PCD=APE+EPC+PAB+PCD解题；（3）根据题意，画出图形，再由两直线平行，内错角相等得到APE=PAB，PCD=CPE，结合CPE=APE+APC解题(1)解：因为AB/CD，PE/AB，所以PE/CD(平行的传递性)因为PE/AB，所以APEPAB（两直线平行，内错角相等）故答案为：平行的传递性；两直线平行，内错角相等；(2)APC+PAB+PCD=360
9、，见解析：过点P作PE/AB，所以APE+PAB=180，因为PE/CD，所以EPC+PCD=180，所以APC+PAB+PCD=APE+EPC+PAB+PCD=180+180=360；(3)PCD =PAB+APC，理由如下，当点P在第区域时，如图，过点P作PE/AB，所以APE=PAB，因为PE/CD，所以PCD=CPE因为CPE=APE+APC所以PCD =PAB+APC【点睛】本题考查平行线的拐角问题、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键【变式训练1】如图所示，ABCD，分别写出下面四个图形中A与P，C的数量关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明【答案】（1
10、）A+CP；（2）A+P+C360；（3）AP+C；（4）CP+A，证明见解析【解析】【分析】（1）作PEAB，利用两直线平行内错角相等证明即可；（2）作PEAB，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；（3）作PHAB，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；（4）作PEAB，利用两直线平行内错角相等证明即可；【详解】解：（1）A+CP；证明如下：如图所示，作PEAB，则PECD，A=1，C=2，APC=1+2，APC=A+C，即：A+CP；（2）A+P+C360；证明如下：如图所示，作PEAB，则PECD，A+1=180，C+2=180，A+C+1+2=360，APC=1+2，A+C+APC=36
11、0，即：A+P+C360；（3）AP+C；证明如下：如图所示，作PHAB，则PHCD，HPAA180，HPA180A，HPAAPCC180，180APC180，即：AP+C；（4）CP+A；证明如下：如图所示，作PEAB，则PECD，EPC=C，EPA=A，APC=EPCEPA，APC=CA，即：CP+A【点睛】本题考查平行线的性质运用，理解并熟练运用平行线的性质，灵活构造辅助线是解题关键【变式训练2】感知与填空：如图，直线ABCD求证：B+D=BED证明：过点E作直线EFCD，2=_，（）ABCD(已知），EFCD_EF，（）B=1，（）1+2=BED，B+D=BED，（）方法与实践：如图，
12、直线ABCD若D=53，B=22，则E=_度【答案】D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31【解析】【分析】过点E作直线EF/CD，由两直线平行，内错角相等得出2=D；由两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行得出AB/EF；由两直线平行，内错角相等得出B=1；由1+2=BED，等量代换得出B+D=BED；方法与实践：如图，由平行的性质可得BOD=D=53，然后再根据三角形外角的性质解答即可【详解】解：过点E作直线EFCD，2=D，（两直线平行，内错角相等）ABCD(已知），EFCDAB/EF，（两直
13、线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）B=1，（两直线平行，内错角相等）1+2=BED，B+D=BED，（等量代换）方法与实践：如图，直线ABCDBOD=D=53BOD=E+BE=BOD-B=53- 22=31故答案依次为：D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识点；熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键【变式训练3】已知直线ABCD，P为平面内一点，连接PA、PD（1）如图1，已知A50，D150，求APD的度数；（2）如图2，判断PAB
14、、CDP、APD之间的数量关系为（3）如图3，在（2）的条件下，APPD，DN平分PDC，若PAN+PABAPD，求AND的度数【答案】（1）APD=80；（2）PAB+CDP-APD=180；（3）AND=45【解析】【分析】（1）首先过点P作PQAB，则易得ABPQCD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；（2）作PQAB，易得ABPQCD，根据平行线的性质，即可证得PAB+CDP-APD=180；（3）先证明NOD=PAB，ODN=PDC，利用（2）的结论即可求解【详解】解：（1）A=50，D=150，过点P作PQAB，A=APQ=50，ABCD，PQCD，D+DPQ
15、=180，则DPQ=180-150=30，APD=APQ+DPQ=50+30=80；（2）PAB+CDP-APD=180，如图，作PQAB，PAB=APQ，ABCD，PQCD，CDP+DPQ=180，即DPQ=180-CDP，APD=APQ-DPQ，APD=PAB-(180-CDP)=PAB+CDP-180；PAB+CDP-APD=180；(3)设PD交AN于O，如图，APPD，APO=90，由题知PAN+PAB=APD，即PAN+PAB=90，又POA+PAN=180-APO=90，POA=PAB，POA=NOD，NOD=PAB，DN平分PDC，ODN=PDC，AND=180-NOD-ODN
