1、3.3空间两点间的距离公式课时过关能力提升1.已知点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点为A,则|AA|等于()A.4B.6C.10D.38答案:C2.下列各点到坐标原点距离最小的是()A.(1,-1,1)B.(3,0,4)C.(-2,3,5)D.(2,2,1)解析:点(1,-1,1),(3,0,4),(-2,3,5),(2,2,1)到原点(0,0,0)的距离分别为3,5,38,3,故选A.答案:A3.点P(x,y,z)满足(x-1)2+(y-1)2+(z+1)2=2,则点P在()A.以点(1,1,-1)为圆心,2为半径的圆上B.以点(1,1,-1)为中心,2为棱长的正方体上C.以点(1,
2、1,-1)为球心,2为半径的球面上D.以上说法都不正确解析:式子(x-1)2+(y-1)2+(z+1)2=2的几何意义为动点P(x,y,z)到定点(1,1,-1)的距离为2的点的集合.故选C.答案:C4.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCD-ABCD,则AC的中点E与AB的中点F之间的距离为()A.2a B.22a C.a D.a2解析:由题意知,Fa,a2,0,Ea2,a2,a2,所以|EF|=a22+a22=22a.故选B.答案:B5.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为底边的等腰三角形,则实数x的值
3、为()A.-2B.2C.6D.2或6解析:以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为底边的等腰三角形,|AB|=|AC|.(4-10)2+(1+1)2+(9-6)2=(4-x)2+(1-4)2+(9-3)2, 7=(4-x)2+45,即(4-x)2=4,x=2或x=6.经检验,当x=2或x=6时,均满足|BC|14,故选D.答案:D6.在空间直角坐标系中,与点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点有()A.1个B.2个C.3个D.无数个解析:由两点间距离公式可得|AB|=26,|BC|=74,|AC|=26.因为A,B,C三
4、点不共线,所以三点可确定一个平面,在ABC所在平面内可找到一点到A,B,C的距离相等.而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A,B,C的距离均相等.故选D.答案:D7.在空间直角坐标系中,一束光线自点P(1,1,1)发出,遇到xOy平面被反射,到达点Q(3,3,6)处被吸收,则光所走的路程是.解析:设点Q关于平面xOy的对称点为Q,则所求路程为线段PQ的长.由题意知Q(3,3,-6),|PQ|=(1-3)2+(1-3)2+(1+6)2=57.答案:578.在空间直角坐标系O-xyz中,满足z=1的所有点构成的图形是.解析:因为z=1,所以满足条件的点到xOy面的距离为1,所以满足条件的点构
5、成一个平面,即与xOy平面平行,与z轴交点为(0,0,1)的平面.答案:与xOy平面平行且与z轴交点为(0,0,1)的平面9.在平面xOy内的直线3x-y+6=0上确定点P,使点P到定点M(2,2,3)的距离最小,则点P的坐标为.解析:由已知可设点P(x,3x+6,0),则|PM|=(2x-x)2+(2x+5)-(3x+6)2+(x+2)-02=x2+(x+1)2+(x+2)2=3x2+6x+5=3(x+1)2+2. 所以,当x=-1时,|PM|取最小值为2.故在xOy平面内的直线3x-y+6=0上,取点P(-1,3,0)时,点P到点M的距离最小.答案:(-1,3,0)10.如图所示,正方体A
6、BCD-A1B1C1D1的棱长为1,且E是棱DD1的中点,求BE,A1E的长.解以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.依题意,可得B(1,0,0),E0,1,12,A1(0,0,1),所以|BE|=(1-0)2+(0-1)2+0-122=32,|A1E|=(0-0)2+(0-1)2+1-122=52.故BE的长为32,A1E的长为52.11.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1),B(1,0,-3).(1)在y轴上是否存在点M,使|MA|=|MB|成立?(2)在y轴上是否存在点M,使MAB为等边三角形?若存在,求出点M的坐标;若不
7、存在,说明理由.解(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|,可设点M(0,y,0),则(3-0)2+(0-y)2+(1-0)2=(1-0)2+(0-y)2+(-3-0)2, 由于上式对任意实数都成立,故y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立.(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使MAB为等边三角形.由(1)可知y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立,所以只要再满足|AB|=|MA|,就可以使MAB为等边三角形.因为|AB|=25,|MA|=(3-0)2+(0-y)2+(1-0)2=10+y2,于是10+y2=25,解得y=10.故y轴上存在点M,使MAB为等边三角形,此
8、时点M的坐标为(0,10,0)或(0,-10,0).12.已知正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,已知CM=BN=a(0a2).求:(1)MN的长;(2)a为何值时,MN的长最小?分析(1)此题首先应画出图形,然后选择合适的点作为原点,建立空间直角坐标系,借助空间两点间距离公式求解.(2)利用(1)中|MN|的表达式转化为求二次函数的最小值.解(1)因为平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,ABBE,所以BE平面ABC.所以AB,BC,BE两两互相垂直.所以以B为原点,以BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则M(22a,0,1-22a ),N(22a,22a,0 ).所以|MN|=(22a-22a )2+(0-22a )2+(1-22a-0 )2=a2-2a+1=(a-22 )2+12(0a2), 即MN的长为(a-22 )2+12(0a2).(2)由(1)知|MN|=(a-22 )2+12,因为0a2,所以当a=22时,|MN|min=22,即当a=22时,MN的长最小.
