1、第3节圆的方程考试要求1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.圆的定义和圆的方程定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|rM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)|MC|rM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(
2、3)|MC|rM在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆内.1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2y2r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆.()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆.()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()答案(1)(2)(3)(4)解析(2)当a0时，x2y2a2表示点(0，0)；当a0时，表示半径为|a|的圆.(3)
3、当(4m)2(2)245m0，即m或m1时表示圆.2.(易错题)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是()A.a2 B.a0C.2a0 D.2a答案D解析由方程表示圆的条件得a2(2a)24(2a2a1)0，即3a24a40，2a.3.过点A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A.(x3)2(y1)24B.(x3)2(y1)24C.(x1)2(y1)24D.(x1)2(y1)24答案C解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线xy20上，所以b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以a1
4、，b1.所以r2.所以方程为(x1)2(y1)24.4.(多选)已知圆M的一般方程为x2y28x6y0，则下列说法正确的有()A.圆M的圆心坐标为(4，3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为6答案ABD解析圆M的一般方程为x2y28x6y0，则(x4)2(y3)225，圆的圆心坐标为(4，3)，半径为5，显然C不正确，ABD均正确.5.(2020北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7答案A解析由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为dmin
5、14.6.(2020全国卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2xy30的距离为()A. B. C. D.答案B解析由题意可知圆心在第一象限，设圆心坐标为(a，b)(a0，b0).圆与两坐标轴均相切，ab，且半径ra，圆的标准方程为(xa)2(ya)2a2.点(2，1)在圆上，(2a)2(1a)2a2，a26a50，解得a1或a5.当a1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2xy30的距离d；当a5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2xy30的距离d.综上，圆心到直线2xy30的距离为.考点一圆的方程例1 (1)(多选)(2021济南质检)已知圆C被x轴分成两部分的弧
6、长之比为12，且被y轴截得的弦长为4，当圆心C到直线xy0的距离最小时，圆C的方程为()A.(x4)2(y)220B.(x4)2(y)220C.(x4)2(y)220D.(x4)2(y)220答案AB解析设圆心为C(a，b)，半径为r，圆C被x轴分成两部分的弧长之比为12，则其中劣弧所对圆心角为120，由圆的性质可得r2|b|，又圆被y轴截得的弦长为4，a24r2，a244b2，变形为b21，即C(a，b)在双曲线y21上，易知双曲线y21上与直线xy0平行的切线的切点为(a，b)，此点到直线xy0的距离最小.设切线方程为xym，由消去y得x28mx(4m220)0，64m24(4m220)0
7、，解得m1，m1时，m1时，即切点为(4，)或(4，)，半径为r2，圆的方程为(x4)2(y)220或(x4)2(y)220.(2)(2022武汉调研)圆(x2)2(y12)24关于直线xy80对称的圆的方程为_.答案(x4)2(y6)24解析设对称圆的圆心为(m，n)，则解得所以所求圆的圆心为(4，6)，故所求圆的方程为(x4)2(y6)24.感悟提升求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与
8、两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.训练1 (1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_.答案x2y22x0解析法一设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D2，E0，F0，故圆的方程为x2y22x0.法二设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA1，kAB1，所以kOAkAB1，即OAAB，所以OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r|OB|1，圆的方程为(x1)2y21，即x2y22x0.(2)已知圆C的圆心在直线xy0上，圆C与直线xy0相切，且
9、截直线xy30所得的弦长为，则圆C的方程为_.答案(x1)2(y1)22解析法一所求圆的圆心在直线xy0上，可设所求圆的圆心为(a，a).所求圆与直线xy0相切，半径r|a|.又所求圆截直线xy30所得的弦长为，圆心(a，a)到直线xy30的距离d，d2r2，即2a2，解得a1，圆C的方程为(x1)2(y1)22.法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则圆心(a，b)到直线xy30的距离d，r2，即2r2(ab3)23.所求圆与直线xy0相切，r.又圆心在直线xy0上，ab0.联立，解得故圆C的方程为(x1)2(y1)22.考点二与圆有关的最值问题角度1利用几何意义求最值例2
10、已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上.(1)求的最大值和最小值；(2)求xy的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值.解(1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得k2或k2，的最大值为2，最小值为2.(2)设txy，则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得
11、t1或t1.xy的最大值为1，最小值为1.(3)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(1，2)的距离为，的最大值为1，最小值为1.角度2利用对称性求最值例3 已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_.答案2解析因为圆C：x2y24x2y0，所以圆C是以C(2，1)为圆心，半径r的圆.设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，所以解得故A(4，2).连接AC交圆C于Q(图略)，此时，|PA|PQ|取得最小值，由对称性可知|
12、PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2.角度3建立函数关系求最值例4 (2022厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2(y3)21上的动点，定点A(2，0)，B(2，0)，则的最大值为_.答案12解析由题意，知(2x，y)，(2x，y)，所以x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以(y3)21y246y12.由圆的方程x2(y3)21，易知2y4，所以，当y4时，的值最大，最大值为641212.感悟提升与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结
13、合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为圆上动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.训练2 (1)已知实数x，y满足方程x2y24x10，则x2y2的最大值为_，最小值为_.答案7474解析x2y2表示圆(x2)2y23上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.(2)已知圆C1：(x2)2
