1、第2节函数的单调性与最大(小)值考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1，x2D当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向
2、右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值1.有关单调性的常用结论在公共定义域内，增函数增函数增函数；减函数减函数减函数；增函数减函数增函数；减函数增函数减函数.2.函数yf(x)(f(x)0或f(x)0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反.1.思考辨析
3、(在括号内打“”或“”)(1)对于函数yf(x)，若f(1)0，得2x3，故函数的定义域为(2，3)，令tx2x6，则ylogt，易知其为减函数.由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数tx2x6在(2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得tx2x6在定义域(2，3)上的单调递减区间为.3.设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_.答案0，1)解析由题意知g(x)该函数图象如图所示，其单调递减区间是0，1).4.已知f(x)(xa).(1)若a2，试证明f(x)在(，2)上单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围.(1)证明当a2
4、时，f(x).设x1x22，则f(x1)f(x2).因为(x12)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增.(2)解设1x1x2，则f(x1)f(x2).因为a0，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，a的取值范围是(0，1.感悟提升1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.(1)函数单调性的判断方法：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法.(2)函数yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增
5、异减”的原则.易错警示函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“”.考点二求函数的最值例1 (1)函数f(x)log2(x4)在区间2，2上的最大值为_.答案8解析因为函数y，ylog2(x4)在区间2，2上都单调递减，所以函数f(x)log2(x4)在区间2，2上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(2)log2(24)918.(2)对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_.答案1解析法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的
6、实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)1.法二依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，因此h(x)在x2时取得最大值h(2)1.感悟提升1.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.训练1 (1)函数y|x1|x2|的值域为_.答案3，)解析函数y作出函数的图象如图所示.根据图
7、象可知，函数y|x1|x2|的值域为3，).(2)设函数f(x)在区间3，4上的最大值和最小值分别为M，m，则_.答案解析f(x)2在3，4上单调递减，f(x)minf(4)4，f(x)maxf(3)6，M6，m4，.考点三函数单调性的应用角度1比较函数值的大小例2 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，)上单调递减，则()A.ff(2)f(2)B.ff(2)f(2)C.f(2)f(2)fD.f(2)f(2)f答案C解析f(x)为偶函数且在(0，)上单调递减，则ff(log34)f(log34).又log341，0221，f(log34)f(2)f(2)，即f(2)f(2)f.感悟提升利用
8、函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小.角度2解函数不等式例3 (1)(2020新高考全国卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A.1，13，) B.3，10，1C.1，01，) D.1，01，3答案D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)0.又f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x1)的大致图象如图(2)所示.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x0.当x0时，要满足x
9、f(x1)0，则f(x1)0，得1x3.故满足xf(x1)0的x的取值范围是1，01，3.(2)已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是_.答案(，2)(2，)解析因为函数f(x)ln x2x在定义域(0，)上单调递增，且f(1)ln 122，所以由f(x24)2得，f(x24)f(1)，所以0x241，解得x2或2x2b B.ab2 D.ab2答案B解析由指数和对数的运算性质可得2alog2a4b2log4b22blog2b.令f(x)2xlog2x，则f(x)在(0，)上单调递增.又22blog2b22blog2b122blog2(2b)，2alog2a22bl
