江苏省南通市如皋市2017年高考数学一模试卷 WORD版含解析.doc

资源描述

1、2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1设全集U=x|x3，xN，集合A=x|x210，xN，则UA=2复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是3抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为4如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为5已知等差数列an的前11项的和为55，a10=9，则a14=6若点（x，y）位于曲线y=|2x1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2xy的最小值为7已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则

2、三棱锥A1ABM的体积为8已知圆C过点（2，），且与直线xy+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为9已知F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是ABF1的重心，且=0，则双曲线的离心率为10已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则=11已知函数f（x）=，则不等式f（x22）+f（x）0的解集为12将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）g（x2）|=4的x1、x2，有|x1x2|min=，则=13已知函数f（x）=（x1）exax2，若

3、y=f（cosx）在x0，上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为14设实数x、y满足4x22xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB，ABBC，且N是A1B的中点（1）求证：直线AN平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点16（14分）在ABC中，已知cosC+（cosAsinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若sin（A）=，求sin2C17（15分）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O

4、为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值18（15分）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由19（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（aR）（1）若a=2，求证：f（x）g（x）在（1，+）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）g（x）的单调性；（3）求证

5、：当x0时，f（x+1）20（16分）已知数列an的通项公式为an=2n（1）n，nN*（1）在数列an中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列an中，一定存在满足条件1rs的正整数r、s，使得a1、ar、as成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列an中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由附加题21（10分）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P（1， +1）（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N22（10分）已知曲线C1的极坐标方程为24cos4

6、=0，曲线C2和曲线C1关于直线=对称，求曲线C2的极坐标方程23（10分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望24（10分）已知集合A=a1，a2，an（nN*），规定：若集合A1A2Am=A（m2，mN*），则称A1，A2，Am为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，Am=Bm时，

7、A1，A2，Am与B1，B2，Bm为同一分拆，所有不同的分拆种数记为fn（m）例如：当n=1，m=2时，集合A=a1的所有分拆为：a1a1，a1，a3，即f1（2）=3（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示fn（m）；（3）证明： fn（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定fn（1）=1）2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1设全集U=x|x3，xN，集合A=x|x210，xN，则UA=3【考点】补集及其运算【分析】求出A中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出A，求出A的补集即可【解答】解：全集U=x|

8、x3，xN，A=x|x210，xN=x|x，xN，UA=x|3x，xN=3，故答案为：3【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z=，=故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】分别求出P（向上的数字为奇数），p（向上的数字大于4），p（向上

9、的数字为奇数且向上的数字大于4），从而求出向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率即可【解答】解：P（向上的数字为奇数或向上的数字大于4）=P（向上的数字为奇数）+p（向上的数字大于4）p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4）=+=，故答案为：【点评】本题考查了古典概型问题，是一道基础题4如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为30【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为n2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值【解答】解：模拟程序的运行，可得n=10，S=0不满足条件n2，执行循环体，S=10，n=8不满足条件n2，执行循环体，S=18，

10、n=6不满足条件n2，执行循环体，S=24，n=4不满足条件n2，执行循环体，S=28，n=2不满足条件n2，执行循环体，S=30，n=0满足条件n2，退出循环，输出S的值为30故答案为：30【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题5已知等差数列an的前11项的和为55，a10=9，则a14=13【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第14项【解答】解：等差数列an的前11项的和为55，a10=9，解得a1=0，d=

11、1，a14=a1+13d=0+13=13故答案为：13【点评】本题考查数列的第14项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用6若点（x，y）位于曲线y=|2x1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2xy的最小值为5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2xy，利用z的几何意义，即可得到结论【解答】解：作出曲线y=|2x1|与y=3所围成的封闭区域内（包括边界）如图：设z=2xy，则y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点A时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大，由，解得A（1，3），此时z=213=5，故答案为：

12、5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键7已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1ABM的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】三棱锥A1ABM的体积为，由此能求出结果【解答】解：棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，三棱锥A1ABM的体积为：=故答案为：【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用8已知圆C过点（2，），且与直线xy+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为（x1）2+y2=4【考点】直线与圆的位置关系【分析】设出圆心坐标，利用知圆C过点（

13、2，），且与直线xy+3=0相切于点（0，），结合斜率公式，求出圆心与半径，即可求圆的方程【解答】解：设圆心为（a，b），则，解得a=1，b=0，r=2即所求圆的方程为（x1）2+y2=4，故答案为（x1）2+y2=4【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出圆心坐标与半径是关键9已知F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是ABF1的重心，且=0，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】设F1（c，0），F2（c，0），将x=c代入双曲线的方程，可得A，B的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G的坐标，得到，的坐标，运用向

