1、绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间150分钟2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知复数zabi(a，bR)，若(z)(z)8i，则ab的值为_2. 已知集合My|y2x1，xR，N，则MN_3. 某人打同一款游戏通关的时间分别为x，9，10，11，9(单位：min)，已知这组数据的平均数为10，则方差为_4. 某马戏团有大猩猩2只，猴子3只，现从中任选3只去外地参加表演，则大猩猩和猴子都被选中的概率为_(
2、第5题)5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为_6. 已知等差数列an满足a52，a1111，则aa_7. 函数f(x)的定义域为_8. 设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|_9. 已知F1，F2是双曲线1(0mBAD90C，ACAB，则BAC的取值范围为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知向量a(sin x，cos x)，x，.(1) 已知b(1，)，若a，b所成的角为，求x的值；(2) 已知c(，1)，记f(x)(ac)(a2c)，求f(x)的值域16. (本小题
3、满分14分)如图，在平行四边形ABCD中，已知直线BC平面ABE，F为CE的中点(1) 求证：直线AE平面BDF；(2) 若AEB90，求证：平面BDF平面BCE.(第16题)17. (本小题满分14分)如图，正方体ABCDA1B1C1D1是一个棱长为2的空心蔬菜大棚， 由8个钢结构(地面没有)组合搭建而成的，四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖已知E为柱AA1上一点(不在点A，A1处)，EAt.菜农需要在地面正方形ABCD内画出一条曲线l将菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理，现已知点P为地面正方形ABCD内的曲线l上任意一点，设，分别为在P点观测E和D1的仰角(1) 若，请
4、说明曲线l是何种曲线，为什么？(2) 若E为柱AA1的中点，且b0)的长轴端点分别为A1，A2，椭圆C的离心率为e，两条准线之间的距离为9.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设P是曲线C上的一点，PA1A2，过A2作A2RA1P于点R，设A2R与曲线C交于点Q，连接PQ，求直线PQ的斜率的取值范围19. (本小题满分16分)设f(x)aexa，g(x)axx2(a为与自变量x无关的正实数).(1) 证明：函数f(x)与g(x)的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；(2) 是否存在实数k，使得ln x1对任意的x恒成立？若存在，求出k的取值范围，否则请说明理由20. (本小题满
5、分16分)若对任意的nN*，存在一个常数M，使得anM成立，则称M为an的一个上界；若对任意的nN*，an1成立，则称数列an为“凹数列”(1) 求证：任意一个正项等比数列bn为“凹数列”；构造一个正项“凹数列”cn，但数列cn不是等比数列，并给出证明；(2) 设无穷正项数列an的前n项和为Sn，若1为Sn的一个上界(nN*)，且数列an为“凹数列”，求证：0anan1(nN*).绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学(附加题)注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用2. 本试卷共40分，考试时间30分钟3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封
6、线内21. 【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知T变换将曲线C1：y21变换为单位圆x2y21，S变换将曲线C2：1变换为双曲线x2y21，求ST对应的矩阵B. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中，已知直线与圆O：8sin 相交于A，B两点，求OAB的面积C. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分)已知实数x，y，z 为正实数，求证：.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的
7、文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)设P，Q为抛物线C：y24x上的两点，点P，Q的纵坐标之和为4.(1) 求直线PQ的倾斜角；(2) 已知M是抛物线C上的动点，过M作垂直于x轴的直线，与直线yx交于点A，点B满足2，连接OB(其中O为原点)交抛物线C于点N，试问：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由23. (本小题满分10分)设a，bR，a0，ab0，数列cr的通项公式为cr(anrbr)(1rn1)，nN*.令cr的各项之和为Sn1，fn(a，b).(1) 计算：f1(a，b)，f2(a，b)，f3(a，b)，验证不等式fn(a，b)n对n1，2，
8、3成立；(2) 证明不等式：fn(a，b)n，并给出等号成立的充要条件2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学参考答案及评分标准1. 2【解析】 由zabi，得abi，因为(z)(z)8i，所以(abiabi)abi(abi)4abi8i，所以ab2.2. y|y1【解析】 因为My|y1，Nx|x1x|x1，所以MNy|y13. 0.8【解析】 因为这组数据的平均数为10，所以10，解得x11，所以这5个数据的方差为(1110)2(910)2(1010)2(1110)2(910)20.8.4. 【解析】 记2只大猩猩分别为A，B，3只猴子分别为C，D，E，运用枚举法得从
9、中任意选3只构成的基本事件有10个，其中大猩猩和猴子都被选中的有9个，所以大猩猩和猴子都被选中的概率为.5. 55【解析】 i1时，运行结果为S0121，i2；i2时，运行结果为S1225，i3；i3时，运行结果为S53214，i4；i4时，运行结果为S144230，i5；i5时，运行结果为S305255，i6，退出循环，所以输出的S的值为55.6. 36【解析】 设公差为d，因为a52，a1111，所以6da11a59，所以aa(a8a2)(a8a2)2a56d 36.7. 【解析】 要使函数f(x)有意义，则01ln x1xe，所以函数f(x)的定义域为.8. 【解析】 |a2b|.9.
