1、江苏省南菁高级中学20202021学年度第一学期高二年级强化班第一次阶段性考试(数学学科)2020.10 试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如果1，a，b，c，9成等比数列，那么( B )A. b3，ac9B. b3，ac9 C. b3，ac9 D. b3，ac9解：由等比数列的性质可得ac(1)(9)9，bb9且b与奇数项的符号相同，故b3，选B2已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是( C )A
2、. 2 B. 6 C. 4 D. 12解：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得的周长为4a4，所以选C3设是公差为正数的等差数列，若，则( B )A B C D解：是公差为正数的等差数列，若，则，d3，选B.4在等比数列中，前项和为，若数列也是等比数列，则等于( C )A. B. C. D.解：因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择C.5设、是椭圆：1(ab0)的左、右焦点，为直线x上一点，是底角为30的等腰三角形，则的离心率为( C )A. B. C. D. 解：是底角为的等腰三角形，故选C6已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设(
3、)，则数列的前10项和等于(C)A55 B70C85D100解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设()，则数列的前10项和等于， ，选C.7已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点若，则C的方程为( B )ABCD解：如图所示，设，则，所以.由椭圆定义，即.又，所以.因此点A为椭圆的上顶点，设其坐标为. 由可得点B的坐标为. 因为点B在椭圆上，所以. 解得. 又，所以. 所以椭圆方程为. 故选B.8几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，
4、2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是( A )A440 B330 C220 D110解：对数列进行分组如右图：则该数列前组的项数和为由题意可知，即，解得，即出现在第13组之后又第组的和为前组的和为，设满足条件的的在第(，)组，且第项为第组的第个数，第组的前项和为，要使该数列的前项和为2的整数幂，即与互为相反数，即，所以，由，所以，则，此时，对应满足的最小条件为，故选A二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出
5、的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.9等差数列an的前n项和为Sn，若a10，公差d0，则下列命题正确的是(ABC )A若S5S9，则S140； B若S5S9，则S7是Sn中最大的项；C若S6S7，则S7S8； D若S6S7，则必有S5S6.解：根据题意，依次分析选项：若S5S9，则S9S5a6a7a8a92(a7a8)0，则a7a80，S140，A正确；若S5S9，则S9S5a6a7a8a92(a7a8)0，又由a10，则必有S7是Sn中最大的项，B正确；若S6S7，则a7S7S60，又由a10，必有d0，则a8S8S70，必有S7S
6、8，C正确；若S6S7，则a7S7S60，而a6的符号无法确定，故S5S6不一定正确，D错误； 故选：ABC10设椭圆的左右焦点为，是上的动点，则下列结论正确的是 BDA离心率 B的最小值为0 C面积的最大值为D以线段为直径的圆与直线相切解：由椭圆可知，所以左、右焦点为，离心率，故A错误； ，故B正确；面积的最大值为2b1，故C错误；由原点到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，故正确； 故选：BD11已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是 ACA数列是等比数列 B若，则C若，则数列是递增数列 D若数列的前和，则解：由数列是等比数列，知：在中，是常数，数列是等比数列，故正确；在中，若，
7、则，故错误；在中，若，则，数列是递增数列，故正确；在中，若数列的前和，则，成等比数列，解得，故错误 故选：12意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，记Sn为数列an的前n项和，则下列结论正确的是(ACD )AS733 BSn+2Sn+1Sn Ca1a3a5a2019a2020 D解：a68，a713，s71123581333成立；故选项A正确；由an+2an+1an，两边累加：a3a4an+2(a2a3an+1)(a1a2an)即Sn+22(Sn+
8、11)Sn，Sn+2Sn+1Sn1，故选项B错误；由a1a2，a3a4a2，a5a6a4，a2019a2020a2018，可得：a1a3a5a2019a2020选项C正确；斐波那契数列总有an2an1an，则，；，即答案D 成立， 故选：ACD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13已知椭圆的一个焦点为F(2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 解：已知为所求.14若关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，则_ 15设数列的前项和为，已知，则_240解：由，当n为奇数时，有；当n为偶数时，有；16已知数列an通项公式为annp，数列bn通项公式为bn2
9、n5. 设cn，若在数列cn中，c8cn (nN*，n8)，则实数p的取值范围是 . 12p17解：结合图像分析，当a8b8时，有c8a8且a8b7，得12p16； 当a8b8时，有c8b8且c8a9，得16p17，综上可得：12p17.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(本小题10分)已知点P是椭圆y21上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点(1) 当F1PF260时，求F1PF2的面积；(2) 当F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围解：(1) 由椭圆的定义，得|PF1|PF2|4， 且F1(，0)，F2(，0)在F1PF2中，由余
10、弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60. 由得 |PF1|PF2|. 所以|PF1|PF2|sinF1PF2. 5分(2) 设点P(x，y)，由已知F1PF2为钝角，得0，即(x，y)(x，y)0，又y21，所以x22，解得x，所以点P横坐标的取值范围是x. 10分18(本小题10分)已知等差数列的公差不为零，且，成等比数列(1) 求的通项公式； (2) 求解：(1) 设的公差为，由题意，即于是，所以(舍去)，故 5分(2)令由(1)知，所以是首项为25，公差为的等差数列，从而 10分19. (本小题12分)已知数列an满足：(1) 求的值； (2) 求
11、数列an的通项公式；(3) 令()，如果对任意，都有，求实数的取值范围.解：(1) 2分(2) 由题可知： 可得，即，又所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 6分(3) 由(2)可得， 7分由可得，由可得 所以，故有最大值 9分所以对任意，有，由题意恒成立，则，10分故有：， 解得或，所以实数的取值范围是 12分20. (本小题12分)已知等比数列的公比，前项和为成等差数列，数列的前项和为 ，其中.(1) 求数列的通项公式； (2) 求数列的通项公式；(3) 设，求集合中所有元素之和.21. (本小题12分)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的
12、斜率为，O为坐标原点 (1) 求椭圆E的方程；(2) 设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，则OPQ的面积最大时，求l的方程解：(1) 设F(c，0)，由条件知，得c. 2分又，所以a2，b2a2c21. 故E的方程为y21. 4分(2) 当lx轴时不合题意，故可设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120， 5分当16(4k23)0，即k2时， x1，2， 6分从而|PQ|x1x2|. 7分又点O到直线l的距离d. 所以OPQ的面积SOPQd|PQ|. 9分设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，满足0，所
13、以，当OPQ的面积最大时，k，l的方程为yx2或yx2. 12分22(本小题14分)设数列an是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，. 数列bn满足，数列cn满足cn，Tn为数列cn的前n项和(1) 求数列an的通项公式； (2) 求证：数列bn是等差数列； (3) 是否存在正整数m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由解：(1) 数列是各项均为正数的等比数列，又， 4分(2) ，即，当时，（*）则（*）式两边同乘以2，得，得，即，又当时，即，适合，.9分(3)cn()，Tn(1) 11分T1，Tm，Tn，若T1，Tm，Tn成等比数列，则()2，即2m24m10 1m1 13分又mN*，且m1，所以m2，此时n12 14分
