1、第4讲 全等三角形常见辅助线专题探究类型一 倍长中线构全等【知识点睛】v 倍长中线辅助线方法规律总结基本图形辅助线条件与结论应用环境延长AD到点E，使DE=AD，连接CE条件：ABC，AD=BD结论：ABDCED(SAS)倍长中线常和三边关系结合，考察中线长的取值范围 倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题v 倍长中线模型的变形“倍长中线类”模型：基本图形辅助线条件与结论应用环境延长AD交直线l2于点E，条件：l1l2，CD=BD结论：ABDECD(AAS)与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定【类题训练】1如图，ABC中，AB6，AC4，D是BC的中点，AD的取值
2、范围为 【分析】延长AD到E，使DEAD，连接BE，证明BDECDA，得出ACBE，再根据三角形的三边关系得到结论【解答】解：延长AD到E，使DEAD，连接BE，在ACD与EBD中，BDECDA（SAS），BEAC，AB6，AC4，2AE10，1AD5故答案为：1AD52如图，点D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EFDE，连接FC若FCAB，AB5，CF3，则BD的长等于（）A1B2C3D5【分析】由FCAB得，DAEFCE，再利用AAS证明DAEFCE，得ADCF，从而解决问题【解答】解：FCAB，DAEFCE，在DAE与FCE中，DAEFCE（AAS），ADCF
3、，CF3，ADCF3，又AB5，BDABAD532，故选：B3如图，在ACD中，CAD90，AC6，AD10，ABCD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若ABDE，则图中阴影部分的面积为 【分析】证明BAFEDF（AAS），则SBAFSEDF，利用割补法可得阴影部分面积【解答】解：ABCD，BADD，在BAF和EDF中，BAFEDF（AAS），SBAFSEDF，图中阴影部分面积S四边形ACEF+SBAFSACDACAD61030故答案为：304（1）方法呈现：如图：在ABC中，若AB6，AC4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DEA
4、D，再连接BE，可证ACDEBD，从而把AB、AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图，在ABC中，点D是BC的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是BAF的角平分线试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明【分析】（1）由已知得出ABBEAEAB+BE，即64AE6+4，AD为AE的一半，即可得出答
5、案；（2）延长FD至点M，使DMDF，连接BM，EM，可得BMDCFD，得出BMCF，由线段垂直平分线的性质得出EMEF，在BME中，由三角形的三边关系得出BE+BMEM即可得出结论；（3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AFFG，也可证得ABEGCE，从而可得ABCG，即可得到结论【解答】解：（1）1AD5AD是BC边上的中线，BDCD，BDECDA（SAS），BEAC4，在ABE中，ABBEAEAB+BE，64AE6+4，2AE10，1AD5证明：（2）延长FD至点M，使DMDF，连接BM、EM，如图所示同（1）得：BMDCFD（SAS），BMCF，DEDF，DMDF，EME
6、F，在BME中，由三角形的三边关系得：BE+BMEM，BE+CFEF（3）如图，延长AE，DF交于点G，ABCD，BAGG，在ABE和GCE中，CEBE，BAGG，AEBGEC，ABEGEC（AAS），CGAB，AE是BAF的平分线，BAGGAF，FAGG，AFGF，FG+CFCG，AF+CFAB5【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC中，若AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DEAD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADCEDB的理由是ASSSBSASCAASDHL（2）求得A
7、D的取值范围是A6AD8 B6AD8 C1AD7 D1AD7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中【问题解决】（3）如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求证：ACBF【分析】（1）根据ADDE，ADCBDE，BDDC推出ADC和EDB全等即可；（2）根据全等得出BEAC6，AE2AD，由三角形三边关系定理得出862AD8+6，求出即可；（3）延长AD到M，使ADDM，连接BM，根据SAS证ADCMDB，推出BMAC，CADM，根据AEEF，推出CADAFEBFD，求出BF
8、DM，根据等腰三角形的性质求出即可【解答】（1）解：在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），故选B；（2）解：由（1）知：ADCEDB，BEAC6，AE2AD，在ABE中，AB8，由三角形三边关系定理得：862AD8+6，1AD7，故选C（3）证明：延长AD到M，使ADDM，连接BM，AD是ABC中线，CDBD，在ADC和MDB中ADCMDB，BMAC，CADM，AEEF，CADAFE，AFEBFD，BFDCADM，BFBMAC，即ACBF6（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在ABC中，AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得
