1、第9讲特殊四边形中的折叠问题专题训练类型一折叠与角度1如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在线段BC上，AEC32，则BFD等于（）A28B32C34D36【分析】根据矩形纸片沿EF折叠，可得ABDECD90，然后根据直角三角形两个锐角互余可得AECDCB，再由对顶角相等，即可解决问题【解答】解：矩形纸片沿EF折叠，ABDECD90，AEC+ACEACE+DCB90，AECDCB，AECBFD，AEC32，BFD32，故选：B2如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将ABE沿AE折叠至ABE处，BE与AC交于点F，若EFC69，则CAE的大小为（）A10B12C14D15【分析】利用正方形的
2、性质和轴对称的性质很容易求出CAE的大小【解答】解：EFC69，ACE45，BEF69+45114，由折叠的性质可知：BEABEF57，BAE905733，EAC453312故选：B3如图，在ABCD中，E为边CD上一点，将ADE沿AE折叠至ADE处，AD与CE交于点F若B50，DAE20，则FED的大小为度【分析】由平行四边形的性质得出DB50，由折叠的性质得：DD50，EADDAE20，由三角形的外角性质求出AEF70，与三角形内角和定理求出AED110，即可得出FED的大小【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，DB50，由折叠的性质得：DD50，EADDAE20，AEFD+DAE50+
3、2070，AED180EADD110，FED1107040；故答案为：404如图（1）是长方形纸带，DEF20，将纸带沿EF折叠图（2），则FGD的度数是，再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的CFE的度数是【分析】根据图形的翻折变换依据平行线性质即可求解【解答】解：根据折叠可知：FGD2FEG40ADBCEFGDEF20CFE1802040120故答案为40、1205如图，菱形纸片ABCD中，A60，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE则DEC的度数为【分析】连接BD，由菱形的性质及A60，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合
4、一得到DP为角平分线，得到ADP30，ADC120，C60，进而求出PDC90，由折叠的性质得到CDEPDE45，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数【解答】解：连接BD，如图所示：四边形ABCD为菱形，ABAD，CA60，ABD为等边三角形，ADC120，P为AB的中点，DP为ADB的平分线，即ADPBDP30，PDC90，由折叠的性质得：CDEPDE45，在DEC中，DEC180（CDE+C）75故答案为：75类型二折叠与长度6如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A3cmB4cmC5cmD6cm【分析】根据
5、折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角CEN中，若设CNx，则DNNE8x，CE4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长【解答】解：设CNxcm，则DN（8x）cm，由折叠的性质知ENDN（8x）cm，而ECBC4cm，在RtECN中，由勾股定理可知EN2EC2+CN2，即（8x）216+x2，整理得16x48，所以x3故选：A7如图，将ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D处，折痕l交CD边于点E，连接BE若BE平分ABC，且AB5，BE4，则AE（）A2B3C4D5【分析】利用平行线的性质以及角平分线的性质得出EAB+EBA90，再结合勾股定理得出答案【
6、解答】解：BE平分ABC，CBEEBA，ADBC，DAB+CBA180，DAEBAE，EAB+EBA90，AEB90，AB2AE2+BE2，AE3故选：B8如图，点F是矩形ABCD边CD上一点，将矩形沿AF折叠，点D正好落在BC边上的点E处，若AB6，BC10，则EF的长为（）A2B3CD4【分析】由折叠的性质得出AEAD10，EFDF，根据勾股定理求出BE8，设EFx，则CF6x，得出x222+（6x）2，解方程即可得出答案【解答】解：四边形ABCD为矩形，ADBC10，DCAB6，BC90；由翻折变换的性质得：AEAD10，EFDF，BE2AE2AB2，BE8，CE2，设EFx，则CF6x
