1、2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1“p且q”为真是“p或q”为真的条件（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也必要条件”）2命题“xR，lgx=x2”的否定是3已知，则的最小值4若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为5双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2，则=6抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则焦点坐标是7已知=（2，1，2），=（1，3，3），=（13，6，），若向量，共面，则=8下列命题：xR，x2+10；xN，x21；xZ，x31；
2、xQ，x2=3； xR，x23x+2=0xR，x2+1=0其中所有真命题的序号是9椭圆=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是10在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=2，DD1=6，则AC与BD1所成角的余弦值为11已知点P是椭圆（ab0，xy0）上的动点，F1（c，0）、F2（c，0）为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1MMP，则|OM|的取值范围是12下列说法：函数f（x）=lnx+3x6的零点只有1个且属于区间（1，2）；若关于x的不等式ax2+2ax+10恒成立，则a（0，1）；函数y=x的图象与函数
3、y=sinx的图象有3个不同的交点；已知函数f（x）=log2为奇函数，则实数a的值为1正确的有（请将你认为正确的说法的序号都写上）13已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1k2的值为14直线3x4y+2=0与抛物线x2=2y和圆x2+（y）2=从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知命题p：实数m满足m27am+12a20（a0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的
4、充分不必要条件，求a的取值范围16在直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率kAC，kBC满足条件（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知，问：曲线C上是否存在点P满足？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由17已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，命题q：关于x的不等式x22（m+1）x+m（m+1）0对任意的实数x恒成立，若“pq”为真，“pq”为假，求实数m的取值范围18已知椭圆C：x2+2y2=4（）求椭圆C的离心率；（）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值19在四棱锥PA
5、BCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，CDA=120，点N在线段PB上，且PN=（）求证：BDPC；（）求证：MN平面PDC；（）求二面角APCB的余弦值20已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MDCD，连接CM，交椭圆于点P证明：为定值（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2015-2016学年
6、江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件条件（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】应用题【分析】由“p且q”为真可知命题P，q都为真命题；由“p或q”为真可知命题p，q至少一个为真命题，从而可判断【解答】解：由“p且q”为真可知命题P，q都为真命题由“p或q”为真可知命题p，q至少一个为真命题当“p且q”为真时“p或q”一定为真，但“p或q”为真
7、是“p且q”不一定为真故“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件故答案为充分不必要条件【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是由复合命题的真假判断命题p，q的真假2命题“xR，lgx=x2”的否定是xR，lgxx2【考点】命题的否定【专题】计算题；规律型；对应思想；简易逻辑【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“xR，lgx=x2”的否定是：xR，lgxx2故答案为：xR，lgxx2【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，考查计算能力3已知，则的最小值【考点】空间向量的加减法；空间两点间的距
8、离公式【专题】计算题【分析】先利用向量减法及向量模的公式求得，进而利用二次函数的性质求得其最小值【解答】解： =，当t=1时，|AB|有最小值，故答案为：【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用和二次函数的基本性质注重了基础知识和基本能力“双基”的考查4若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为（1，1）【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知条件利用椭圆定义得，由此能求出k的取值范围【解答】解：椭圆表示焦点在x轴上的椭圆，解得1k1k的取值范围为（1，1），故答案为：（1，1）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意
9、椭圆性质的合理运用5双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2，则=1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的方程求出离心率，然后化简，求解即可【解答】解：由题意知：e1=，e2=，=+=1，故答案为：1【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力6抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则焦点坐标是（0，1）【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】将抛物线化成标准方程，再根据准线方程为y=1即可得到它的焦点坐标【解答】解：将抛物线化成标准方程得x2=y，可得它