10、og2(2b)，即f(a)f(2b)，a2b.(2)(2020全国卷)若2x2y0 B.ln(yx1)0 D.ln|xy|0答案A解析原已知条件等价于2x3x2y3y，设函数f(x)2x3x.因为函数y2x与y3x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增，即f(x)f(y)，所以x0，所以A正确，B不正确.因为|xy|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.1.(多选)下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是()A.y|x| B.yx3C.y D.yx24答案AB解析函数y与yx24在(0，1)都是减函数，故选AB.2.函数f(x)x在上的最大值是()A. B. C.2 D.2答案A解析易
11、知f(x)x在上单调递减，故其最大值为f(2).3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是()A.f()f(3)f(2)B.f()f(2)f(3)C.f()f(3)f(2)D.f()f(2)f(3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(3)f(3)，f(2)f(2).又因为函数f(x)在0，)上是增函数，所以f()f(3)f(2)，即f()f(3)f(2).4.(2021武汉一模)已知函数f(x)loga(x22x3)(a0且a1)，若f(0)0，则此函数的单调递增区间是()A.(，1 B.1，)C.1，1) D.(3，1答案C
12、解析令g(x)x22x3，由题意知g(x)0，可得3x1，故函数的定义域为x|3x1.根据f(0)loga30，可得0a1.又g(x)在定义域(3，1)内的单调递减区间是1，1)，所以f(x)的单调递增区间为1，1).5.如果函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，那么实数a的取值范围是()A.(0，2) B.(1，2)C.(1，) D.答案D解析因为对任意x1x2，都有0，所以yf(x)在R上是增函数，所以解得a2.故实数a的取值范围是.6.(多选)已知函数f(x)loga|x1|在区间(，1)上单调递增，则()A.0a1B.a1C.f(a2 021)f(2 022)D.f(a2 021
13、)f(2 022)答案AC解析f(x)loga|x1|的定义域为(，1)(1，).设z|x1|，可得函数z在(，1)上单调递减；在(1，)上单调递增，由题意可得0a1，故A正确，B错误；由于0a1，可得2 021a2 0212 022.又f(x)在(1，)上单调递减，则f(a2 021)f(2 022)，故C正确，D错误.7.函数yx22|x|1的单调递增区间为_，单调递减区间为_.答案(，1和0，1(1，0)和(1，)解析由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0，1，单调递减区间为(1，0)和(1，).8.若函数f(x)exex，则不等式f(2x1)f(x2)0的解集为_.答
14、案解析由f(x)f(x)，知f(x)exex为奇函数，又易证在定义域R上，f(x)是增函数，则不等式f(2x1)f(x2)0等价于f(2x1)f(x2)f(x2)，则2x1x2，即x，故不等式的解集为.9.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若af，bf(log24.1)，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为_.答案abc解析f(x)在R上是奇函数，afff(log25).又f(x)在R上是增函数，且log25log24.1log24220.8，f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc.10.函数f(x)loga(1x)loga(x3)(0a1).(1)求方程f(x)0的
15、解；(2)若函数f(x)的最小值为1，求a的值.解(1)由得3x1，f(x)的定义域为(3，1)，则f(x)loga(x22x3)，x(3，1).令f(x)0，得x22x31，解得x1或x1，经检验，均满足原方程成立.故f(x)0的解为x1.(2)由(1)得f(x)loga(x1)24，x(3，1)，由于0(x1)244，且a(0，1)，loga(x1)24loga4，由题意可得loga41，解得a，满足条件.所以a的值为.11.已知函数f(x)a.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)f(2)的x的取值范围.解(1)f(0)a
16、a1.(2)f(x)在R上单调递增.证明如下：f(x)的定义域为R，任取x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)aa.y2x在R上单调递增且x1x2，02x12x2，2x12x20，2x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上单调递增.(3)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得a1，f(ax)f(2)，即为f(x)f(2).又f(x)在R上单调递增，x0，且a1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a(1，4)时，求函数f(x)在2，)上的最小值；(3)若对任意x2，)恒有f(x)0，试确定a的取值范围.解(1)由x20，得0，当a1时，x22xa0恒成立，定义域为(0，)，当0a1时，定义域为x|0x1或x1.(2)设g(x)x2，当a(1，4)，x2，)时，g(x)10，因此g(x)在2，)上是增函数，f(x)在2，)上是增函数，则f(x)minf(2)lg.(3)对任意x2，)，恒有f(x)0.即x21对x2，)恒成立.a3xx2.令h(x)3xx2，x2，).由于h(x)在2，)上是减函数，h(x)maxh(2)2.故a2时，恒有f(x)0.故a的取值范围为(2，).