7、；在RtEFC中，EF2CE2+CF2x222+（6x）2，解得：x，即EF故选：C9如图，矩形ABCD中，AD5，AB7，点E为DC上一个动点，把ADE沿AE折叠，点D的对应点为D，若D落在ABC的平分线上时，DE的长为（）A3或4B或C或D或【分析】连接BD，过D作MNAB，交AB于点M，CD于点N，作DPBC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD，再分两种情况利用勾股定理求出DE【解答】解：如图，连接BD，过D作MNAB，交AB于点M，CD于点N，作DPBC交BC于点P点D的对应点D落在ABC的角平分线上，MDPD，设MDx，则PDBMx，AMABBM7x，又折叠图形可得ADAD5，x2+
8、（7x）225，解得x3或4，即MD3或4在RtEND中，设EDa，当MD3时，AM734，DN532，EN4a，a222+（4a）2，解得a，即DE，当MD4时，AM743，DN541，EN3a，a212+（3a）2，解得a，即DE故选：B10如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边中点，将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，已知AN3，MN5，设BNx，则x的值为（）ABCD【分析】求出AM4，由折叠的性质得出ANNE3，CECD，由勾股定理得出x2+82（x+6）2，解方程即可得解【解答】解：四边形ABCD是矩形，A90，ABCD，ADBC，AN3，MN5，AM4，M是AD
9、边中点，AMDM4，BC8，将矩形分别沿MN、MC折叠，A、D两点刚好落在点E处，ANNE3，CECD，BN2+BC2CN2，x2+82（x+6）2，解得x故选：B11如图，矩形ABCD中，AD18，AB24点E为边DC上的一个动点，ADE与ADE关于直线AE对称，当CDE为直角三角形时，DE的长为【分析】分两种情况分别求解，（1）当CED90时，如图（1），根据轴对称的性质得AEDAED45，得DEAD18；（2）当EDA90时，如图（2），根据轴对称的性质得ADED，ADAD，DEDE，得A、D、C在同一直线上，根据勾股定理得AC30，设DEDEx，则ECCDDE24x，根据勾股定理得，D
10、E2+DC2EC2，代入相关的值，计算即可【解答】解：（1）当CED90时，如图（1），CED90，根据轴对称的性质得AEDAED9045，D90，ADE是等腰直角三角形，DEAD18；（2）当EDA90时，如图（2），根据轴对称的性质得ADED，ADAD，DEDE，A、D、C在同一直线上，根据勾股定理得AC30，CD301812，设DEDEx，则ECCDDE24x，在RtDEC中，DE2+DC2EC2，即x2+144（24x）2，解得x9，即DE9；综上所述：DE的长为9或18；故答案为：9或1812如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH，若EH5，
11、EF12，则矩形ABCD的面积是（）A13BC60D120【分析】由折叠得：AEHMEH，BEFMEF，CFGNFG，DGHNGH，于是矩形ABCD的面积等于矩形EFGH的2倍，矩形EFGH的面积可以求出，【解答】解：如图，由折叠得：AEHMEH，BEFMEF，CFGNFG，DGHNGH，S矩形ABCD2S矩形EFGH2EFEH2512120，故选：D13（雁江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC10，E、F分别在边BC，AD上，BEDF将ABE，CDF分别沿着AE，CF翻折后得到AGE，CHF若AG分别平分EAD，则GH长为（）A3B4C5D7【分析】如图作GMAD于M交BC于N，作
12、HTBC于T想办法求出BN，CT即可解决问题【解答】解：如图作GMAD于M交BC于N，作HTBC于T由题意：BAD90，BAEEAGGAM，GAMBAEEAG30，ABAG2，AMAGcos303，同法可得CT3，易知四边形ABNM，四边形GHTN是矩形，BNAM3，GHTNBCBNCT1064，故选：B14如图，在菱形纸片ABCD中，AB8，A60，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB，AD上，则EG的长为（）ABC4D4【分析】作EMAD于M，由直角三角形的性质得出DMDE2，MEDM2，由折叠的性质得AGEG，在RtGME中，由勾股定理得出EG2（8
13、EG+2）2+（2）2，解得EG即可【解答】解：作EMAD于M，如图所示：四边形ABCD是菱形，AB8，CDADAB8，ABDC，ABCD，AMDC60，E是CD中点，DE4，MEAD，DMC60MED30，且MEADDMDE2，MEDM2，由折叠的性质得：AGEG，AFGEFG，在RtGME中，EG2GM2+ME2EG2（8EG+2）2+（2）2，解得：EG，故选：A15如图所示，矩形纸片ABCD中，AB6cm，BC8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（）AcmBcmCcmD8cm【分析】设AFxcm，则DF（8x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C
