1、专题2.8一元二次方程的根与系数的关系-重难点题型【知识点1 一元二次方程的根与系数的关系】如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a0，0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【题型1 利用根与系数的关系求代数式的值】【例1】（普宁市期末）若一元二次方程x2x20的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1x1）【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解答】解：由题意可知：x1+x21，x1x22，原式1+x1+x2x1x21+1（2）4，故答案为：4【点评】本题
2、考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型【变式1-1】（龙马潭区模拟）设x1，x2是方程x2+3x30的两个实数根，则的值为【分析】欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可【解答】解：x1，x2是方程x2+3x30的两个实数根，x1+x23，x1x23，5故答案为5【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法【变式1-2】（解放区校级月考）一元二次方程x2+4x+10的两个根是x1，x2，则的值为（其中x2x1）【分析】利用根与系数的关系得到x1+x24，x1x21，再通过通分
3、和完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得x1+x24，x1x21，所以8故答案为8【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2【变式1-3】（淇滨区校级月考）已知a、b是方程2x2+5x+10的两实数根，则式子的值为【分析】利用根与系数的关系可得出a+b，ab，进而可得出a0，b0，再将a+b，ab代入中即可求出结论【解答】解：a、b是方程2x2+5x+10的两实数根，a+b，ab，a0，b0，故答案为：【点评】本题考查了根与系数的关系以及实数的运算，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题
4、的关键【题型2利用根与系数的关系求系数字母的值】【例2】（成都模拟）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2x12x2216成立，则k的值【分析】根据判别式的意义得到（2k+1）24（k2+2k）0，然后解不等式求得k的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x1+x22k+1，x1x2k2+2k，再把x1x2x12x2216变形为（x1+x2）2+3x1x216，所以（2k+1）2+3（k2+2k）16，然后解方程后即可确定满足条件的k的值【解答】解：关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k0有两个实数根，（2k+1）24（k2+2
5、k）0，解得k，由根与系数的关系得x1+x22k+1，x1x2k2+2k，x1x2x12x2216x1x2（x1+x2）22x1x216，即（x1+x2）2+3x1x216，（2k+1）2+3（k2+2k）16，整理得k22k150，解得k15（舍去），k23k3，故答案为3【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2也考查了根的判别式【变式2-1】（萍乡期末）关于x的一元二次方程x22x+m0的二根为x1，x2，且x12x1+x23x1x2，则m【分析】根据根与系数的关系求得x1+x22，x1x2m，且x122x1+m0
6、，然后将其代入已知等式列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值【解答】解：关于x的一元二次方程x22x+m0的二根为x1、x2，x1+x22，x1x2m，且x122x1+m0，x12x1m+x1，x12x1+x23x1x2，m+x1+x23x1x2，即m+23m，解得：m，故答案为：【点评】本题考查了根与系数的关系解题时，借用了“一元二次方程的解的定义”这一知识点【变式2-2】（文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k220的两根x1和x2，且x122x1+2x2x1x2，则k的值是【分析】先由x122x1+2x2x1x2，得出x120或x1x20，再分两种情况进行讨论：
7、如果x120，将x2代入x2+（2k+1）x+k220，得4+2（2k+1）+k220，解方程求出k2；如果x1x20，那么0，解方程即可求解【解答】解：x122x1+2x2x1x2，x122x1+2x2x1x20，x1（x12）x2（x12）0，（x12）（x1x2）0，x120或x1x20如果x120，那么x12，将x2代入x2+（2k+1）x+k220，得4+2（2k+1）+k220，整理，得k2+4k+40，解得k2；如果x1x20，则（2k+1）24（k22）0解得：k所以k的值为2或故答案为：2或【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时
8、，需用判别式进行检验【变式2-3】（武侯区校级月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m22m0的两个实数根为和，若|+|4，求m的值【分析】先由根与系数的关系得到2m+1（+），m22m（m1）20，那么和同号，再由|+|4，分+4或+4进行讨论即可【解答】解：二次方程x2+（2m+1）x+m22m0的两个实数根为和，+（2m+1），m22m，2m+1（+），m22m（m1）20，0，即和同号，由|+|4得：+4或+4当+4时，2m+14，解得m；当+4时，2m+14，解得m（2m+1）24（m22m）4m2+4m+14m2+8m612m50，m；m不合题意，舍去，则m【点评】本题考查了一元
