1、过关综合测评第二章测评(一)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021广东湛江模拟)已知直线l的倾斜角满足方程sin1+cos=2,则直线l的斜率为()A.-43B.43C.34D.-34答案A解析因为sin1+cos=2,所以2sin2cos21+2cos22-1=tan2=2.所以tan=2tan21-tan22=-43,即直线l的斜率为-43.2.若直线l1:3x-4y-1=0与l2:3x-ay+2=0(aR)平行,则l1与l2间的距离是()A.15B.25C.35D.45答案C解析
2、两条直线l1:3x-4y-1=0与l2:3x-ay+2=0平行,则-3a+12=0,解得a=4.所以直线l2:3x-4y+2=0,所以两直线间的距离d=35.3.(2020北京大兴高二期中)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案D解析设圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=m(m0),且圆过原点,即(0-1)2+(0-1)2=m(m0),得m=2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选D.4.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y
3、=0垂直的直线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0答案C解析圆x2+2x+y2=0的圆心C为(-1,0),而直线与x+y=0垂直,所以待求直线的斜率为1.设待求直线的方程为y=x+b,将点C的坐标代入可得b=1,则直线的方程为x-y+1=0.故选C.5.(2020福建莆田一中检测)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案A解析设所求直线方程为2x+y+b=0,则|b|
4、5=5,解得b=5,所以所求直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.故选A.6.若圆心在直线3x-y=0上且与x轴相切的圆,被直线x-y=0截得的弦长为27,则圆心到直线y=x的距离为()A.4B.22C.2D.2答案C解析设圆心坐标为(a,3a),则r=|3a|,圆心到直线x-y=0的距离d=|a-3a|2=2|a|,则有(2|a|)2+(7)2=|3a|2,解得|a|=1,所以圆心到直线y=x的距离为2.7.(2021四川广元模拟)已知过点(0,2)的直线l与圆心为C的圆(x-2)2+(y-1)2=10相交于A,B两点,当ABC面积最大时,直线l的方程为()A.2x-y+2=0B.2
5、x-y+2=0或2x+y-2=0C.x=0D.x=0或2x+y-2=0答案A解析当ABC的面积最大时,CACB.圆C:(x-2)2+(y-1)2=10的半径为10,圆心C到AB的距离d=5.当直线斜率不存在时,不合题意;故直线斜率存在,设直线方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.C(2,1)到直线kx-y+2=0的距离d=|2k-1+2|k2+1=5,解得k=2.当ABC的面积最大时,直线l的方程为2x-y+2=0.8.(2021广西桂林一模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0,若直线y=2x+1上存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直,则点P的横坐标为()A
6、.35B.153C.155D.53答案C解析由x2+y2-4x=0,得(x-2)2+y2=4.则圆心C(2,0),半径r=2.过点P所作的圆的两条切线相互垂直,P,C及两切点构成正方形,得|PC|=22.P在直线y=2x+1上,设P(a,2a+1),得(a-2)2+(2a+1)2=8,解得a=155.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知直线l1:3x+y-3=0,直线l2:6x+my+1=0,则下列表述正确的有()A.直线l2的斜率为-6mB.若直线l1垂直于直线l2,则实数m=-
7、18C.直线l1倾斜角的正切值为3D.若直线l1平行于直线l2,则实数m=2答案BD解析当m=0时,直线l2的斜率不存在,故A错误;直线l1垂直于直线l2,则有36+1m=0,解得m=-18,故B正确;直线l1的斜率为-3,故倾斜角的正切值为-3,故C错误;当直线l1平行于直线l2,则3m-6=0,11+3m0,解得m=2,故D正确.10.(2021福建漳州检测)已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可以为()A.(2,0)B.(6,4)C.(4,6)D.(0,2)答案AC解析设B(x,y),等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),点A的坐