10、的顶点在原点抛物线的准线方程为y=1，抛物线的开口向下，它的焦点为F（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题给出抛物线的方程，在已知它的准线的情况下求它的焦点坐标考查了抛物线的标准方程及其基本概念的知识，属于基础题7已知=（2，1，2），=（1，3，3），=（13，6，），若向量，共面，则=3【考点】共线向量与共面向量【专题】平面向量及应用【分析】由于向量，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一对实数m，n使得，解出即可【解答】解：向量，共面，存在唯一一对实数m，n使得，解得故答案为：3【点评】本题考查了向量共面定理，属于基础题8下列命题：xR，x2+10；xN，x21；xZ，x31；xQ，
11、x2=3； xR，x23x+2=0xR，x2+1=0其中所有真命题的序号是【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】由xR，x2+110，即可得出；当x=0时，x2=0，即可判断出；例如x=0Z，满足x31，即可判断出；由x2=3，解得x=，为无理数，即可判断出； 举反例如x=0时，x23x+2=0不成立；由x2+1=0在R范围内无实数根，即可判断出【解答】解：xR，x2+110，因此正确；xN，x20，因此不正确；xZ，例如x=0，满足x31，故正确；由x2=3，解得x=，为无理数，因此不存在xQ，满足x2=3，因此不正确； xR，x23x+2=0，不正确，例如x=0时，x23x+
12、2=0不成立；x2+1=0在R范围内无实数根，不存在实数x满足x2+1=0，因此不正确综上可知：只有正确故答案为：【点评】本题综合考查了简易逻辑的有关知识、一元二次方程的解与实数及判别式的关系，属于基础题9椭圆=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是（3，0）或（3，0）【考点】椭圆的标准方程【专题】计算题；压轴题【分析】根据|PF1|PF2|，当|PF1|=|PF2|时m最大，进而求出点p的坐标【解答】解：记椭圆的二焦点为F1，F2，有|PF1|+|PF2|=2a=10则知m=|PF1|PF2|=25当且仅当|PF1|=|PF2|=5，即点P位于椭圆的短轴的顶点
13、处时，m取得最大值25点p的坐标为（3，0）或（3，0）故答案为：（3，0）或（3，0）【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程的性质灵活运用椭圆的第一定义是解这道题的关键10在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=2，DD1=6，则AC与BD1所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系AB=4，BC=2，DD1=6，A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），D1（0，0，6）=（2，4，0），=（2，4，6）=AC与BD1所成角的余弦值为故答案为：【点评】本题
14、考查了通过建立空间直角坐标系利用向量的夹角公式求异面直线的夹角，属于基础题11已知点P是椭圆（ab0，xy0）上的动点，F1（c，0）、F2（c，0）为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1MMP，则|OM|的取值范围是（0，c）【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】如图所示M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1MMP，可得点M是底边F1N的中点又点O是线段F1F2的中点，|OM|=|PF1|=|PN|，可得F2NMF2F1N，可得|F1F2|F2N|，即可得出【解答】解：如图所示M是F1PF2的角平分线上的
15、一点，且F1MMP，点M是底边F1N的中点，又点O是线段F1F2的中点，|OM|=，|PF1|=|PN|，F2NMF2F1N，|F1F2|F2N|，0|OM|=c则|OM|的取值范围是（0，c）故答案为：（0，c）【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12下列说法：函数f（x）=lnx+3x6的零点只有1个且属于区间（1，2）；若关于x的不等式ax2+2ax+10恒成立，则a（0，1）；函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；已知函数f（x）=log2为奇函数，则实数a的值为1正确
16、的有（请将你认为正确的说法的序号都写上）【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用；简易逻辑【分析】对于：结合函数的单调性，利用零点存在性定理判断；对于：分a=0和a0进行讨论，a0时结合二次函数的图象求解；对于：结合图象及导数进行判断；对于：利用奇函数定义式，f（x）+f（x）=0恒成立求a，注意定义域【解答】解：对于：函数f（x）=lnx+3x6m，n在（0，+）上是增函数，且f（1）=ln1+316=30，f（2）=ln2+326=ln20所以正确；对于：当a=0时原不等式变形为10，恒成立；当a0时，要使关于x的不等式ax2+2ax+10恒成立，则a0且=（2a）24a100
17、a1，综上可得a的范围是0，1），故不正确；对于：令函数y=xsinx，则y=1cosx，所以该函数在0，+）上是增函数，且x=0时最小，且该函数是奇函数，所以函数y=xsinx只有x=0一个零点，即函数y=x的图象与函数y=sinx的图象只有一个交点，故不正确；由奇函数得：，a2=1，因为a1，所以a=1故正确故答案为：【点评】该题目考查了函数的奇偶性的定义、零点定理、等基础知识，在应用过程中要注意准确把握定理应用的要素与条件，切不可想当然13已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1k2的值为【考点】椭圆的简
18、单性质；直线的斜率【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】椭圆的离心率是，则椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（x0，kx0）代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出【解答】解：椭圆的离心率是，于是椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（x0，kx0）则m2+2n2=2b2，=k1k2=故答案为：【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题14直线3x4y+2=0与抛物线x2=2y和圆x2+（y）2=从
19、左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆的位置关系【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知可得抛物线的焦点为圆心，直线过抛物线的焦点，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线方程联立，即可求出的值【解答】解：由已知圆的方程为x2+（y）2=，抛物线x2=2y的焦点为（0，），准线方程为y=，直线3x4y+2=0过（0，）点，由，有8y217y+4=0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则y1=，y2=2，所以AB=y1=，CD=y2=2，故=故答案为：【点评】本题考查圆锥曲线和直线的综合运用，考查抛物线的定义，解题时要注意合理地进行等价转化
