1、2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分请把答案填写在答题卡相应位置上）1已知空间一点A的坐标是（5，2，6），P点在x轴上，若PA=7，则P点的坐标是2命题“x1，1，x23x+10”的否定是3圆C1：（x+1）2+（y+1）2=1和圆C2：x2+y2+4x4y1=0的位置关系是4已知点A（1，0），B（1，0），若点C满足条件AC=2BC，则点C的轨迹方程是5过点（2，2）的抛物线的标准方程是6点（2，t）在直线2x3y+6=0的上方，则t的取值范围是7已知曲线C：y24x2n=0，则“n为正奇数”是“曲线C关
2、于y轴对称”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）8椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则PF1F2的面积为9已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=1，则其渐近线方程为10圆心在y轴上，且与直线2x+3y10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是11若“（xa）（xa1）0”是“12x16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是12直线y=xb与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是13曲线=（2x） 的焦点是双曲线C的焦点，点（3，）在C上，则C的方程是14已知圆（xa）2+（yb）2=4过坐标原点，则a
3、+b的最大值是二、解答题（本大题共6小题，共计58分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15写出命题“若直线l的斜率为1，则直线l在两坐标轴上截距相等”的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题？16某企业计划生产A，B两种产品已知生产每吨A产品需3名工人，耗电4kW，可获利润7万元；生产每吨B产品需10名工人，耗电5kW，可获利润12万元，设分别生产A，B两种产品x吨，y吨时，获得的利润为z万元（1）用x，y表示z的关系式是；（2）该企业有工人300名，供电局只能供电200kW，求x，y分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多
4、少万元？17已知直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x4y+1=0的两个交点分别为A，B（1）求A，B的坐标；（2）点D在x轴上，使三角形ABD为等腰三角形，求点D的坐标18设直线l的方程是x+my+2=0，圆O的方程是x2+y2=r2 （r0）（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；（2）r=4时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围19已知双曲线C1：8y2=1（a0）的离心率是，抛物线C2：y2=2px的准线过C1的左焦点（1）求抛物线C2的方程；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，4）是C2上三点，且CACB，证明：直线AB过定点，并求
5、出这个定点的坐标20椭圆+=1（ab0）的中心是O，左，右顶点分别是A，B，点A到右焦点的距离为3，离心率为，P是椭圆上与A，B不重合的任意一点（1）求椭圆方程；（2）设Q（0，m）（m0）是y轴上定点，若当P点在椭圆上运动时PQ最大值是，求m的值2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分请把答案填写在答题卡相应位置上）1已知空间一点A的坐标是（5，2，6），P点在x轴上，若PA=7，则P点的坐标是（8，0，0）或（2，0，0）考点： 空间中的点的坐标专题： 空间位置关系与距离分析： 设出P的坐标，
6、利用PA=5，求解即可解答： 解：设P的坐标是（a，0，0），点A的坐标为（5，2，6），PA=7，解得a=8或2P点的坐标是：（8，0，0）或（2，0，0）故答案为：（8，0，0）或（2，0，0）点评： 本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力2命题“x1，1，x23x+10”的否定是x1，1，x23x+10考点： 命题的否定专题： 简易逻辑分析： 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可解答： 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x1，1，x23x+10”的否定是：x1，1，x23x+10故答案为：x1，1，x23x+10点评： 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的
7、否定关系3圆C1：（x+1）2+（y+1）2=1和圆C2：x2+y2+4x4y1=0的位置关系是相交考点： 圆与圆的位置关系及其判定专题： 计算题；直线与圆分析： 根据两圆的圆心距满足311+3，可得两圆的位置关系解答： 解：由题意可得，圆C2：x2+y2+4x4y1=0可化为（x+2）2+（y2）2=9两圆的圆心距C1C2=，311+3，两圆相交故答案为：相交点评： 本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题4已知点A（1，0），B（1，0），若点C满足条件AC=2BC，则点C的轨迹方程是3x2+3y210x+3=0考点： 轨迹方程专题： 直线与圆分析： 先设点C的坐标