16、=180-(PAB+PDC)，由(2)得PAB+CDP-APD=180，PAB+PDC=180+APD，AND=180-(PAB+PDC)=180-(180+APD)=180-(180+90)=45，即AND=45【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用【类型三含两个或多个拐点模型】例3如图，ABEF，则A，C，D，E满足的数量关系是（）AA+C+D+E360BA+DC+ECAC+D+E180DEC+DA90【答案】C【解析】【分析】如图，过点C作CGAB，过点D作DHEF，根据平行线的性质可得AACG，EDH180E，根据ABEF可得C
17、GDH，根据平行线的性质可得CDHDCG，进而根据角的和差关系即可得答案【详解】如图，过点C作CGAB，过点D作DHEF，AACG，EDH180E，ABEF，CGDH，CDHDCG，ACDACG+CDHA+CDE（180E），AACD+CDE+E180故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键【变式训练1】如图，ABCD，ABEEBF，DCEECF，设ABE，E，F，则，的数量关系是（）A4+360B3+360C4360D32360【答案】A【解析】【分析】过E作ENAB，过F
18、作FQAB，根据已知条件得出ABF3，DCF4ECD，求出ABENCD，ABFQCD，根据平行线的性质得出ABEBEN，ECDCEN，ABF+BFQ180，DCF+CFQ180，求出+ECD，3+4DCE360，再求出答案即可【详解】解：过E作ENAB，过F作FQAB，ABEEBF，DCEECF，ABE，ABF3，DCF4ECD，ABCD，ABENCD，ABFQCD，ABEBEN，ECDCEN，ABF+BFQ180，DCF+CFQ180，ABE+ECDBEN+CENBEC，ABF+BFQ+CFQ+DCF180+180360，即+ECD，3+4DCE360，ECD，3+4（）360，即4+360
19、，故选A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质【变式训练2】综合与探究问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：如图1，求的度数小康的解法如下：解：如图1，过点P作，（根据1），（根据2）(1)小康的解法中的根据1是指_；根据2是指_(2)按照上面小康的解题思路，完成小康剩余的解题过程(3)聪明的小明在图1的基础上，将图1变为图2，其中，求的度数【答案】(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补(2)(3)【解析】
20、【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可的得出答案；（2）过点P作得，根据，得，即知，从而得出答案；（3）过点P作，过点作，从而得出，再根据平行线的性质即可得出答案；(1)解：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行两直线平行，同旁内角互补(2)解：，(3)解：如图，过点P作，过点作，【点睛】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是作平行线，利用平行线的性质转化角【变式训练3】如图，直线ABCD，点E，F分别在直线AB，CD上(1)若1=135，2=155，试猜想P=_(2)在图中探究1，P，2之间的数量关系，并证明你的结论(3)将图变为图，仍有ABCD，若1+2=325，EPG=7
21、5，求PGF的度数【答案】(1)70；(2)EPF+(1+2) =360，理由见解析；(3)PGF的度数为140【解析】【分析】（1）过点P作PQAB，由平行线的性质得到1+EPQ=180，2+FPQ=180，进一步计算即可求得EPF的度数；（2）同（1）法即可求得EPF+(1+2) =360；（3）过点P作PQAB，过点G作GHAB，由平行线的性质即可求解(1)解：过点P作PQAB，1+EPQ=180，1=135，EPQ=180-1=45，ABCD，PQABCD，2+FPQ=180，2=155，FPQ=180-2=25，EPF=EPQ+FPQ=70；故答案为：70；(2)解：EPF+(1+2
22、) =360，理由如下：过点P作PQAB，ABCD，PQABCD，1+EPQ=180，2+FPQ=180，即EPQ=180-1，FPQ=180-2，EPF=EPQ+FPQ=360-(1+2)；即EPF+(1+2) =360；(3)解：过点P作PQAB，过点G作GHAB，ABCD，PQABGHCD，1+3=180，4+5=180，6+2=180，1+3+4+5+6+2=540，EPG=75，3+4=75，1+2=325，5+6=540-(1+2)-(3+4)= 540-325-75=140PGF的度数为140【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的