9、二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足0的条件【题型3利用根与系数的关系及代根法综合求值】【例3】（九龙坡区校级期末）如果方程x2x20的两个根为，那么2+2的值为（）A7B6C2D0【分析】根据方程x2x20的两个根为，得到+1，2，2+2，将2+2变形为+22后代入即可求值【解答】解：方程x2x20的两个根为，+1，2，2+2，2+2+2+21+22（2）7，故选：A【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法【变式3-1】（抚州期末）一元二次方程x23x+10的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2
10、+1的值为（）A10B9C8D7【分析】根据根与系数的关系找出x1+x23、x1x21，将x12+3x2+x1x2+1变形为3（x1+x2）+x1x2，代入数据即可得出结论【解答】解：一元二次方程x23x+10的两个根为x1，x2，x123x1+10，x1+x23，x1x21，x123x11，则x12+3x2+x1x2+13x11+3x2+x1x2+13（x1+x2）+x1x233+110，故选：A【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x23、x1x21是解题的关键【变式3-2】（宜宾期末）已知、是方程x2x10的两个实数根，则4+3的值是（）A4B4C5D5【分析】根
11、据方程根的定义得到2a+1，即可得到42+2+1，然后根据根与系数的关系即可求得4+3的值【解答】解：、是方程x2x10的两个实数根，210，+1，2a+1，42+2+1，则4+32+2+1+321+3+3+231+25故选：C【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般【变式3-3】（雅安期末）设x1、x2是方程x24x+10的两个根，则x13+4x22+x11的值为【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解答】解：由题意可知：x1+x24，x1x21，4x11，4x1，原式4x1+4x114（）14（x1+x2）28x1x214168155，故答案为：
12、55【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型【题型4构造一元二次方程求代数式的值】【例4】（柯桥区月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2m3，n2n3，那么代数式2n2mn+2m+2021【分析】由题意可知m，n是x2x30的两个不相等的实数根则根据根与系数的关系可知：m+n1，mn3，又n2n+3，利用它们可以化简2n2mn+2m+20212（n+3）mn+2m+20212n+6mn+2m+20212（m+n）mn+2027，然后就可以求出所求的代数式的值【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2m3，n2n3，所以m，n
13、是x2x30的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n1，mn3，又n2n+3，则2n2mn+2m+20212（n+3）mn+2m+20212n+6mn+2m+20212（m+n）mn+202721（3）+20272+3+20272032故答案为：2032【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值【变式4-1】（崇川区月考）实数x，y分别满足99x2+2021x1y2+2021y99，且xy1则【分析】把y2+2021y99变形为99（）2+10，加上99x2+2021x+10，则实数x、可看作方程9
14、9t2+2021t+10，利用根与系数的关系得到x，x，再把原式变形为x+10，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：y2+2021y99，99（）2+10，99x2+2021x1，即99x2+2021x+10，实数x、可看作方程99t2+2021t+10的两实数解，x，x，原式x+1010故答案为【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2【变式4-2】（郫都区校级模拟）已知a22a10，b2+2b10，且ab1，则的值为【分析】先变形b2+2b10得到（）2210，则a和可看作方程x22x10的两根，然后根据根与系数的
15、关系求解【解答】解：b2+2b10，b0，方程两边同时除以b2，再乘1变形为（）2210，ab1，a和可看作方程x22x10的两根，a2，a+12+13故答案为：3【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2，x1x2【变式4-3】（蕲春县期中）已知实数，满足2+310，2310，且1，则3的值为【分析】原方程变为（）3（）10，得到、是方程x23x10的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可【解答】解：实数，满足2+310，2310，且1，、是方程x23x10的两根，3，1，1，原式131+3（）1+3310，故答
16、案为10【点评】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键【题型5根与系数的关系与三角形综合】【例5】（西工区期中）已知关于x的方程x28xk2+4k+120（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当ABC是等腰三角形时，求k的值【分析】（1）先计算出4（k2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x1k+6，x2k+2，然后分类讨论：当ABAC或ABBC或ACBC时ABC为等腰三角形，然后求出k的值【解答】（1）证明：（8