8、是（x，y），根据题意和两点间的距离公式列出关系式，再化到最简即可解答： 解：设点C的坐标是（x，y），因为点A（1，0），B（1，0），且AC=2BC，所以，两边平方后化简得，3x2+3y210x+3=0，所以点C的轨迹方程是：3x2+3y210x+3=0，故答案为：3x2+3y210x+3=0点评： 本题考查了动点的轨迹方程的求法，以及两点间的距离公式，考查了计算化简能力5过点（2，2）的抛物线的标准方程是y2=2x或x2=2y考点： 抛物线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 分别设焦点在x轴和在y轴上的抛物线的方程，然后将点代入即可解答： 解：设焦点在x轴上的抛物
9、线的标准方程为y2=ax，将点（2，2）代入可得a=2，故抛物线的标准方程为y2=2x设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=by，将点（2，2）代入可得b=2故抛物线的标准方程为x2=2y故答案为：y2=2x或x2=2y点评： 本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，正确分类是关键6点（2，t）在直线2x3y+6=0的上方，则t的取值范围是t考点： 两条直线的交点坐标专题： 计算题分析： 点在直线上方，点的坐标代入方程，有43t+60，求出t的取值范围解答： 解：点（2，t）在直线2x3y+6=0的上方，则43t+60 则t的取值范围是：t故答案为：t点评： 本题考查点与直线的位置
10、关系，是基础题7已知曲线C：y24x2n=0，则“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的充分不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 设P（x，y）在曲线C：y24x2n=0上，把点P（x，y）代入曲线可得证明，解答： 解：线C：y24x2n=0，则“n为正奇数”，设P（x，y）在曲线C：y24x2n=0上，把点P（x，y）代入曲线可得：y24（x）2n=0，即y24（x）2n=0成立，P（x，y）点在曲线上，曲线C关于y轴对称，根据充分必要条件的定义可判断：“n为正奇数”是“曲线C关
11、于y轴对称”的充分不必要故答案为：充分不必要点评： 本题考查了充分必要条件的定义，点与曲线的位置关系，属于容易题8椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则PF1F2的面积为24考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题分析： 根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直以及点P在椭圆上，求出点P的纵坐标，从而计算出PF1F2的面积解答： 解：由题意得 a=7，b=2 ，c=5，两个焦点F1 （5，0），F2（5，0），设点P（m，n），则 由题意得 =1，+=1，n2=，n=，则PF1F2的面积为 2c|n|=10=24，故答案为：24点评： 本小
12、题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题9已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=1，则其渐近线方程为y=x考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 双曲线的焦点在y轴上，且=1，焦点到渐近线的距离为2，求出a，b，c，即可求出双曲线的渐近线方程解答： 解：一条准线方程为y=1，双曲线的焦点在y轴上，且=1，焦点到渐近线的距离为2，=2，b=2，a=2，c=4渐近线方程为y=x=x故答案为：y=x点评： 本题考查了双曲线的标准方程及其渐近线方程、点到直线的距离公式，
13、属于基础题10圆心在y轴上，且与直线2x+3y10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是x2+（y+1）2=13考点： 圆的切线方程专题： 计算题；直线与圆分析： 设圆心为A（0，b），则=，求出b，即可得出圆的方程解答： 解：设圆心为A（0，b），则=，b=1，圆的方程是x2+（y+1）2=13故答案为：x2+（y+1）2=13点评： 本题考查圆的方程，考查直线与圆相切，求出圆心坐标是关键11若“（xa）（xa1）0”是“12x16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是0，3考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断分析： 求解不等式，利用充分必要条件的定义可判断出，求解即可解答： 解：（x
14、a）（xa1）0，axa+1，12x16，0x4，若“（xa）（xa1）0”是“12x16”的充分不必要条件，即0a3故答案为：0，3点评： 本题考查了不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题12直线y=xb与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是1b1或考点： 直线与圆的位置关系；曲线与方程专题： 综合题；数形结合分析： 根据曲线方程可得曲线为一个圆心为原点，半径为1的半圆，根据图形可知，当直线与圆相切时，切点为A，直线与圆只有一个交点；当直线在直线BC与直线ED之间，且与直线BC不能重合，与直线ED可以重合，此时直线与圆也只有一个交点，分别求出各自直线的与y轴的截距的范围即可得出b的范
15、围解答： 解：由题意可知：曲线方程表示一个在y轴右边的单位圆的一半，则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=1，当直线y=xb与圆相切时，圆心到直线的距离d=r=1，解得b=；当直线在直线ED与直线BC之间时，直线y=xb与直线ED重合时，b=1，与直线BC重合时，b=1，所以1b1，综上，b的取值范围为1b1或b=故答案为：1b1或b=点评： 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题13曲线=（2x） 的焦点是双曲线C的焦点，点（3，）在C上，则C的方程是3x2y2=1考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： =（2x）