10、【解析】 因为PF1，PF2是一元二次方程t25t50的两根，所以|PF1PF2|.因为点P在双曲线1(0m2)上，所以|PF1PF2|2m，所以2m，即m.10. 【解析】 函数f(x)的图象为圆x2y21在x轴上方的部分(包含x轴上的点)，表示点P到点M(0，2)的距离与点P到点N(1，0)的距离之和，即PMPNMN.11. 4，5【解析】 (sin2cos2)5529，当且仅当，即cos2，sin2时取等号，所以|2x1|9，解得4x5.12.【解析】 由题意知，圆锥母线长为R，设圆锥底面的半径为r，高为h，则r2h2R2，且2rRS，R.圆锥筒的体积V，令r2t，uS2r22r6S2t
11、2t3，令uS232t20，得t，当0t0，当t时，u0，所以当且仅当t，即r2时，u取得最大值，即这个圆锥筒的体积最大，此时扇形的半径R.13. 【解析】 函数yf(|x|)m有4个不同的零点等价于yf(|x|)的图象与直线ym的图象有4个不同的公共点因为f(|x|)为偶函数，且当x0时，f(x)所以可以作出函数yf(x)的图象如图所示，由图可知若函数yf(|x|)m有4个不同的零点时，则实数m的取值范围是m|0m1或mAB，所以BC，所以0BAD，所以090，所以sin sin (90C)cos C，sin sin (90B)cos B.因为D为BC边上的一点，且AD平分ABC的面积，即S
12、ABDSACD，所以cAD sin bAD sin ，所以c sin b sin ，所以c cos Cb cos B.在ABC中，由正弦定理得sin C cos Csin B cos B，所以sin 2Csin 2B.因为90B，所以B9090.因为CB，所以CC，所以2C2B1800，所以BC90，所以BAC的取值范围是90，180).15. 【解答】 (1) 因为向量a(sin x，cos x)，b(1，)，a，b所成的角为，所以absin xcos xcos ，(2分)所以2sin 1，所以sin .(4分)因为x，所以x，所以x或x，(6分)所以x或x.(7分)(2) f(x)(ac)
13、(a2c)a2ac2c2(sin x)2(cos x)2(sin xcos x)2()2(1)27(sin xcos x)72sin ，(9分)因为x，所以x，(11分)所以1sin 1，(13分)所以f(x)的值域为9，5.(14分)16. 【解答】(1) 如图，连接AC，设ACBDG，连接FG.由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点又因为F是CE的中点，所以在ACE中，FGAE.因为AE平面BDF，FG平面BDF，所以AE平面BDF.(7分)(第16题)(2) 因为AEB90，所以AEBE.又因为直线BC平面ABE，AE平面ABE，所以AEBC.又BCBEB，BC，BE平面BCE，
14、所以直线AE平面BCE.由(1) 知，FGAE，所以直线FG平面BCE.因为直线FG平面BDF，所以平面BDF平面BCE.(14分)17. 【解答】 (1) 如图(1)，连接PA，PD，则EPA，D1PD.(第17题(1)因为，所以tan tan ，(2分)所以，所以，所以PDPA，(3分)令1，则PDPA.(4分)如图(2)，建立平面直角坐标系，(第17题(2)则A(0，0)，D(0，2)，设P(x，y)，则，(5分)化简得x2，所以P点的轨迹，即曲线l是在正方形ABCD内的一段圆弧(7分)(2) 由(1)知当E为柱AA1的中点时，t1，所以2，(1)中圆的方程为x2，(8分)因为，所以ta
15、n tan ，所以，所以，所以PD0)，则bk，代入9，得k1，所以a3，b，所以椭圆C的标准方程为1.(4分)(2) 设直线A1P的斜率是k，则k1，(6分)设P，Q的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则直线A1P的方程是yk(x3)，由消去y，得(9k25)x254k2x9(9k25)0，(8分)解得(10分)同理，得(12分)所以kPQ(k)，(15分)因为g(k)k在1，上单调递增，所以kPQ.(16分)19. 【解答】 (1) 因为f(0)ae0a0，g(0)0，所以f(x)aexa，g(x)axx2的图象存在一个公共的定点O(0，0).(2分)因为f(x)aex，g(x)a