23、关键【类型四生活中应用模型】例4.潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图1，光线经过镜子反射时，那么和有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？先画几何图形，如图2，再写已知未知如图，（1）猜想和有什么关系，并进行证明；（2）求证：【答案】（1），证明见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据两面镜子是互相平行放置的可知，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可直接证明（2）结合题意可证明，再由，即可证明，最后由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明【详解】解：（1）根据题意可知，（两直线平行，内错角相等）.（2），；，（内错角相等，两直线平行）
24、【点睛】本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键【变式训练1】（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数【答案】（1）15或115；（2）120【解析】【分析】（1）根据1，2的两边分别平行，所以1，2相等或互补列出方程求解则得到答案（2）过D点作DIEF，根据两直线平行，同旁内角互补可求FDI=35，根据平角的定义可求ADB=30，根据直角三角形的性质可求ABH=60，再根据两直线平
25、行，同旁内角互补可求H【详解】解：（1）当1=2时，1=22-15，1=21-15，解得1=15；当1+2=180时，1=22-15，2+22-15=180，解得2=65，1=180-2=115；（2）过D点作DIEF，F=145，FDI=35，ADB=180-90-35-25=30，ABH=90-30=60GHAB，H=180-60=120【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等【变式训练2】如图，政府规划由西向东修一条公路从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得
26、BCD70，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E（1）补全施工路线示意图，求CDE的度数；（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求CDM与DMN的数量关系【答案】（1）画图见解析，135；（2）DMN-CDM=45【解析】【分析】（1）补全DEAB即可，过C作lAB的延长线于G，过D作直线mAB的延长线于H，则lm，由平行线性质可得到CDH=45，又HDE=90，从而可得CDE的度数；（2）设DMN=x，CDM=y，由于DEFN，所以EDM=180-xCDM=y=135-（180-x）=x-45，则x-y=45，从而得DMN-CDM=4
27、5【详解】解：（1）补全施工路线如图1所示过C作lAB的延长线于G，过D作直线mAB的延长线于H，则lm，根据平行线的性质可得：BCG=25，CDH=GCD=70-BCG=70-25=45，又HDE=90，CDE=CDH+HDE=45+90=135（2）如图所示，设DMN=x，CDM=y，由于DEFN，EDM=180-DMN=180-x，又CDM=y=CDE-EDM=135-（180-x）=x-45，则x-y=45，即DMN-CDM=45【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到CDF=135是解题的关键【变式训练3】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被
28、反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射若被b反射出的光线n与光线m平行，且1=38，则2=，3=（2）在（1）中，若1=55，则3=；若1=40，则3=（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角3=时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行你能说明理由吗？【答案】（1）76，90；（2）90，90（3）90【解析】【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律，可得1=5，7=6，根据平角的定义可得4=104，根据mn，所以2=76，5=38，根据三角形内角和为180，即
29、可求出答案；（2）结合题（1）可得3的度数都是90；（3）证明mn，由3=90，证得2与4互补即可【详解】（1）由平面镜反射光线的规律可得：1=5，7=6又1=38，5=38，4=18015=104mn，2=1804=76，6=（18076）2=52，3=18065=90；（2）同（1）可得当1=55和1=40时，3的度数都是90；（3）3=90，6+5=90，又由题意知1=5，7=6，2+4=180（7+6）+180（1+5）=3602526=3602（5+6）=180由同旁内角互补，两直线平行，可知：mn故答案为76，90，90，9090【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，本题是数学知识
30、与物理知识的有机结合，充分体现了各学科之间的渗透性【课后训练】1（福建泉州五中七年级期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法不正确的是（）A1与5是同位角B3与6是同旁内角C2与4是对顶角D5与2是内错角【答案】D【解析】【分析】根据同位角、对顶角、同旁内角以及内错角的定义对各选项作出判断即可【详解】解：A、1与5是同位角，故本选项不符合题意；B、3与6是同旁内角，故本选项不符合题意C、2与4是对顶角，故本选项不符合题意；D、5与2不是内错角，故本选项符合题意故选：D【点睛】本题主要考查了同位角、对顶角、同旁内角、内错角的定义，解答此题的关键是确定三线八角，可直接从截线入手对平面几何中概念