14、与点A重合，由勾股定理求AF即可【解答】解：设AFxcm，则DF（8x）cm，矩形纸片ABCD中，AB6cm，BC8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，DFDF，在RtADF中，AF2AD2+DF2，x262+（8x）2，解得：x故选：B类型三折叠与综合16如图，在ABCD中，点E是BC边上的动点，已知AB4，BC5，BAD135，现将ABE沿AE折叠，点B是点B的对应点，设CE的长为x若点B落在ADE内（包括边界），则x的取值范围是【分析】点B恰好落在AD边上时，四边形ABEB是边长为4的菱形，求出CE1；点B恰好落在DE边上时，作AHDE于H解直角三角形求出AH、HB、DH，再证明
15、DADE5，求出EB即可解决问题【解答】解：点B恰好落在AD边上时，四边形ABEB是边长为4的菱形，ECBCBE541点B恰好落在DE边上时，作AHDE于H如图所示：四边形ABCD是平行四边形，BAD135，ADBC5，ADBC，B45，由折叠的性质得：ABHB45，ABAB4，AEBAED，在RtAHB中，ABH45，AB4，HBAHAB2，在RtADH中，DH，BDDHHB2，ADBC，DAEAEBAED，DADE5，EBBEDEBD5（2）5+2，CEBCBE5（5+2）2，若点B落在ADE内（包括边界），则x的取值范围是1x2，故答案为：1x217如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，
16、设重叠部分为EBD，那么下列说法错误的是（）AEBEDB折叠后ABE和CBD一定相等CAEECDEBA和EDC一定是全等三角形【分析】由折叠的性质和平行线的性质可得ADBCBD，可得BEDE，可证AECE，由“SAS”可证ABECDE，即可求解【解答】解：如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，CBDDBC，CDCDAB，BCBC，ADBC，ADBDBC，ADBCBD，BEDE，AECE，在ABE和CDE中，ABECDE（SAS），选项A、C、D都不符合题意，故选：B18如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE4，EC8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，现
17、在有如下四个结论：EAG45；FGFC；FCAG；SGFC14其中结论正确的序号是【分析】正确证明GAFGAD，EABEAF即可错误可以证明DGGCFG，显然GFC不是等边三角形，可得结论正确证明CFDF，AGDF即可错误证明FG：EG3：5，求出ECG的面积即可【解答】解：如图，连接DF四边形ABCD是正方形，ABADBCCD，ABEBADADGECG90，由翻折可知：ABAF，ABEAFEAFG90，BEEF4，BAEEAF，AFGADG90，AGAG，ADAF，RtAGDRtAGF（HL），DGFG，GAFGAD，设GDGFx，EAGEAF+GAF（BAF+DAF）45，故正确，在RtE
18、CG中，EG2EC2+CG2，（4+x）282+（12x）2，x6，CDBCBE+EC12，DGCG6，FGGC，FGEF，F不是EG的中点，FGFC，故错误，GFGDGC，DFC90，CFDF，ADAF，GDGF，AGDF，CFAG，故正确，SECG6824，FG：FE6：43：2，FG：EG3：5，SGFC24，故错误，故答案为：19如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB4，BC8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：四边形CFHE是菱形；线段BF的取值范围为3BF4；EC平分DCH；当点H与点A重合时，EF2以
19、上结论中，你认为正确的有（填序号）【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CFFH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；点H与点A重合时，设BFx，表示出AFFC8x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CFCD，求出BF4，然后写出BF的取值范围，判断出正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得BCHECH，然后求出只有DCE30时EC平分DCH，判断出错误；过点F作FMAD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出正确【解答】解：FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，FHCG，EHCF，
20、四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CFFH，四边形CFHE是菱形，故正确；点H与点A重合时，设BFx，则AFFC8x，在RtABF中，AB2+BF2AF2，即42+x2（8x）2，解得x3，点G与点D重合时，CFCD4，BF4，线段BF的取值范围为3BF4，故正确；BCHECH，只有DCE30时EC平分DCH，故错误；过点F作FMAD于M，则ME（83）32，由勾股定理得，EF2，故正确综上所述，结论正确的有故答案为：20如图，正方形ABCD的边长AB12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN5，连接AN（1）求AEN的面积；（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由【分