9、到了如下的解决方法（如图2），延长AD到M，使得DMAD；连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在ABM中；利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为ABBMAMAB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明（3）深入思考：如图3，AD是ABC的中线，ABAE，ACAF，BAECAF90，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明【分析】（1）先判断出BDCD，由“SAS”可证MDBADC，得出BQAC6，最后用三角形
10、三边关系即可得出结论；（2）由（1）知，MDBADC，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论；（3）同（1）的方法得出BDMCDA，则BMAC，进而判断出ABMEAF，进而判断出ABMEAF，得出AMEF，BAMAEF，即可得出结论【解答】解：（1）如图2，延长AD到M，使得DMAD，连接BM，AD是ABC的中线，BDCD，在MDB和ADC中，MDBADC（SAS），BMAC6，在ABM中，ABBMAMAB+BM，86AM8+6，2AM14，1AD7，故答案为：1AD7；（2）ACBM，且ACBM，理由是：由（1）知，MDBADC，MCAD，ACBM，ACBM；（3）EF2AD，理由：
11、如图2，延长AD到M，使得DMAD，连接BM，由（1）知，BDMCDA（SAS），BMAC，ACAF，BMAF，由（2）知：ACBM，BAC+ABM180，BAEFAC90，BAC+EAF180，ABMEAF，在ABM和EAF中，ABMEAF（SAS），AMEF，ADDM，AM2AD，AMEF，EF2AD，即：EF2AD类型二 截长补短造全等【知识点睛】v 截长补短辅助线方法规律总结基本图形辅助线条件与结论应用环境在AC上截取AE=AD，连接PE条件：AP平分BAC，结论：APDAPE(SAS) 截长补短类辅助线经常和角平分线同步考察截长补短类全等的目的通常是为了等价线段总结：因为截长补短常得
12、线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF【类题训练】7如图，在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点（不与A，D重合），则ABACPBPC（填“”、“”或“”）【分析】在AB上截取AE，使AEAC，连接PE，证明AEPACP，得PCPE，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可【解答】解：如图，在AB上截取AE，使AEAC，连接PE，AD是BAC的平分线，BADCAD，在AEP和ACP中，AEPACP（SAS），PEPC，在PBE中，BEPBPE，即ABACPBPC，故答案为：8问题背景：如图，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90
13、E、F分别是BC、CD上的点且EAF60探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系解法探究：小明同学通过思考，得到了如下的解决方法延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，从而可得结论（1）请先写出小明得出的结论，并在小明的解决方法的提示下，写出所得结论的理由解：线段BE、EF、FD之间的数量关系是：理由：延长FD到点G，使DGBE，连接AG（以下过程请同学们完整解答）（2）拓展延伸：如图，在四边形ABCD中，ABAD，若B+D180，E、F分别是BC、CD上的点且EAFBAD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请再把结论写一写；若不成立，请直接写出你为
14、成立的结论【分析】（1）延长FD到点G使DGBE连接AG，即可证明ABEADG，可得AEAG，再证明AEFAGF，可得EFFG，即可解题；（2）延长FD到点G使DGBE连接AG，即可证明ABEADG，可得AEAG，再证明AEFAGF，可得EFFG，即可解题【解答】证明：（1）在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和GAF中，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；故答案为 EFBE+DF（2）结论EFBE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G
15、使DGBE连接AG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和GAF中，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF；9如图，ABC中，ABC60，AD、CE分别平分BAC、ACB，AD、CE相交于点P（1）求APC的度数；（2）若AE3，CD4，求线段AC的长【分析】（1）先由ABC60，得到BAC+BCA120，然后由AD、CE分别平分BAC、ACB得到PAC+PCA的值，进而得到APC的度数；（2）在AC上截取AFAE，连接PF，然后证明AE
16、PAFP，从而得到APEAPF，然后由APC120得到DPC60，从而得到APEAPF60，进而得到FPCDPC60，再结合CE平分ACB、CPCP得到PCFPCD，即可得到CDCF，最后得到ACAE+CD【解答】解：（1）ABC60，BAC+BCA120，AD、CE分别平分BAC、ACB，PAC+PCA（BAC+BCA）60，APC120（2）如图，在AC上截取AFAE，连接PF，AD平分BAC，BADCAD，在APE和APF中，APEAPF（SAS），APEAPF，APC120，APE60，APFCPD60CPF，CE平分ACB，ACPBCP，在CPF和CPD中，CPFCPD（ASA），C