16、2x，所以f(0)a，g(0)a，所以在定点O(0，0)处有一条公切线，为直线yax.(4分)(2) 假设存在实数k，使得ln x1对任意的x恒成立，即存在实数k，使得k0在x(，)上恒成立，所以yxex1在x上单调递增(10分)因为e10，所以存在唯一实数x0，使得x0ex010，即m(x0)0，且x0ex0，所以h(x)在x0处取得最小值h(x0)ex0ln x02ex0ln ex02ex0x02e20，(12分)所以h(x)在x上单调递增，所以h(x)h.(14分)因为k对任意的x恒成立(16分)20. 【解答】 (1) 设正项等比数列bn的公比为q，则bn1bnqbn0，所以正项等比数
17、列bn为“凹数列”(2分)设cndnen，其中dn，en分别为两个正项等比数列，公比分别为q1，q2，且q1q2，显然cn0(nN*)，cn1(dn1en1)(en1)dnen0，所以正项数列cn为“凹数列”(4分)下面证明：正项数列cn不是等比数列若cn是等比数列，则(dn1en1)2(dnen)(dn2en2)(nN*)，所以de2dn1en1dndn2enen2dnen2dn2en(nN*)，因为数列dn，en分别为两个正项等比数列，所以ddndn2，eenen2，所以2dn1en1dnen2dn2en，所以2dnenq1q2dnenqdnenq，因为dnen0，所以2q1q2qq，所以
18、(q2q1)20，所以q2q1，与q1q2矛盾，所以数列cn不是等比数列(6分)(2) 若存在一个常数kN*，使得a1a2a3ak，但akak1，(7分)将an1(nN*)中的n换成k，得ak1，进一步得ak1akak2ak1.由不等式的传递性得，ak1ak2，(8分)同理可得，ak2ak3ak4an，所以akak1ak2ak3ak4annak.(10分)因为正常数k是固定的，且ak0，所以当n足够大时，必有a1a2an1(nk)，与题设a1a2an1矛盾，所以an不可能从某一项开始递增，所以anan10(nN*).(12分)令bkakak1(kN*)，akbkak1(kN*)，由ak1aka
19、k2ak1，得bkbk1，bk0(kN*)，所以1a1a2a3an(b1a2)a2a3anb12a2a3anb12(b2a3)a3anb12b23a3anb12b2(n1)bn1nanb12b2(n1)bn1n(bnan1)b12b2(n1)bn1nbnnan1b12b2(n1)bn1nbnbn2bn(n1)bnnbn12(n1)nbnbn，所以bn对一切nN*成立综上，对一切nN*，0anan1成立(16分)2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学(附加题)参考答案及评分标准21. A. 【解答】 因为T变换将曲线C1：y21变换为单位圆x2y21，所以所以T变换对应的
20、矩阵为M.(3分)因为S变换将曲线C2：1变换为等轴双曲线x2y21，所以所以T变换对应的矩阵为N，(6分)所以变换ST对应的矩阵为NM.(10分)B. 【解答】 以极点为坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系，将直线化为普通方程得cos cos sin sin ，即xy20，(3分)将圆O：8sin 化为普通方程得x2y28y0，即x2(y4)216.(6分)因为圆心O(0，4)到直线xy20的距离为d，所以AB222，(9分)所以OAB的面积为ABd22.(10分)C. 【解答】 因为实数x，y，z 为正实数，所以33，(3分)33，(6分)所以33，(9分)因为中的等号不同时成立，所以
21、.(10分)22. 【解答】 (1) 设P，Q(st)，因为P与Q的纵坐标之和为4，所以st4.又直线PQ的倾斜角不等于，所以直线PQ的斜率为1，(3分)所以直线PQ的倾斜角为.(4分)(2) 设M(x1，y1)(y10，4)，则A(x1，x1)，因为2，所以点A是BM的中点，即B(x1，2x1y1)，所以直线OB：yx.因为x1，所以直线OB：yx.(6分)设N(x2，y2)，由可得y，所以y2，(8分)所以kMN，所以直线MN：y(xx1)y1y1x2，所以直线MN恒过定点(0，2).(10分)23. 【解答】 (1) 因为fn(a，b)，所以f1(a，b)，(1分)因为f2(a，b)220，所以f2(a，b)2，(2分)因为f3(a，b)33，ab0，所以f3(a，b)30，即f3(a，b)3.(3分)(2) 当ab时，fn(a，b)ann，所以fn(a，b)n成立(4分)当ab时，由等比数列的求和公式得，fn(a，b)，因为an1n1Cn1ii，bn1n1(1)iCn1ii，(5分)fn(a，b)CnCn23Cn45CnCn22Cn44CnCn22Cn44(*)，(7分)因为ab0，所以(*)n，当且仅当n1或ab0时取等号(9分)综上，a，bR，a0，ab0，nN*，fn(a，b)n成立，当且仅当n1或ab或ab0时取等号(10分)