31、的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义2（江苏开明中学九年级期末）如图，直线ab，直线ABAC，若152，则2的度数是（）A38B42C48D52【答案】A【解析】【分析】利用直角三角形的性质先求出B，再利用平行线的性质求出2【详解】解：ABAC，152，B901905238ab，2B38故选：A【点睛】本题考查平行线的性质、两直线平行同位角相等，直角三角形两个锐角互余等知识，在基础考点，掌握相关知识是解题关键3（福建晋江市季延中学七年级期末）如图，和分别为直线与直线和相交所成角如果，那么添加下列哪个条件后，可判定（）ABCD
32、【答案】A【解析】【分析】通过同位角相等两直线平行进行判定即可.【详解】A.，3=180 -2=62 =1，能判定，此选项正确；B.，3=180 -4=52 1，不能判定，此选项错误；C.，31，不能判定，此选项错误；D.，3=281，不能判定，此选项错误；故选：A【点睛】此题考查平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行是解答此题的关键.4（湖南长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，给出下列条件，1=2，3=4，ADBE，且D=B，ADBE，且DCE=D，其中能推出ABDC的条件为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据平行线的判定逐个判断即可【详解】1=2，3=4，ADBE，D=
33、B，DCE=D，能推出ABDC的条件为故选B【点睛】本题考查了平行线的性质与判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键二、填空题5（全国七年级专题练习）如图所示，直线a，b被c所截，130，2:31:5，则直线a与b的位置关系是_【答案】平行【解析】【分析】根据2:31:5，求出的度数，然后根据同位角相等两直线平行进行解答即可【详解】解：2:31:5，230，12，ab，故答案为：平行【点睛】本题考查了角的和差倍分求角度以及平行的判定，根据题意求出230是解本题的关键6（上海浦东新七年级期中）如图，已知ABCD，ABC120，127，则直线CB和CE的夹角是_【答案】93【解析】【分析】ABC
34、D，DCBABC120，将角度代入BCEDCB -1求解即可【详解】解：ABCDDCBABC120又127BCEDCB -1=93故答案为93【点睛】本题考查了平行线中关于内错角的性质解题的关键在于熟练使用两直线平行，内错角相等的性质7（山东济宁市第十五中学八年级阶段练习）如图，已知的面积为16，现将沿直线向右平移个单位到的位置当所扫过的面积为32时，那么的值为_【答案】4【解析】【分析】作AHBC于H，根据ABC的面积为16，BC=8，可先求出AH的长，ABC所扫过的面积为32，即可求出a的值.【详解】解：如图，连接AD，过点A作AHBC交BC于H.SABC=16, BC=8,即BCAH=
35、8AH=16,AH=4,S梯形 ABFD=a=4,故答案为4.【点睛】本题考查了图形的平移，灵活运用图形面积间的关系是解题的关键.8（北京市海淀区清华附中稻香湖学校七年级期末）一副直角三角板叠放如图所示，现将含30角的三角板ABC固定不动，把含45角的三角板ADE绕顶点A顺时针转动，若0BAD180，要使两块三角板至少有一组互相平行，则符合要求的BAD的值为_【答案】45或90或120【解析】【分析】分三种情况根据平行线的性质解答即可【详解】解：如图1，当AE/BC时，则BAE+ABC=180，BAE=180-90=90,BAD90-45=45；如图2，当DE/AB时，BADD=90；如图3，
36、当DE/AC时，则CAD=D=90，BAD30+90=120；综上所述，满足条件的BAD的值为45或90或120故答案为：45或90或120【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键平行线的性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角三、解答题9（上海奉贤七年级期末）如图，已知AE平分BAC交BC于点E，AF平分CAD交BC的延长线于点F，B64，EAF58，试判断AD与BC是否平行解：AE平分BAC，AF平分CAD（已知），BAC21，CAD（）又EAF1+258，BADBAC+
37、CAD2（1+2）（等式性质）又B64（已知），BAD+B（）【答案】22；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行【解析】【分析】由AE平分BAC，AF平分CAD，利用角平分线的定义可得出BAC21，CAD22，结合EAF1+258可得出BAD116，由B64，BAD116，可得出BAD+B180，再利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得出ADBC【详解】解：AE平分BAC，AF平分CAD（已知），BAC21，CAD22（角平分线的定义）又EAF1+258，BADBAC+CAD2（1+2）116（等式性质）又B64（已知），BAD+B180ADBC（同旁内角互补，