14、量数量积的坐标表示，可得a，b，c的方程，由离心率公式，解方程可得【解答】解：设F1（c，0），F2（c，0），令x=c代入双曲线的方程，可得y2=b2（1）=，解得y=，可设A（c，），B（c，），由重心坐标公式可得xG=c；yG=0，即G（c，0），=（c，），=（2c，），由=c2c+（）（）=0，即4a2c2=3b4，即为2ac=b2=（c2a2），由e=，可得e22e=0，解得e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题10已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交

15、单位圆于点D，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意画出图形，利用平面向量的坐标运算得答案【解答】解：由题意作图如下，则A（1，0），B（，），C（，），D（1，0）=故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题11已知函数f（x）=，则不等式f（x22）+f（x）0的解集为（2，1）【考点】其他不等式的解法【分析】画出函数f（x）的，可知f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，即可求不等式f（x22）+f（x）0的解集【解答】解：函数f（x）=，其图象如下：f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f（x22）+f（x）0，f（x22）f

17、x）=2cos2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）=2cos（2x2），对满足|f（x1）g（x2）|=4的x1、x2，有|x1x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，0，若x1=0，x2=，此时g（x2）=2cos（2x22）=2，解得=（舍去）若x1=0，x2=，此时g（x2）=2cos（2x22）=2，解得=，满足题意的值为故答案为【点评】本题主要考查了三角函数的平移，函数的最值以及周期的运用，考查了分析能力属于中档题13已知函数f（x）=（x1）exax2，若y=f（cosx）在x0，上有且仅有两个不同的零点，

18、则实数a的取值范围为a【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可【解答】解：函数f（x）=（x1）exax2，可得f（x）=x（ex2a），令x（ex2a）=0可得，x=0或ex=2a，当a0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=10，若y=f（cosx）在x0，上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x1，1上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a当a0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）0，因为f（0）0，可知不满足题意；如果ln（2a

19、）0，必有可得：，即，可得a与a0矛盾；综上：a故答案为：a【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力14设实数x、y满足4x22xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是【考点】基本不等式【分析】设x2+4y2=t2，则x=tcos，y=tsin，代入4x22xy+4y2=13，可得t2=，利用三角函数的单调性即可得出【解答】解：设x2+4y2=t2，则x=tcos，y=tsin，4x22xy+4y2=13，t2=，=1时，t2取得最小值： =104；=1时，t2取得最大值： =10+4综上可得：t2即x2+4y2的取值范围是

20、故答案为：【点评】本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）（2017如皋市一模）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB，ABBC，且N是A1B的中点（1）求证：直线AN平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点【考点】平面与平面垂直的判定【分析】（1）证明ANBC，ANA1B，即可证明直线AN平面A1BC；（2）证明MNA1C1，利用 N是A1B的中点，可得结论【解答】证明：（1）直三棱柱ABCA1B1C1，AA1平面ABC，BC平面ABC，

21、AA1BC，ABBC，AA1AB=A，BC平面A1AB，（3分）AN平面A1AB，ANBC，AA1=AB，且 N是A1B的中点，ANA1B，A1BBC=B，直线AN平面A1BC（7分）（2）证明：MN平面A1B1C1，MNA1C1，N是A1B的中点，M是BC1的中点（14分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16（14分）（2017如皋市一模）在ABC中，已知cosC+（cosAsinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若sin（A）=，求sin2C【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值【分析】（1）利用三角形内

22、角和定理消去C，化简可得B的大小（2）利用换元法，把A换出来，与三角形内角和定相结合，把C表示出来即可求值【解答】解：（1）由cos C+（cos Asin A）cos B=0，根据三角形内角和定理消去C，则cos C+（cos Asin A）cos B=cos（A+B）+（cos Asin A）cos B=cosA cosB+sinA sinB+cosA cosBsinA cosB=sinA sinBsinA cosB=0；由sin A0，则有 tanB=B（0，），故得B=（2）sin（A）=，令A=t，即sint=，则A=，那么：sin2C=sin2（AB）=sin2（）=sin（2t+

23、）=sin2t+cos2t，由，sint=，cost=，sin2t=2sintcost=，cos2t=故得sin2C=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力属于中档题17（15分）（2017如皋市一模）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（

24、1）求出DOF=，分别求出DE，DF，从而求出EF的表达式，求出EF的最大值即可；（2）求出S=S矩形OABCS梯形OEFC的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S的最大值即可【解答】解：（1）设DOE=𝜃，因为点E、F分别在边OA与BC上，所以0，则DOF=，在RtDOE中，DE=tan𝜃，在RtDOF中，DF=tan（）=，EF=DE+DF=tan𝜃+=，0，当=时，cos𝜃min=，EFmax=2；（2）在RtDOE中，OE=，由（1）可得CF=DF=，S=S矩形OABCS梯形OEFC=2+ （0），S=，令S0，解