17、）24（k2+4k+12）4（k2）20，无论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x28xk2+4k+120，（x+k6）（xk2）0，解得：x1k+6，x2k+2，当ABAC时，k+6k+2，则k2；当ABBC时，k+65，则k1；当ACBC时，则k+25，解得k3，综合上述，k的值为2或1或3【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质【变式5-1】（吉安期中）关于x的一元二次方程（m1）x22mx+m+10（1）求证：方
18、程总有两个不相等的实数根（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？（3）若ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当ABC是等腰三角形时，求m的值【分析】（1）先计算出1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先求出方程的解，根据此方程的两个根都是正整数列出关于m的不等式，解不等式即可求解；（3）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得到关于m的方程，解方程即可求解【解答】解：（1）（2m）24（m1）（m+1）40，方程总有两个不相等的实数根；（2）（m1）x22mx+m+10，（m1）x（m+1）（x1）0，x1，x21，此方程的两个根都是正整数，0，当m
19、+10，m10时，解得m1，当m+10，m10时，解得m1，m2或m3；（3）一元二次方程（m1）x22mx+m+10的解为x1，x21，ABC是等腰三角形，第三边BC的长为5，5，解得m1.5，经检验，m1.5是原方程的解故m的值是1.5【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质【变式5-2】（西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2（2m+4）x+m2+4m0（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根（2）设方程
20、的两个实数根分别为x1，x2；求代数式4x1x2的最大值；若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长【分析】（1）通过判别式求解（2）通过两根之积与两根之和的关系将4x1x2配方求解把x6代入方程求出m，再将m代入原方程求出另外一个解，再根据三角形两边之和大于第三边确定x的值【解答】解：（1）（2m+4）24（m2+4m）16，160，此方程总有两个不相等的实数根（2）4x1x2（x1+x2）26x1x2，x1+x22m+4，x1x2m2+4m，（x1+x2）26x1x2（2m+4）26（m2+4m）2m28m+162（m+2）2+24，当m2时4x1x2的最大
21、值为24把x6代入原方程可得m28m+120，解得m2或m6，当m2时，原方程化简为x28x+120，解得x2或x6，三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，三角形边长为2，2，6时不存在当m6时，原方程化简为x216x+60，解得x6或x10三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26等腰三角形周长为14或22或26【点评】本题考查一元二次方程综合应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式与根与系数的关系【变式5-3】（永州模拟）已知关于x的方程，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长（1）说明这个方程有两个不相等的实数根（2）若方程的两实
22、数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出4m2n20，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系求出4，根据三角形的面积可求出m，n的值，则可求出答案【解答】解：（1）m、n是等腰三角形的腰和底边长，2mn，又b24ac（2m）241，4m2n2，0，方程有两个不相等的实数根（2）由题意得|x1x2|8，（x1x2）264，（x1+x2）24x1x264，由韦达定理得：x1+x22m，x1x2，（2m）2464，即4，等腰三角形的面积是16，如图，过点A作ADBC于点D，BDCDAD，16，n8，代入4，解得
23、m4，m4，n8【点评】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系，得出m，n的关系式【题型6根与系数关系中的新定义问题】【例6】（武侯区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有（填序号）方程x24x0是关于2的等距方程；当5mn时，关于x的方程（x+1）（mx+n）0一定是关于2的等距方程；若方程ax2+bx+c0是关于2的
24、等距方程，则必有b4a（a0）；当两根满足x13x2，关于x的方程px2x0是关于2的等距方程【分析】解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；根据方程ax2+bx+c0是关于2的等距方程，且b4a（a0）得到x1x2或x1+x24，当x1x2时，x1x2，不能判断a与b之间的关系，当x1+x24时，即4，得到b4a，据此即可判断；根据韦达定理和x13x2，得出3x22（3x2+x2）3x2，解得x21或x20（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断【解答】解：x24x0，x（x4）0，x10，x24，则|x22|x22