8、标为(0,4),y-3x-34-30-3=-1,(x-3)2+(y-3)2=(0-3)2+(4-3)2,解得x=2,y=0或x=4,y=6,点B的坐标为(2,0)或(4,6).11.(2020江苏如皋中学高二期中)下列说法正确的是()A.若两条直线互相平行,则它们的斜率相等B.方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面内的任何直线C.圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(1,-2),半径为5D.若直线(2t-3)x+2y+t=0不经过第二象限,则t的取值范围是0,32答案BD解析对于A,若两条直线均平行于y轴,则两条直线斜率都不存在,故A错误.对于B,若直线不平行于坐
9、标轴,则原方程可化为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,为直线两点式方程;当直线平行于x轴,则原方程可化为y=y1;当直线平行于y轴,则原方程可化为x=x1.综上所述,方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面内的任何直线,故B正确.对于C,圆的方程可整理为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心为(-1,2),故C错误.对于D,若直线不经过第二象限,则-2t-320,-t20,解得0t32,故D正确.12.(2020山东枣庄检测)已知P,Q分别为圆M:(x-6)2+(y-3)2=4与圆N:(x+4)2+(y-2)2=1上的动点,A为x轴上的动点,则|AP|+|AQ
10、|的值可能是()A.7B.8C.9D.10答案CD解析圆N:(x+4)2+(y-2)2=1关于x轴对称的圆为圆N:(x+4)2+(y+2)2=1,则|AP|+|AQ|的最小值为|MN|-1-2=102+52-3=55-38.2,最大值为|MN|+1+2=55+314.2.故选CD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021天津河西一模)已知圆C的圆心坐标是(0,m),若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则圆C的标准方程为.答案x2+(y+2)2=5解析如图,由圆心与切点的连线与切线垂直,得m+12=-12,解得m=-2.圆心为(0,-2),则半径r=(-
11、2-0)2+(-1+2)2=5.圆C的标准方程为x2+(y+2)2=5.14.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线也称为欧拉线.已知ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标为.答案(-4,0)解析设C(m,n),由重心坐标公式可得,ABC的重心为2+m3,4+n3,代入欧拉线方程可得,2+m3-4+n3+2=0,整理可得m-n+4=0.又AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为4-00-2=-2,所以AB的中垂线方程为y-2=12(x-1),即x-2y+3=0,联立方程x-2y+3=0,x-y+2=0
12、,解得x=-1,y=1,所以ABC的外心为(-1,1).则有(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,整理可得m2+n2+2m-2n=8.由可得,m=-4,n=0或m=0,n=4,当m=0,n=4时,点B,C重合,舍去,故顶点C的坐标是(-4,0).15.已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为.答案5解析因为圆心(0,0)到直线x-3y+8=0的距离d=81+3=4,由|AB|=2r2-d2可得6=2r2-42,解得r=5.16.已知mR,动直线l1:x+my-2=0过定点A,动直线l2:mx-y-2m+3=0过定点B,若l1与l2
13、交于点P(异于点A,B),则|PA|+|PB|的最大值为.答案32解析l1:x+my-2=0可变形为(x-2)+my=0,令y=0,则x=2,故动直线l1:x+my-2=0过定点A(2,0).l2:mx-y-2m+3=0可变形为m(x-2)-(y-3)=0,令x=2,则y=3,故动直线l2:mx-y-2m+3=0过定点B(2,3).又1m+m(-1)=0,所以直线l1与直线l2垂直,则有PAPB,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=9,所以|PA|+|PB|22|PA|2+|PB|22=92,即|PA|+|PB|32,当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立.所以|PA|+|PB|的最大值为3