38、两直线平行）故答案为：22；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行【点睛】此题考查了角平分线的定义，角的计算，平行线的判定正确掌握线段、角、相交线与平行线的知识是解题的关键，还需掌握推理能力10（广东阳山八年级期末）如图，ABDG，1+2180（1）试说明：ADEF；（2）若DG是ADC的平分线，2142，求B的度数【答案】（1）见解析；（2）B38【解析】【分析】（1）由ABDG，得到BAD1，再由1+2180，得到BAD+2180，由此即可证明；（2）先求出138，由DG是ADC的平分线，得到CDG138，再由ABDG，即可得到BCDG38【详解】（1）ABD
39、G，BAD1，1+2180，BAD+2180.ADEF .（2）1+2180且2142，138，DG是ADC的平分线，CDG138，ABDG，BCDG38【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键11问题情景：如图1，ABCD，PAB140，PCD135，求APC的度数（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：APC85，请补全她的推理依据如图2，过点P作PEAB，因为ABCD，所以PECD（）所以A+APE180，C+CPE180（）因为PAB140，PCD135，所以APE40，CPE45，APCAPE+CPE85问题迁移：（2）如图3，AD
40、BC，当点P在A、B两点之间运动时，ADP，BCP，求CPD与、之间有什么数量关系？请说明理由（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出CPD与、之间的数量关系【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁内角互补；（2），理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）根据平行线的判定与性质填写即可；（2）过P作PEAD交CD于E，推出ADPEBC，根据平行线的性质得出=DPE，=CPE，即可得出答案；（3）画出图形（分两种情况点P在BA的延长线上，点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出=DPE，=CP
41、E，即可得出答案【详解】解：（1）如图2，过点P作PEAB，因为ABCD，所以PECD（平行于同一条直线的两条直线平行）所以A+APE180，C+CPE180（两直线平行同旁内角互补）因为PAB140，PCD135，所以APE40，CPE45，APCAPE+CPE85故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）CPD=+，理由如下：如图3所示，过P作PEAD交CD于E，ADBC，ADPEBC，=DPE，=CPE，CPD=DPE+CPE=+；（3）当P在BA延长线时，如图4所示：过P作PEAD交CD于E，同（2）可知：=DPE，=CPE，CPD=-；当P在AB延长线
42、时，如图5所示：同（2）可知：=DPE，=CPE，CPD=-综上所述，CPD与、之间的数量关系为：CPD=-或CPD=-【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键12已知ABCD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点【基础问题】如图1，试说明：AGDAD（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MNAB，又ABCD，MNCD（）MNAB，A（）（）MNCD，D（）AGDAGMDGMAD【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，直接写出AGD、A、D三者之间的数量关系【应用拓展】如图3，AH平分GAB，DH交AH于点H，且GDH2HDC，HDC22，
43、H32，直接写出DGA的度数【答案】基础问题：平行于同一条直线的两条直线平行；AGM；两直线平行，内错角相等；DGM，两直线平行，内错角相等；类比探究：AGDA-D；应用拓展：42【解析】【分析】基础问题：由MNAB，可得AAGM，由MNCD，可得DDGM，则AGDAGMDGMAD；类比探究：如图所示，过点G作直线MNAB，同理可得AAGM，DDGM，则AGDAGM-DGMA-D应用拓展：如图所示，过点G作直线MNAB，过点H作直线PQAB，由MNAB，PQAB，得到BAGAGM，BAH=AHP，由MNCD，PQCD，得到CDGDGM，CDH=DHP，再由GDH2HDC，HDC22，AHD32
44、，可得GDH=44，DHP=22，则CDG=66，AHP=54，DGM=66，BAH=54，再由AH平分BAG，即可得到AGM=108，则AGD=AGM-DGM=42【详解】解：基础问题：过点G作直线MNAB，又ABCD，MNCD（平行于同一条直线的两条直线平行），MNAB，AAGM（两直线平行，内错角相等），MNCD，DDGM（两直线平行，内错角相等），AGDAGMDGMAD故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；AGM；两直线平行，内错角相等；DGM，两直线平行，内错角相等；类比探究：如图所示，过点G作直线MNAB，又ABCD，MNCD，MNAB，AAGM，MNCD，DDGM，AGDAG