21、析】（1）由折叠的性质得NEAE，设NEAEx，则BEABAE12x，在RtEBN中，由勾股定理得出方程，得出AE，由三角形面积公式即可得出答案；（2）作FHAB于H，则FHADAB，EFH+FEH90，由折叠的性质得出EFAN，证明EFHNAB（ASA），得出EFAN即可【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，B90，由折叠的性质得：NEAE，设NEAEx，则BEABAE12x，在RtEBN中，由勾股定理得：52+（12x）2x2，解得：x，AE，AEN的面积AEBN5；（2）EFAN，EFAN，理由如下：作FHAB于H，如图所示：则FHADAB，EFH+FEH90，由折叠的性质得：EFA
22、N，NAB+FEH90，EFHNAB，在EFH和NAB中，EFHNAB（ASA），EFAN21如图，在ABCD中，将ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若B60，AB3，求：（1）ADE的周长；（2）ACO的面积【分析】（1）由折叠的性质可得ACDACE90，ADAE，CDCE，由平行四边形的性质可得ADBC，ABCD3CE，BD60，ABCD，由直角三角形的性质可求AD2CD6，即可求解；（2）由勾股定理可求AC的长，可证四边形ABEC是平行四边形，可得AOOE，可得SACOSACE33【解答】解：（1）将ADC沿AC折叠ACDACE90，ADAE，CDCE，四边形ABC
23、D是平行四边形，ADBC，ABCD3CE，BD60，ABCD，AD2CD6AE，ADE的周长AD+AE+CE+CD6+6+3+318；（2）AD6，CD3，AC3ABCE，ABCECD，四边形ABEC是平行四边形，AOOE，SACOSACE3322综合与实践：学习完了矩形后，兴趣小组的同学们在一起共同研究矩形的折叠如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB6，AC10，求四边形AECF的面积【分析】（1）依据矩形的性质以及折叠的性质，即可得到AFCE，AECF，
24、即可得到四边形AECF是平行四边形；（2）设CEx，则EMBE8x，CM1064，利用勾股定理即可得到CE的长，进而得出四边形AECF的面积【解答】（1）证明：四边形ABCD为矩形，ADBC，ABCDBACDCA，由折叠的性质知，EACBAC，FCADCA，EACFCA，AECF，又ADBC，四边形AECF为平行四边形；（2）解：在RtABC中，AB6，AC10，由勾股定理得，BC8，由折叠的性质知，ABCAME90，BEEM，在RtCEM中，CMACAM1064，设CEx，则BEEM8x，由勾股定理得，ME2+CM2EC2，即（8x）2+16x2，解得x5，由（1）得，四边形AECF为平行四
25、边形，S四边形AECFECCD563023将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，2），点E，F分别在边AB，BC上沿着OE折叠该纸片，使得点A落在OC边上，对应点为A，如图再沿OF折叠，这时点E恰好与点C重合，如图（）求点C的坐标；（）将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点O与点F重合，折痕与AB相交于点P，展开矩形纸片，如图求OPF的大小；点M，N分别为OF，OE上的动点，当PM+MN取得最小值时，求点N的坐标（直接写出结果即可）【分析】（）先由折叠的性质得OAOA2，OCOE，再证四边形OAEA是正方形，得OAAE2，然后由勾股定理得OE2，即可求解；（
26、）连接EF，由（I）得：OA2，OCAB2，OAPPBF90，AOEAEO45，OAAE2，再证EBF是等腰直角三角形，得BEBFABAE22，设APx，则PB2x，然后由勾股定理得出方程，解得：x22，最后证RtPOARtFPB（HL），得POAFPB，进而得出结论；作点N关于OF的对称点N，过点N作NGx轴于G，连接MN，则OGN为等腰直角三角形，当P、M、N三点共线时，PM+MN有最小值，此时PNOAONOAP90，再求出OGNGON2，即可解决问题【解答】解：（）点A（0，2），OA2，由折叠的性质得：OAOA2，OCOE，四边形OABC是矩形，四边形OAEA是正方形，OAAE2，在R
27、tOAE中，由勾股定理得：OE2，点C的坐标为：（2，0）；（）连接EF，如图所示：由（I）得：OA2，OCAB2，OAPPBF90，AOEAEO45，OAAE2，由折叠的性质得：OEFOCF90，BEF180459045，EBF是等腰直角三角形，BEBFABAE22，设APx，则PB2x，由折叠的性质得：POPF，即PO2PF2，在RtOAP中，由勾股定理得：PO2OA2+AP2，在RtPBF中，由勾股定理得：PF2PB2+BF2，22+x2（2x）2+（22）2，解得：x22，APBF，在RtPOA和RtFPB中，RtPOARtFPB（HL），POAFPB，POA+APO90，FPB+AP