25、得：0，𝜃（0，）（，）S+0S极大值因为S在（0，时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即S的最大值当=时，Smax=2；答：（1）观光道路EF长度的最大值为2km；（2）草坪面积S的最大值为2km【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题18（15分）（2017如皋市一模）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，

26、+=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴P（，），则=（x1，y1），=（，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形【解答】证明：（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+=，（2分）当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=

27、k（x+1），则直线CD：y=（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，整理，得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，x1+x2=，x1x2=AB=|x1x2|=，同理：CD=，（6分）=综上： =故+为定值（8分）（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴由（1），得P（，），则=（x1，y1），=（，），即，（12分）又x1+x2=，则y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2），解得，无解（14分）四边形OAPB不可能是平行四边形（15分）【点评】本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题

28、，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用19（16分）（2017如皋市一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（aR）（1）若a=2，求证：f（x）g（x）在（1，+）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）g（x）的单调性；（3）求证：当x0时，f（x+1）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）设h（x）=f（x）g（x），求出函数的导数，判断出函数的单调性即可；（2）求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，判断h（x）的单调性即可；（3）问题转化为证明，即证2ex2x2x20，设（x）=2exx22x2，根据函数的单调性证明

29、即可【解答】证明：（1）当a=2时，设h（x）=f（x）g（x）=lnx，h（x）=，所以h（x）0在（1，+）恒成立，h（x）在（1，+）上单调递增，所以h（x）h（1）=0，所以f（x）g（x）在（1，+）恒成立；解：（2）h（x）=，令h（x）=0，即x22（a1）x+1=0，=4（a1）24=0，解得：a=0或a=2，若0a2，此时0，h（x）0在（0，+）恒成立，所以h（x）在（0，+）单调递增；若a2，此时0，方程x22（a1）x+1=0的两根为x1，2=（a1），且x1，20，所以h（x）在（0，a1）上单调递增，在（a1，a1+）上单调递减，在（a1+，+）上单调递增；若a0，

30、此时0，方程x22（a1）x+1=0的两根为x1，2=（a1），且x1，20，所以h（x）在（0，+）上单调递增；综上，若a2，h（x）在（0，+）单调递增，若a2，h（x）在（0，a1），（a1+，+）上单调递增，在（a1，a1+）上单调递减；证明：（3）由（1）可知lnx在（1，+）恒成立，所以f（x+1）=ln（x+1）在（0，+）恒成立，下证，即证2ex2x2x20，设（x）=2exx22x2，（x）=2ex2x2，（x）=2ex2，易知（x）0在（0，+）恒成立，所以（x）在（0，+）单调递增，所以（x）=2ex2x2（0）=0，所以（x）在（0，+）单调递增，所以（x）（0）=0，

31、所以，即当x0时，f（x+1）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题20（16分）（2017如皋市一模）已知数列an的通项公式为an=2n（1）n，nN*（1）在数列an中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列an中，一定存在满足条件1rs的正整数r、s，使得a1、ar、as成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列an中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由【考点】等差数列的通项公式【分析】（1）若存在连续的三项ak，ak+1，ak+2成等

32、差数列，kN*，则2ak+1=ak+ak+2，代入化简即可得出（2）若a1，ar，as成等差数列，则22r（1）r=3+2s（1）s，化简即可得出（3）由于an+1an=2n+1（1）n+12n+（1）n=2n+2（1）n0，不妨设aq，ar，as，at成等差数列，其中1qrst于是aq+at=ar+as，即2q（1）q+2t（1）t=2r（1）r+2s（1）s，化简即可得出【解答】解：（1）若存在连续的三项ak，ak+1，ak+2成等差数列，kN*，则2ak+1=ak+ak+2，即：22k+1（1）k+1=2k（1）k+2k+2（1）k+2，（1分）所以2k=4（1）k，（2分）由于=4（1

33、）k=4，2k=4，即k=2所以当且仅当k=2时，ak，ak+1，ak+2成等差数列（4分）（2）若a1，ar，as成等差数列，则22r（1）r=3+2s（1）s，2s2r+1=（1）s2（1）r3（6分）rs，2s2r+10，而（1）s2（1）r30，（8分）2s2r+1=0，可得s=r+1，且s为大于等于4的偶数（10分）（3）由于an+1an=2n+1（1）n+12n+（1）n=2n+2（1）n0，（12分）不妨设aq，ar，as，at成等差数列，其中1qrst于是aq+at=ar+as，即2q（1）q+2t（1）t=2r（1）r+2s（1）s，所以2q+2t2r2s=（1）q+（1）t

