1、第二章 3 从速度的倍数到数乘向量3.2 平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 平面向量基本定理思考1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.思考3若存在
2、1，2R，1，2R，且a1e12e2，a1e12e2，那么1，1，2，2有何关系？答案 由已知得1e12e21e12e2，即(11)e1(22)e2.e1与e2不共线，110，220，11，22.梳理(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的_向量a，存在唯一一对实数1，2，使a.(2)基底平面内的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线任一1e12e2不共线思考辨析 判断正误1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底.()3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.()提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底
3、.提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底.提示 由于0和任意向量共线，故不可作为基向量.答案提示2.零向量可以作为基向量.()题型探究类型一 对基底概念的理解例1如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使得e1e20，则0.A.B.C.D.答案解析反思与感悟考察两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量
4、都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是A.e1e2，e2e1B.2e1e2，e1 e2C.2e23e1，6e14e2D.e1e2，e13e2解析选项A中，两个向量为相反向量，即e1e2(e2e1)，则e1e2，e2e1为共线向量；选项B中，2e1e22(e1 e2)，为共线向量；选项C中，6e14e22(2e23e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.答案解析类型二 平面向量基本定理的应用解四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，解答引申探究解 取CF的中点G，连接EG.
5、E，G分别为BC，CF的中点，解答反思与感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.解答达标检测124531.下列关于基底的说法正确的是平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.A.B.C.D.解析零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确.答案解析2.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：其中可作为该平面内所有
6、向量的基底的是A.B.C.D.12453答案解析124533.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x，y.解析 向量e1，e2不共线，答案解析151212453答案解析解 连接FD，DCAB，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，DC綊FB.四边形DCBF为平行四边形.12453解答规律与方法1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