17、FCD，ACAF+CFAE+CD3+4710如图，ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DADE（1）求证：BADEDC：（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明【分析】（1）延长BC至F，使CFCE，连接EF，证得CEF为等边三角形，得出FCEF60，证明ADBDEF（AAS），由全等三角形的性质得出BADEDF；（2）全等三角形的性质得出由ABDF，BDEF，则可得出结论【解答】（1）证明：延长BC至F，使CFCE，连接EF，ABC是等边三角形，ABBC，BACB60，ECFACB60，CFCE，CEF为等
18、边三角形，FCEF60，DADE，DAEDEA，ADBDAE+ACBDAE+60，DEFCEF+DEA60+DEA，ADBDEF，在ADB和DEF中，ADBDEF（AAS），BADEDF，即BADEDC（2）解：ABCD+CE证明：ADBDEF，ABDF，BDEF，DFDC+CFCD+CE，ABCD+CE11如图，BADCAE90，ABAD，AEAC，AFCB，垂足为F（1）求证：ABCADE；（2）求FAE的度数；（3）求证：CD2BF+DE【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出ABCADE的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到FAE的度数；（3）根据题意和三角
19、形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立【解答】证明：（1）BADCAE90，BAC+CAD90，CAD+DAE90，BACDAE，在BAC和DAE中，BACDAE（SAS）；（2）CAE90，ACAE，E45，由（1）知BACDAE，BCAE45，AFBC，CFA90，CAF45，FAEFAC+CAE45+90135；（3）延长BF到G，使得FGFB，AFBG，AFGAFB90，在AFB和AFG中，AFBAFG（SAS），ABAG，ABFG，BACDAE，ABAD，CBAEDA，CBED，AGAD，ABFCDA，GCDA，GCADCA45，在CGA和CDA中，CGACDA（AAS），C
20、GCD，CGCB+BF+FGCB+2BFDE+2BF，CD2BF+DE类型三 整体旋转共线再全等【知识点睛】v 整体旋转三角形得全等辅助线方法规律总结基本图形辅助线条件与结论特别提醒将ABE绕点A逆时针旋转至AB与AD重合，点E的对应点记为点G条件：正方形ABCD，EAF=45结论：AEFAGF(SAS)EF=BEDF此种类型的辅助线其实是在证明“正方形的半角模型”；但是这种辅助线也可以应用在等边三角形的问题中，此时旋转角度为60或者120【类题训练】9如图，在四边形ABCD中，ADCB90，DEAB，垂足为E，且DEEB5，则四边形ABCD的面积 【分析】根据旋转的性质将四边形ABCD变形为
21、正方形DEBE，易求四边形ABCD的面积【解答】解：把RtDEA以绕D按逆时针旋转90，如图：旋转不改变图形的形状和大小，A与C重合，ADCE，EAED90在四边形ABCD中，ADCB90，A+DCB180，DCE+DCB180，即点B、C、E在同一直线上，DEBEB90，四边形DEBE是矩形，S矩形DEBEDEBE5525，S矩形DEBES四边形DEBC+SDCE，S四边形ABCDS四边形DEBC+SADES四边形DEBC+SDCE，S四边形ABCDS矩形DEBE25故四边形ABCD的面积为25故答案为：2510已知正方形ABCD中，M，N是边BC，CD上任意两点，MAN45，连结MN（1）
22、如图，请直接写出BM，DN，MN三条线段的数量关系：；（2）如图，过点A作AHMN于点H，求证：ABAH；【分析】（1）延长CD到E，使DEBM，利用SAS证明ABMADE，得BAMDAE，AMAE，再证明AMNAEN（SAS），得MNNEND+BM；（2）由（1）知，AMBAED，AEDAMN，得AMBAMN，再利用角平分线的性质可证明结论；（3）将图放到图中，利用HL证明RtABMRtAHM，得BMMH2，同理得，NHND3，设BCABx，则CMx2，CNx3，在RtMCN中，利用勾股定理列方程，从而解决问题【解答】（1）解：延长CD到E，使DEBM，四边形ABCD是正方形，ABAD，BA
23、DABMADE90，BMDE，ABMADE（SAS），BAMDAE，AMAE，MAN45，BAM+DANNAE45，ANAN，AMNAEN（SAS），MNNEND+BM，MNBM+DN，故答案为：MNBM+DN；（2）证明：由（1）知，AMBAED，AEDAMN，AMBAMN，ABBC，AHMN，ABAH；11已知：正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BM+DNMN当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
24、（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明【分析】（1）在MB的延长线上截取BEDN，连接AE，根据正方形性质得出ADAB，DDABABCABE90，证ABEADN推出AEAN；EABNAD，求出EAMMAN，根据SAS证AEMANM，推出MEMN即可；（2）在DN上截取DEMB，连接AE，证ABMADE，推出AMAE；MABEAD，求出EANMAN，根据SAS证AMNAEN，推出MNEN即可【解答】解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DNMN，理由为：如图2，在MB的延长线上截取BEDN，连接AE，四边形ABCD是正方形，A