34、（1）r（1）t（*）因为（*）式左边22+2=6，（*）式右边4，所以（*）式无解，故在数列an中不存在某4项成等差数列（16分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题附加题21（10分）（2017如皋市一模）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P（1， +1）（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N【考点】逆矩阵与投影变换；几种特殊的矩阵变换【分析】（1）由题意，得2a1=1，1+2b=+1，解得即可，（2）由（1），|N|=1，即可求矩阵M的逆矩阵N【解答】解：（1）由题意，得2a1=1，1+2

35、b=+1，所以a=b=（2）由（1），|N|=1，得矩阵M的逆矩阵N=【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题22（10分）（2017如皋市一模）已知曲线C1的极坐标方程为24cos4=0，曲线C2和曲线C1关于直线=对称，求曲线C2的极坐标方程【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】根据2=x2+y2，sin=y，cos=x，将极坐标方程24cos4=0和直线=化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线C2的直角坐标方程，在转化为极坐标方程【解答】解：由题意：极坐标方程24cos4=0转化为直角坐标方程为：x2+y24y4=0，直线=转化为直角坐标方程为x=y，曲

36、线C2和曲线C1关于直线y=x对称，曲线C2的直角坐标方程为：x2+y24x4=0，由2=x2+y2，sin=y，cos=x，曲线C2极坐标方程为：24sin4=0【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换23（10分）（2017如皋市一模）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望【考点】离散

37、型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈，事件A、B、C相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P（A）=P（A）P（）P（）=P（A）1P（B）1P（C），由此能求出结果（2）X可能的取值为0，1，2，3，分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）【解答】解（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，（1分）则P（A）=，P（B）=，P（C）=事件A、B、C相互独立，甲同

38、学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：P（A）=P（A）P（）P（）=P（A）1P（B）1P（C）=（4分）（2）X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P（X=0）=，P（X=1）=+=，P（X=2）=+=，P（X=3）=，（8分）X的分布列为：X0123PX的数学期望E（X）=0+1+2+3=（10分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用24（10分）（2017如皋市一模）已知集合A=a1，a2，an（nN*），规定：若集合A1A2Am=A（m2，mN*），则称A1，A2，

39、Am为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，Am=Bm时，A1，A2，Am与B1，B2，Bm为同一分拆，所有不同的分拆种数记为fn（m）例如：当n=1，m=2时，集合A=a1的所有分拆为：a1a1，a1，a3，即f1（2）=3（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示fn（m）；（3）证明： fn（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定fn（1）=1）【考点】集合的表示法【分析】（1）集合A1A2=A，对于每一个Aj（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，由此能求出f2（2）=9（2）an有2m1种进入A1，A2，Am的不同方法，根据分步计数原理，a1，a2，an进入

40、A1，A2，Am共有（2m1）n种不同方法，从而求出（3）运用二项式定理将（2i1）n展开得（2i1）n= （2i）n+（1）C（2i）n1+（1）2+（1）n，由此能证明fn（i）与m同为奇数或者同为偶数【解答】解：（1）集合A1A2=A，对于每一个Aj（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，而且a1至少进入其中一个Aj（j=1，2），所以a1有=3种进入A1，A2的不同方法；同理a2有=3种进入A1，A2的不同方法；根据分步计数原理，a1，a2进入A1，A2共有33=9种不同方法，即f2（2）=9（2）集合A1A2Am=A（m2，mN*），下面按ai（i=1，2，n）是否进入Aj（j

41、=1，2，m）分为n步求解：第一步：对于每一个Aj（j=1，2，m），a1都有进入或不进入两种可能，而且a至少进入其中一个Aj（j=1，2，m），所以a1有种进入A1，A2，Am的不同方法；（4分）第二步：同理a2有2m1种进入A1，A2，Am的不同方法；第n步：同理an有2m1种进入A1，A2，Am的不同方法根据分步计数原理，a1，a2，an进入A1，A2，Am共有（2m1）n种不同方法，即（6分）（3）运用二项式定理将（2i1）n展开可得：（2i1）n=+（1）n，其中i=1，2，m，= （2i）n+（1）C（2i）n1+（1）2+（1）n=+（1）2+=2S+（1）nn，其中SN*，所以当m为奇数时，2S+（1）nm为奇数；当m为偶数时，2S+（1）nm也为偶数，即fn（i）与m同为奇数或者同为偶数【点评】本题考查函数表达式的求法，考查fn（i）与m同为奇数或者同为偶数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用

展开阅读全文