45、M-DGMA-D应用拓展：如图所示，过点G作直线MNAB，过点H作直线PQAB，又ABCD，MNCD，PQCDMNAB，PQAB，BAGAGM，BAH=AHP，MNCD，PQCD，CDGDGM，CDH=DHP，GDH2HDC，HDC22，AHD32，GDH=44，DHP=22，CDG=66，AHP=54，DGM=66，BAH=54，AH平分BAG，BAG=2BAH=108，AGM=108，AGD=AGM-DGM=42【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质13如图，点E为两直线之间的一点(1)如图1，若，则_；(2)如图2，试说明，；(3)如图3，若
46、的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；如图4，若设，请直接用含、的代数式表示的度数【答案】(1)(2)见解析(3)，理由见解析；【解析】【分析】（1）如图，过点E作EFAB利用平行线的性质即可解决问题；（2）如图中，作EGAB，利用平行线的性质即可解决问题；（3）结合（1）、（2）的结论，进行等量代换即可求解(1)解：过E点作EFAB，ABCD，EFCD，ABCD，BAE1，EFCD，2DCE，BAEDCEAEC，(2)过E点作ABEGABCD，EGCD，ABCD，BAEAEG180，EGCD，CEGDCE180，BAEAECDCE360(3)由（1）知，FA为BAE平分
47、线，CF为平分线，即，由（2）知BAEAECDCE360，由知，即，【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型14如图，AB/CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0EPF180，QE，QF分别平分PEB和PFD在探究EPF与EQF之间的数量关系时，我们需要对点P的位置进行分类讨论：（1）如图1，当P点在EF的右侧时，若EPF110，则EQF；猜想EPF与EQF的数量关系，请直接写出结果；（2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究EPF与EQF的数量关系，请说明理由；（3）若BEQ与DFQ的角平分线交于点
48、Q1，BEQ1与DFQ1的角平分线交于点Q2，BEQ2与DFQ2的角平分线交于点Q3；以此类推，则EPF与EQ2021F满足怎样的数量关系？【答案】（1）55；EPF2EQF；（2）2EQF+EPF360，理由见解析；（3）EPF+22022EQ2021F360或EPF22022EQ2021F【解析】【分析】（1）过P作PM/AB，过Q作QN/AB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可解决问题；（2）如图2，过P作PM/AB，过Q作QN/AB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可2EQF+EPF360；（3）分两种情况讨论，根据（1）中的解题方法得Q1（BEP+DFP），Q2（BEP+DFP）
49、，（+）由此得出规律Qn（）n（BEP+DFP），再由（2）的结论2EQF+EPF360，BEP+DFPEQF，便可计算出EPF+2n+1EQnF的结果，从而得出结论【详解】解：（1）过P作PM/AB，过Q作QN/AB，AB/CD，AB/CD/PM，AB/CD/QN，BEPMPE，DFPMPF，BEQNQE，DFQFQN，BEP+DFPMPE+MPFEPF110，BEQ+DFQNQE+NQFEQF，QE，QF分别平分PEB和PFD，BEQ+DFQ（BEP+DFP）11055；猜想：EPF与EQF的数量关系为EPF2EQF理由如下：AB/CD，AB/CD/PM，AB/CD/QN，BEPMPE，D
50、FPMPF，BEQNQE，DFQFQN，BEP+DFPMPE+MPFEPF，BEQ+DFQNQE+NQFEQF，QE，QF分别平分PEB和PFD，2（BEQ+DFQ）BEP+DFPEPF，即EPF2EQF；故答案为：55；（2）2EQF+EPF360理由如下：如图2，过P作PM/AB，过Q作QN/AB，AB/CD，AB/CD/PM，AB/CD/QN，BEP+MPE180，DFP+MPF180，BEQNQE，DFQFQN，BEP+DFP+MPE+MPF360，即BEP+DFP+EPF360，EQFBEQ+DFQNQE+NQFEQF，QE，QF分别平分PEB和PFD，BEQ+DFQ（BEP+DFP
51、）EQF，即BEP+DFP2EQF，2EQF+EPF360；（3）当点P在EF的左侧，根据（1）的方法可得Q1（BEP+DFP）EQF，Q2（BEP+DFP）EQF，则Qn（）n（BEP+DFP）（）nEQF，2EQF+EPF360，BEP+DFP2EQF，EPF+2n+1EQnF360当点P在EF的右侧，同理可求EPF2n+1EQnF综上，EPF+22022EQ2021F360或EPF22022EQ2021F【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解15如图，已知ABCD（1）如图1所示，1+2；（2）如图2所示，1+2+3；并写出求解过程