25、DAB，DDABABCABE90，在ABE和ADN中，ABEADN（SAS）AEAN；EABNAD，DAB90，MAN45，DAN+BAM45，EAMBAM+EAB45MAN，在AEM和ANM中，AEMANM（SAS），MEMN，MNMEBE+BMDN+BM，即DN+BMMN；（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DNBMMN证明：如图3，在DN上截取DEMB，连接AE，由（1）知：ADAB，DABM90，BMDE，ABMADE（SAS）AMAE；MABEAD，MAN45MAB+BAN，DAE+BAN45，EAN904545MAN，在AMN和AEN中，AMNAEN（SAS），MNE
26、N，DNDEEN，DNBMMN12如图，在等边三角形ABC中，点P为ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60得到AP，连接PP，BP（1）用等式表示BP与CP的数量关系，并证明；（2）当BPC120时，直接写出PBP的度数为 ；若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明【分析】（1）利用SAS证明ABPACP，即可得出答案；（2）由三角形内角和定理知8+6180BPC60，再利用角度之间的转化对PBP进行转化，PBP4+75+608606+608，从而解决问题；延长PM到N，使PMMN，连接BN，CN，得出四边形PBNC为平行四边形，则BNCP
27、且BNCP，再利用SAS证明PBPNBP，得PPPN2PM【解答】解：（1）BPCP，证明：ABC是等边三角形，ABAC，BAC60，2+360将线段AP绕点A顺时针旋转60得到AP，APAP，PAP60，1+260，13，ABPACP（SAS），BPCP；（2）当BPC120时，则8+6180BPC60，ABPACP，45，PBP4+75+608606+608120（6+8）1206060，故答案为：60；AP2PM，理由如下：延长PM到N，使PMMN，连接BN，CN，M为BC的中点，BMCM，四边形PBNC为平行四边形，BNCP且BNCP，BNBP，96，又8+660，8+960，PBN6
28、0PBP，又BPBP，PBBN，PBPNBP（SAS），PPPN2PM，又APP为正三角形，PPAP，AP2PM类型四 连接线段得全等【知识点睛】v 连接线段得全等辅助线方法规律总结基本图形辅助线条件与结论结论应用连接AD条件：AB=AC，BD=CD结论：ABDACD(SSS)此种类型的辅助线虽然最简单，但是也最常见，常用来证明角相等【类题训练】13如图，已知：，则（）ABC或D【分析】连接，可证，根据全等三角形对应角相等可以得到，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解【详解】连接，如图，在与中，故选：B14把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边F
29、G与BC交于点H（如图）试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想【答案】解：连结，四边形，都是正方形AG=AB，G=B=90旋转DAG=BAEAGHABH（ASA）GH=BH【课后综合练习】1方法呈现（1）如图，ABC中，AD为中线，已知AB3，AC5，求中线AD长的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD至点E，使DEAD，连接CE，则易证DECDAB，得到ECAB3，则可得ACCEAEAC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是探究应用（2）如图，在四边形ABCD中，ABCD，点E是BC的中点，若AE是BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的
30、证明过程（3）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论【分析】（1）由已知得出ACCEAEAC+CE，即53AE5+3，据此可得答案；（2）如图，延长AE，DC交于点F，先证ABEFEC得CFAB，再由AE是BAD的平分线知BAFFAD，从而得FADF，据此知ADDF，结合DC+CFDF可得答案；（3）如图，延长AE，DF交于点G，同（2）可得：AFFG，ABEGEC，据此知ABCG，继而得出答案【解答】解：（1）由题意知ACCEAEAC+CE，即53AE5+3，1AD4，故答
31、案为：1AD4；（2）如图，延长AE，DC交于点F，ABCD，BAFF，在ABE和FCE中CEBE，BAFF，AEBFEC，ABEFEC（AAS），CFAB，AE是BAD的平分线，BAFFAD，FADF，ADDF，DC+CFDF，DC+ABAD（3）如图，延长AE，DF交于点G，同（2）可得：AFFG，ABEGEC，ABCG，AF+CFAB2阅读理解（1） 如图，ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答SABD与SADC相等吗？（S表示面积）；应用拓展（2）如图，已知梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明SDECSADE+SEBC；解决问题（3）现
32、有一块如图所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置【分析】（1）由于ABD与ACD等底同高，根据三角形的面积公式即可得出SABD与SADC相等；（2）延长DE交CB的延长线于点F，根据AAS证明DAEFBE，则DEFE，SDAESFBE，又由（1）的结论可得SDECSFEC，代入即可说明SDECSADE+SEBC；（3）取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，则S梯形ABCDSCDF，再取CF的中点G，作直线DG，则SCDGSFDGS梯形ADGBS梯形ABCD，故直线DG即可将这块试验田