20、二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知命题p：实数m满足m27am+12a20（a0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围【考点】充要条件【专题】计算题【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据非q是非p的充分不必要条件列出关于m的不等式组，解不等式组即可【解答】解：由m27am+12a20（a0），则3am4a即命题p：3am4a由表示焦点在y轴上椭圆可得：2mm10，即命题由非q为非p充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件从而有：【点评】本题考查充分条件
21、、必要条件，一元二次不等式的解法，椭圆的定义等相关知识，要求对基础知识有比较好的把握属简单题16在直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率kAC，kBC满足条件（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知，问：曲线C上是否存在点P满足？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题；探究型；函数思想；转化思想；平面向量及应用；向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用已知条件求出直线AC，BC的斜率kAC，kBC，通过求出动点C的轨迹方程（2）利用数量积为0，求出P的方程，然后与椭圆方程
22、联立，求出交点坐标即可【解答】（本小题满分14分）解：（1）（x3），（x3）又，化简整理得（x3）（2）设曲线C上存在点P（x，y）满足联立方程组，解得存在四个点满足条件，它们是：，【点评】本题考查轨迹方程的求法，圆锥曲线之间的关系的综合应用，考查计算能力17已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，命题q：关于x的不等式x22（m+1）x+m（m+1）0对任意的实数x恒成立，若“pq”为真，“pq”为假，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】若命题p正确，则0，解得m范围若命题q正确，则0，解得m范围若“pq”为真，“pq”为假，则p与q必然一真一假，
23、即可得出【解答】解：命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，=m240，解得m2或m2命题q：关于x的不等式x22（m+1）x+m（m+1）0对任意的实数x恒成立，=4（m+1）24m（m+1）0，解得m1若“pq”为真，“pq”为假，则p与q必然一真一假，或，解得m2或2m1实数m的取值范围是m2或2m1【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知椭圆C：x2+2y2=4（）求椭圆C的离心率；（）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最
24、小值【考点】椭圆的简单性质；两点间的距离公式【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；（）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值【解答】解：（）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，a=2，b=，c=，椭圆C的离心率e=；（）设A（t，2），B（x0，y0），x00，则OAOB，=0，tx0+2y0=0，t=，|AB|2=（x0t）2+（y02）2=（x0+）2+（y02）2=x02+y02+4=x02+4=+4（0x024），因为4（0x024），当且仅当，即x02=4时等
25、号成立，所以|AB|28线段AB长度的最小值为2【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题19在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，CDA=120，点N在线段PB上，且PN=（）求证：BDPC；（）求证：MN平面PDC；（）求二面角APCB的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）由正三角形的性质可得BDAC，利用线面垂直的性质可知PABD，再利用线面垂直的判定定理即可证明BDPC；（）利用已知条
26、件分别求出BM、MD、PB，得到，即可得到MNPD，再利用线面平行的判定定理即可证明；（）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的平面角【解答】证明：（I）ABC是正三角形，M是AC中点，BMAC，即BDAC又PA平面ABCD，PABD又PAAC=A，BD平面PACBDPC（）在正ABC中，BM=在ACD中，M为AC中点，DMAC，AD=CDADC=120，在等腰直角PAB中，PA=AB=4，PB=，MNPD又MN平面PDC，PD平面PDC，MN平面PDC（）BAD=BAC+CAD=90，ABAD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，B（
27、4，0，0），C，P（0，0，4）由（）可知，为平面PAC的法向量，设平面PBC的一个法向量为，则，即，令z=3，得x=3，则平面PBC的一个法向量为，设二面角APCB的大小为，则所以二面角APCB余弦值为【点评】熟练掌握正三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例在三角形中的逆定理应用、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的平面角是解题的关键20已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MDCD，连接CM，交椭圆于点P证明：为定
28、值（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；压轴题【分析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为（2）设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQDP，再由，由此可知存在Q（0，0）满足条件【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，b2=2；椭圆方程为（2）C（2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得x1=，（定值）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQDP则由，从而得m=0存在Q（0，0）满足条件【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答