25、|，正确；当m0，n0时，（x+1）（mx+n）0，则x11，x2，5mn，x25，|x12|x22|，满足2的等距方程；当mn0时，原方程x+10不是一元二次方程，故错误；对于方程ax2+b+c0（a0），由韦达定理得：x1+x2，方程是2的等距方程，|x12|x22|，则x12x22或x122x2，x1x2或x1+x24，当x1x2时，x1x2，不能判断a与b之间的关系，当x1+x24时，即4，b4a，故ax2+bx+c0（a0）是2的等距方程时，b不一定等于4a，故错误；对于方程px2x0有两根满足x13x2，由韦达定理得：x1x2，x1+x2，x1x2（x1+x2），3x22（3x2+
26、x2）3x2，x21或x20（舍去），x13x23，|x12|x22|，即px2x0是关于2的等距方程，故正确，故正确的有，故答案为【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“关于2的等距方程”的定义是解题的关键【变式6-1】（崇川区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两个实数根，若满足|x1x2|1，则此类方程称为“差根方程”根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：x24x50；2x22x+10；（2）已知关于x的方程x2+2ax0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+10（a，
27、b是常数，a0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；（2）根据x2+2ax0是“差根方程”，且x10，x22a得到2a1，从而得到a；（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+10（a，b是常数，a0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到1，整理即可得到b2a2+4a【解答】解：（1）设x1，x2是一元二次方程x24x50的两个实数根，x1+x24，x1x25，|x1x2|6，方程x24x50不是差根方程；设x1，x2是一元二次方程2x22x+10的两个实数根，x1+x2，x1x2，|x1x2|1，方程2x22x+10是差根方程；（2）x2
28、+2ax0，因式分解得：x（x+2a）0，解得：x10，x22a，关于x的方程x2+2ax0是“差根方程”，2a1，即a；（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+10（a，b是常数，a0）的两个实数根，x1+x2，x1x2，关于x的方程ax2+bx+10（a，b是常数，a0）是“差根方程”，|x1x2|1，|x1x2|1，即1，b2a2+4a【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键【变式6-2】（石狮市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称
29、这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2+bx+ca（xt）（x2t）ax23atx+2t2a，所以有b2ac0；我们记“Kb2ac”，即K0时，方程ax2+bx+c0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是；（写出序号）方程x2x20；x26x+80；（2）若关于的x方程mx2+（n2m）x2n0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）若A（m，n）在一次函数y3x8的图象上，且关于x的一元二次方程x2n0是倍根方程，求此倍根方程【分析】(1)据倍根方程定义判断即可；(2)根据（x2）（mx+n）0
30、是倍根方程，且x12，x2得到mn或mn，从而得到m+n0，4m+n0，进而得到4m2+5mn+n20；(3)设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+ca（xt）（x2t）ax23atx+2t2a，从而得倍根方程满足b2ac0，据此求解可得【解答】解：(1)x2x20，（x+1）（x2）0，x11，x22，方程x2x20不是倍根方程；x26x+80，（x2)(x4)0,x12，x24，方程x26x+80是倍根方程；故答案为；（2）mx2+（n2m）x2n0，因式分解得：（x2）（mx+n）0，解得：x12，x2，方程mx2+（n2m）x2n0是倍根方程，2或4，即mn或mn，m+
31、n0或4m+n0；4m2+5mn+n2（4m+n）（m+n）0；（3）设其中一根为t，则另一个根为2t，则ax2+bx+ca（xt）（x2t）ax23atx+2t2a，b2ac0，x2n0是倍根方程，（）22n0，整理，得：m3n，A（m，n）在一次函数y3x8的图象上，n3m8，n1，m3，此倍根方程为x2x0【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键【变式6-3】（台儿庄区期中）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“
32、和谐三数组”材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根分别为x1，x2，则有，问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c0（b，c均不为0）的解求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；（2）先根据材料2，得出，再求出一元一次方程的解，进而得出，即可得出结论【解答】解：（1），2，3是“和谐三数组”；故答案为：，2，3（答案不唯一）；（2）证明：x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c0 （a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c0（b，c均不为0）的解，x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”【点评】此题主要考查了新定义的理解和运用，一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键