14、2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l经过两条直线l1:3x+4y-2=0与l2:2x+y+2=0的交点P.(1)求垂直于直线l3:x-2y-1=0的直线l的方程;(2)求与坐标轴相交于两点,且以P为中点的直线方程.解(1)由3x+4y-2=0,2x+y+2=0,得x=-2,y=2,故P(-2,2).l垂直于l3:x-2y-1=0,l的斜率为-2,l的方程为y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0.(2)设过点P(-2,2)的直线l与x轴交于点A(a,0),与y轴交于点B(0,b),由题意可知,P为A,B中点,则有a+02=
15、-2,b+02=2,解得a=-4,b=4,则A(-4,0),B(0,4),故l的斜率为k=4-00-(-4)=1,则所求直线的方程为y-2=x+2,即x-y+4=0.18.(12分)如图,在等腰梯形ABCD中,ABCD,边AB所在直线方程为2x-y-2=0,点C(2,0),BC=1,B为第一象限内的点.(1)求点B的坐标;(2)求AB边上的高CE所在直线的方程;(3)求直线AB与直线CD之间的距离.解(1)设B(a,2a-2),C(2,0),BC=1,(a-2)2+(2a-2)2=1,解得a=1或a=75.B为第一象限点,2a-20,即a1.a=75,则B75,45.(2)边AB所在直线方程为
16、2x-y-2=0,kCE=-1kAB=-12.又CE经过点C(2,0),AB边上的高CE所在直线的方程为y=-12(x-2),即x+2y-2=0.(3)ABCD,kCD=kAB=2.点C(2,0),直线CD的方程为y=2(x-2),即2x-y-4=0.又AB所在直线方程为2x-y-2=0,则直线AB与直线CD之间的距离d=|-4-(-2)|5=255.19.(12分)(2020陕西咸阳期末)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形OABC的长为3,宽为2,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,O为坐标原点.(1)求OB所在直线的方程.(2)线段AB上是否存在一点P,使得CPOP?若存在,求出线
17、段AP的长度;若不存在,请说明理由.解(1)由题意可知O(0,0),B(2,3),C(0,3),所以OB所在直线的斜率为3-02-0=32,所以OB所在直线的方程为y-0=32(x-0),即3x-2y=0.(2)不存在点P,使得CPOP,理由如下:假设线段AB上存在点P(2,a)(0a3),使得CPOP,显然直线CP与直线OP都存在斜率,分别记作kCP,kOP,所以kCPkOP=-1,所以kCP=a-32-0=a-32,kOP=a-02-0=a2,所以a-32a2=-1,即a2-3a+4=0,则=(-3)2-440,故方程无解,所以线段AB上不存在点P,使得CPOP.20.(12分)(2020
18、山西太原期中)已知圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0,圆N:x2+y2+2x+2y-8=0,且圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上.(1)求圆M的方程;(2)证明圆M和圆N相交,并求两圆公共弦的长度l.(1)解圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0的圆心M(a,-5a),因为圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上,所以直线x+y+4=0经过点M,可得a-5a+4=0,解得a=1,则圆M的方程为x2+y2-2x+10y-24=0.(2)证明因为圆M的圆心M(1,-5),半径r1=52,圆N的圆心N(-1,-1),半径r2=10,|MN|=(1+1
19、)2+(-5+1)2=25.因为52-10251,两条切线分别交y轴于点A,B,记四边形PMON面积为S1,三角形PAB面积为S2,求S1S2的最小值.解(1)当切线斜率不存在时,有切线x=1,即x-1=0;当切线斜率存在时,设切线:y-4=k(x-1),即kx-y-k+4=0,可得|4-k|k2+1=1,解得k=158,故切线方程为15x-8y+17=0.综上,切线方程为x-1=0,15x-8y+17=0.(2)是.M,N在以点P为圆心,切线长PM为半径的圆上,即在圆P:(x-t)2+(y-4)2=t2+15上.联立(x-t)2+(y-4)2=t2+15,x2+y2=1,得tx+4y-1=0
20、,所以直线MN:tx+4y-1=0过定点0,14.(3)S1=2SPMO=212|PM|OM|=t2+15.设直线PM:y-4=k1(x-t),直线PN:y-4=k2(x-t).得A(0,4-k1t),B(0,4-k2t),|AB|=|k1-k2|t,S2=12|AB|t=12|k1-k2|t2.切线统一记为y-4=k(x-t),即kx-y-kt+4=0,可得|4-kt|k2+1=1,即(t2-1)k2-8tk+15=0,则方程的两根为k1,k2,所以|k1-k2|=(k1+k2)2-4k1k2=2t2+15t2-1.所以S2=t2+15t2t2-1,则S1S2=t2(t2+15)t2-1(t1),记m=t2-1,则S1S2=(m+1)(m+16)m=m+16m+172m16m+17=25,当且仅当m=4,即t=5时,等号成立.故(S1S2)min=25.