33、分割成面积相等的两块【解答】解：（1）如图，过点A作AEBC于ED是BC中点，BDCD，又SABDBDAE，SADCCDAE，SABDSADC故答案为相等；（2）如图，延长DE交CB的延长线于点FE是AB的中点，AEBEADBC，ADEBFE在DAE与FBE中，DAEFBE（AAS），DEFE，SDAESFBE，E是DF中点，SDECSFECSBFE+SEBCSADE+SEBC，SDECSADE+SEBC；（3）如图所示：取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，取CF的中点G，作直线DG，则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块3（1）如图，OP是MON的平分线，点A为OM
34、上一点，点B为OP上一点请你利用该图形在ON上找一点C，使COBAOB，请在图画出图形参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（2）如图，在ABC中，ACB是直角，B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，在（2）中所得结论是否仍然成立？请你直接作出判断，不必说明理由【分析】（1）在MON的两边上以O为端点截取相等的两条相等的线段，两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，即COBAOB；（2）根据图（1）的作法，在AC上截取CGCD，
35、证得CFGCFD（SAS），得出DFGF；再根据ASA证明AFGAFE，得EFFG，故得出EFFD；（3）根据图（1）的作法，在AC上截取AGAE，证得EAFGAF（SAS），得出FEFG；再根据ASA证明FDCFGC，得DFFG，故得出EFFD【解答】解：（1）如图所示，COBAOB，点C即为所求 （2）如图，在AC上截取CGCD，CE是BCA的平分线，DCFGCF，在CFG和CFD中，CFGCFD（SAS），DFGFB60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，FACBAC，FCAACB，且EAFGAF，FAC+FCA（BAC+ACB）（180B）60，AFC120，CFD60CFG，A
36、FG60，又AFECFD60，AFEAFG，在AFG和AFE中，AFGAFE（ASA），EFGF，DFEF；（3）DFEF 仍然成立证明：如图，在AC上截取AGAE，同（2）可得EAFGAF（SAS），FEFG，EFAGFA又由题可知，FACBAC，FCAACB，FAC+FCA（BAC+ACB）（180B）60，AFC180（FAC+FCA）120，EFAGFA18012060DFC，CFGCFD60，同（2）可得FDCFGC（ASA），FDFG，FEFD4如图甲，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题(1)如果ABA
37、C，BAC90，当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果ABAC，BAC90点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点C、F重合除外）？并说明理由【分析】（1）证明DABFAC，即可得到CFBD，CFBD当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF的性质可推出DABFAC，所以CFBD，ACFABD结合BAC90，ABAC，得到BCFACB+ACF90度即CFBD（2）当ACB45时，过点A作AGAC交CB或CB的延长线于点G，则GAC
38、90，可推出ACBAGC，所以ACAG，由（1）可知CFBD(1)CFBD，CFBDFADBAC90BADCAF在BAD与CAF中，BADCAF（SAS）CFBD，ACFABD，BCF90CFBD ；故答案为：垂直，相等；成立，理由如下：FADBAC90BADCAF在BAD与CAF中，BADCAF（SAS）CFBD，ACFACB45，BCF90，CFBD；(2)当ACB45时可得CFBC，理由如下：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于GACB45AGAC，AGCACG45AGAC，ADAF，GADGACDAC90DAC，FACFADDAC90DAC，GADFAC，GADCAF（SAS），ACF
39、AGD45，GCFGCA+ACF90，CFBC5如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，2 求证：【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，由，可得，继而求得，由，继而可得；方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，连
40、接DE，因为BD是的平分线，所以在和中，因为所以，所以，因为，所以，所以因为，所以方法2补短如图，延长BA到点E，使因为BD是的平分线，所以在和中，因为，所以，所以，因为，所以，所以因为，所以方法3构造直角三角形全等作于点E交BA的延长线于点F因为BD是的平分线，所以因为，所以，在和中，因为，所以，所以在和中，因为，所以，所以因为，所以6如图，已知，BAC90，ABAC，BD是ABC的平分线，且CEBD交BD的延长线于点E求证：BD2CE【分析】延长CE与BA的延长线相交于点F，利用ASA证明ABD和ACF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可【解答】证明：如图，延长CE与BA的延长线相交于点F，EBF+F90，ACF+F90，EBFACF，在ABD和ACF中，ABDACF（ASA），BDCF，BD是ABC的平分线，EBCEBF在BCE和BFE中，BCEBFE（ASA），CEEF，CF2CE，BDCF2CE