52、（3）如图3所示，1+2+3+4；（4）如图4所示，试探究1+2+3+4+n【答案】（1）180；（2）360；（3）540；（4）（n-1）180【解析】【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案【详解】解：（1）如图1，ABCD，1+2=180（两直线平行，同旁内角互补）故答案为：180；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，ABCD，ABEF，CDEF，1+AEF=180，FEC+3=180，1+2+3=360；（3）如图3
53、，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知1+2+3+4=1803=540，故答案为：540；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知1+2+3+4+n=（n-1）180，故答案为：（n-1）180【点睛】此题考查了平行线的性质注意掌握辅助线的作法是解此题的关键16图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角（1）在图1中，证明：12（2）图2中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知，判断直线m与直线n的位置关系，并说明理由（3）图3是潜望镜工作原理示意图，AB，C
54、D是平行放置的两面平面镜请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？【答案】（1）见解析；（2）mn，理由见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据EFAB，可以得到AFEBFE90，由，即可得到12；（2）只需要证明MDEDEN180即可；（3）只需要证明56即可【详解】解：（1）EFAB，AFEBFE90，12；（2）m/n，理由如下：130，460，1230，3460，1234=180，12MDE34DEN180180360，MDEDEN180m/n；（3）证明：AB/CD，23，12，34，12341801218034，即56，m/n【点睛】本题主要考查了平行线的性
55、质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解17在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系（其中，）（1）将三角尺如图1所示叠放在一起与大小关系是_，依据是_与的数量关系是_（2）小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图2的与重合开始，到图3的与在一条直线上时结束探索的一边与的一边平行的情况求当时，如图4所示，的大小直接写出的其余所有可能值【答案】（1）相等，同角的余角相等；（2）75；30或45或120或135【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等，即可得到答案；根据DOC+AOC=90，BO
56、C+AOC=90，即可得到DOC+AOC=180；（2）过点O作则ABCDOE，即可得到30，45即可得到答案；分当ABOC时，当OACD时，当ABOD时，当OBCD时讨论求解即可得到答案.【详解】解：（1）相等，同角的余角相等AOD+AOC=90，BOC+AOC=90AOD=BOC DOC+AOC=90，BOC+AOC=90，BOD=COD+COB180（2）过点O作OEABABCD，ABCDOE30，4575当ABOC时，=30；当OACD时，45；当ABOD时，360-180-BODBOD=ABO=60120；当OBCD时，360-180-BODBOD=ODC=45135；综上所述的度数
57、为30或45或120或135.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.18如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20，在河道两岸安装探照灯B和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒已知BAN50（1）当b2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？（2）当a3，b6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若A、B两灯同时转动（ab），在45秒与90秒时，两灯的光束
58、各平行一次，求a，b的值【答案】（1）15秒；（2）秒；（3），【解析】【分析】（1）根据B灯转动30度时第一次经过灯A，列出方程即可得解；（2）根据内错角相等，两灯的光线平行，构建方程求解可得结果；（3）分两种情形，根据平行线的判定，构建方程解决问题即可【详解】解：（1）设灯B转动t秒后，射出的光束第一次经过灯A由题意得：2t30，解得：t15，答：灯B转动15秒后，射出的光束第一次经过灯A（2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行根据题意得：180503x6x30时，两灯的光束互相平行，解得：x，答：A灯转动秒，两灯的光束互相平行（3）在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次45秒时第一次平行，由题意得：45a1303045b，90秒时第二次平行，由题意得：90a1805090b30，解得：a，b答：a，b的值分别为，【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：内错角相等，两直线平行