14、(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为_.答案54解析P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5，即|PM|PN|PC1|PC2|454.(3)已知圆O：x2y29，若过点C(2，1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则OPQ的面积最大值为_.答案解析当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，则P，Q的坐标为(2，)，(2，)，所以S
15、OPQ222.当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，则圆心到直线PQ的距离d，由平面几何知识得|PQ|2，SOPQ|PQ|d2d，当且仅当9d2d2，即d2时，SOPQ取得最大值.因为2，所以SOPQ的最大值为.考点三与圆有关的轨迹问题例5 设定点M(3，4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.解如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以，整理得又点N(x0，y0)在圆x2y24上，所以(x3)2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3，4)为圆心，2为半
16、径的圆，直线OM与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x3)2(y4)24，除去两点和.感悟提升求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.训练3 已知RtABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解(1)法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，且BC，AC斜率均存在，所
17、以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0).法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0).(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)
18、2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0).1.圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是()A.(2，3)，3 B.(2，3)，C.(2，3)，13 D.(2，3)，答案D解析圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径r.2.圆(x3)2(y1)25关于直线yx对称的圆的方程为()A.(x3)2(y1)25B.(x1)2(y3)25C.(x1)2(y3)25D.(x1)2(y3)25答案C解析圆(x3)2(y1)25的圆心(3，1)关于直线yx对称点为(1，3)，故所求圆的方程为(x1)2(y3)25.3.若方程x2y2mx
19、2y30表示圆，则m的取值范围是()A.(，)B.(，2)(2，)C.(，)D.(，2)(2，)答案B解析将x2y2mx2y30化为圆的标准方程得(y1)22.由其表示圆可得20，解得m2.4.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x2)2(y1)21B.(x2)2(y1)24C.(x4)2(y2)24D.(x2)2(y1)21答案A解析设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则所以代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.5.(多选)已知直线l与圆C：x2y22x4ya0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则
20、实数a的取值可以为()A.1 B.2 C.3 D.4答案AB解析圆C的标准方程为(x1)2(y2)25a，故a5.又因为弦AB的中点为M(0，1)，故M点在圆内，所以(01)2(12)25a，即a3.综上a3.故选AB.6.(2022广州调研)已知圆C经过P(2，4)，Q(3，1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为()A.x2y22x4y80B.x2y22x4y80C.x2y22x4y80或x2y26x8y0D.x2y22x4y80或x2y26x8y0答案C解析设圆的方程为x2y2DxEyF0，D2E24F0，将P，Q两点的坐标代入得令y0，得x2DxF0，设x1，x2是方程的两根
21、，由|x1x2|6得D24F36，由得或故所求的圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.7.若圆(x1)2(y3)29上相异两点P，Q关于直线kx2y40对称，则k的值为_.答案2解析圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，已知圆的圆心为(1，3)，由题设知，直线kx2y40过圆心，则k(1)2340，解得k2.8.已知两点A(0，3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2y22y0上的动点，则ABP的面积的最小值为_.答案解析求ABP面积的最小值，即求P到直线AB距离的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径.直线AB的方程为1，即3x4y120，圆x2y22y0，即x2(y1)
22、21，圆心为(0，1)，半径为1，圆心到直线AB的距离为d，P到直线AB的最小值为1，|AB|5，ABP面积的最小值为5.9.已知P，Q分别为圆M：(x6)2(y3)24与圆N：(x4)2(y2)21上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|AQ|的最小值为_.答案53解析圆N：(x4)2(y2)21，关于x轴对称的圆为圆N：(x4)2(y2)21，则|AP|AQ|的最小值为|MN|12353.10.已知M(x，y)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2，3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求yx的最大值和最小值.解(1)由圆C：x2y24x14
23、y450，可得(x2)2(y7)28，圆心C的坐标为(2，7)，半径r2.又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直线MQ的斜率k，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.直线MQ与圆C有交点，2，可得2k2，的最大值为2，最小值为2.(3)设yxb，则xyb0.当直线yxb与圆C相切时，截距b取到最值，2，b9或b1.yx的最大值为9，最小值为1.11.已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积.解(1)圆
24、C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y).由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为x3y80.又|OM|OP|2，O到l的距离为，所以|PM|，SPOM，故POM的面积为.12.(多选)设有一组圆Ck：(xk)2(yk)24(kR)，下列命题
25、正确的是()A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆Ck均不经过点(3，0)C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个D.所有圆的面积均为4答案ABD解析圆心坐标为(k，k)，在直线yx上，A正确；令(3k)2(0k)24，化简得2k26k50，364040，2k26k50无实数根， B正确；由(2k)2(2k)24，化简得k24k20，16880，有两个不相等实根，经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4，D正确.13.(2022泰安模拟)已知直线l：3x4ym0，圆C：x2y24x20，则圆C的半径r_；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P
26、，使得APB90，则实数m的取值范围是_.答案16，4解析圆的标准方程为(x2)2y22，圆心为C(2，0)，半径为r，若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得APB90，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，MPN90，而当CPl时，MPN最大，只要此最大角90即可，此时圆心C到直线l的距离为d|CP|.所以，解得16m4.14.设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.解(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0).设A(x1，y1)，B(x2，y2).由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或圆的半径为x04或12，因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.