28、O90，OPF180（FPB+APO）90；由知，AP22，EOC45，作点N关于OF的对称点N，过点N作NGx轴于G，连接MN，如图所示：则OGN为等腰直角三角形，当P、M、N三点共线时，PM+MN有最小值，此时PNOAONOAP90，四边形APNO为矩形，ONONAP22，OGNGON（22）2，N（2，2）24如图，已知在RtABC中，ABC90，C30，AC12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0t6），过点D作DFBC于点F（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；（2）如图，在D、E运动的过程
29、中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；（3）连接DE，当t为何值时，DEF为直角三角形？（4）如图，将ADE沿DE翻折得到ADE，试问当t为何值时，四边形AEAD为菱形？并判断此时点A是否在BC上？请说明理由【分析】（1）根据题意直接表示出来即可；（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DFt，又AEt，则DFAE；而由垂直得到ABDF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；（3）显然DFE90；如图（1），当EDF90时，四边形EBFD为矩形，此时AEAD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；如图（2），当DEF9
30、0时，此时ADE90A30，此时ADAE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；（4）如图（3），若四边形AEAD为菱形，则AEAD，则t122t，所以t4即当t4时，四边形AEAD为菱形【解答】解：（1）AEt，AD122t；（2）DFBC，C30DFCD2ttAEtDFAE，ABC90，DFBCDFAE，四边形AEFD是平行四边形；（3）显然DFE90；如图（1），当EDF90时，四边形EBFD为矩形，此时AEADt3，如图（2），当DEF90时，此时ADE90AED90A30ADAE，综上：当t3秒或秒时，DEF为直角三角形；（4）如图（3），若四边形AEAD为菱形，则AEA
31、Dt122tt4当t4时，四边形AEAD为菱形，设EA交BC于点G在RtEBG中，BEG180AEG60GE2BEBEABAE642GE4EA，点G与点A重合点A在BC上25如图，在四边形AOCB中，A（0，2），B（，n）C（，0），其中ABO是等边三角形（1）如图（a），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使点A与点C重合求点E坐标；求BCF的面积；（2）如图（b），若将四边形AOCB沿直线EF折叠，使EFOB，设点A对折后所对应的点为A，AEF与四边形EOBF的重叠面积为S，设点E的坐标为（0，t）（t0），求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围【分析】（1）设点E坐标为（0，y），根
32、据A的坐标得到OA的长，由B与C的横坐标相同得到BC垂直于x轴，再由三角形ABO为等边三角形，得到OAOBAB2，且求出OBC为30度，进而求出n的值，由折叠的性质得到AEEC2y，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，即可确定出E坐标；过F作FM垂直于CB，设MBx，求出MBF为60度，在直角三角形MBF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出三角形BCF的面积；（2）分两种情况考虑：当点A落在四边形EOBF内或BC上时，如图（b）所
33、示，重合部分的面积即为三角形AEF的面积，表示出S与t的关系式即可；当点A落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，重合部分面积由两等边三角形面积之差，表示出S与t关系式即可【解答】解：（1）设点E的坐标为（0，y），A（0，2），B（，n），C（，0），BCx轴，OA2，ABO为等边三角形，BOC30，OAOBAB2，n1，由对折可得AEEC2y，在RtOCE中，y2+3（2y）2，解得：y，则E坐标为（0，）；作FMCB于点M，设MBx，MBF18012060，在RtMBF中，FB2x，FMx，在RtMCF中，根据勾股定理得：（22x）2（x+1）2+（x）2，解得：x，则SBCFBCFM；（2）EFOB，AEF为等边三角形，当点A落在四边形EOBF外时，如图（C）所示，得S（2t）2（22t）2t2+t（0x1）；当点A落在四边形EOBF内或OB上时，如图（b）所示，得S（2t）2（1x2）