16、 可化为，焦点为（1，0），设双曲线方程为，代入点（3，），求出a2=，即可求出C的方程解答： 解：=（2x） 可化为，焦点为（1，0），设双曲线方程为，点（3，）在C上，a2=，C的方程是3x2y2=1故答案为：3x2y2=1点评： 本题考查双曲线方程，考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于中档题14已知圆（xa）2+（yb）2=4过坐标原点，则a+b的最大值是2考点： 圆的标准方程；基本不等式专题： 计算题；直线与圆分析： 先确定a2+b2=4，再利用（a+b）22（a2+b2）=8，即可求出a+b的最大值解答： 解：圆（xa）2+（yb）2=4过坐标原点，a2+b2=4，（a+b）22
17、（a2+b2）=8a+b的最大值是2故答案为：2点评： 本题考查圆的标准方程，考查基本不等式的运用，比较基础二、解答题（本大题共6小题，共计58分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15写出命题“若直线l的斜率为1，则直线l在两坐标轴上截距相等”的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题？考点： 四种命题专题： 简易逻辑分析： 集合四种命题之间的关系，分别写出相对应的另外3个命题即可解答： 解：逆命题若直线l在两坐标轴上截距相等，则直线l的斜率为1；该命题是假命题； 否命题若直线l的斜率不为1，则直线l在两坐标轴上截距不相等；该命题是假命
18、题；逆否命题若直线l在两坐标轴上截距不相等，则直线l的斜率为不1；该命题是真命题点评： 本题考查了四种命题之间的关系，考查了命题的真与假，是一道基础题16某企业计划生产A，B两种产品已知生产每吨A产品需3名工人，耗电4kW，可获利润7万元；生产每吨B产品需10名工人，耗电5kW，可获利润12万元，设分别生产A，B两种产品x吨，y吨时，获得的利润为z万元（1）用x，y表示z的关系式是z=7x+12y；（2）该企业有工人300名，供电局只能供电200kW，求x，y分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多少万元？考点： 简单线性规划专题： 计算题；应用题；作图题；不等式的解法及应用分析：
19、（1）由题意写出z=7x+12y；（2）由题意得到不等式组，从而作出可行域，z=7x+12y可化为y=x，从而由几何意义找到最优解，解出最优解代入求最值解答： 解：（1）由题意，z=7x+12y；故答案为：z=7x+12y（2）根据题意得作出可行域如右图，由解得，记点A（20，24）当斜率为的直线经过点A（20，24）时，在y轴上的截距最大此时，z取得最大值，为12=428（万元）所以，x，y分别是20，24时，该企业才能获得最大利润，最大利润是428万元点评： 本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及简单线性规划问题的处理方法，属于中档题17已知直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y
20、2+2x4y+1=0的两个交点分别为A，B（1）求A，B的坐标；（2）点D在x轴上，使三角形ABD为等腰三角形，求点D的坐标考点： 直线和圆的方程的应用专题： 直线与圆分析： （1）利用方程组可以解得交点A，B的坐标；（2）因为不能确定哪个角是直角，所以需分类讨论，然后利用垂直、模长相等列方程（组）解答： 解：（1）由可得两交点的坐标分别为A （，），B （3，2）（2）当DA=DB时，易得直线l的斜率为2，线段AB的垂直平分线的斜率为，中点为 （，），所以线段AB的垂直平分线的方程为x2y+5=0所以点D的坐标为（5，0）当DA=BA时，以A 为圆心，AB为半径的圆A的方程为（x+）2+（y
21、） 2=圆A与x轴的交点为（+，0）和（，0）当BA=BD时，以B为圆心，AB为半径的圆与x轴无交点所以，点D的坐标为 （5，0）或（+，0）或（，0）点评： 本题考查了直线、圆的交点问题，即利用它们的方程来研究交点问题，结合垂直、距离公式构造方程组求解18设直线l的方程是x+my+2=0，圆O的方程是x2+y2=r2 （r0）（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；（2）r=4时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围考点： 直线和圆的方程的应用专题： 直线与圆分析： （1）只需直线所过的定点在圆内，即可使得m取一切值时，直线与圆都有公共点；（2）显然定点与圆心的连线垂直
22、于直线时，弦长最短，直线过圆心时，弦长为直径最大解答： 解：（1）直线l过定点（2，0），当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点等价于点（2，0）在圆O内或在圆O上，所以解得所以r的取值范围是，+）；（2）设坐标为（2，0）的点为点A，则|OA|=2则当直线l与OA垂直时，由垂径定理得直线l被圆O截得的弦长为；当直线过圆心时，弦长最大，即x轴被圆O截得的弦长为2r=8； 所以直线l被圆O截得的弦长的取值范围是4，8点评： 本题考查了直线与圆的位置关系，抓住圆心到直线的距离和半径，以及直线的特征是解题的关键19已知双曲线C1：8y2=1（a0）的离心率是，抛物线C2：y2=2px的准线过C1的
23、左焦点（1）求抛物线C2的方程；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，4）是C2上三点，且CACB，证明：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）双曲线C1：8y2=1（a0）的离心率是，所以a2=，c2=，即可求抛物线C2的方程；（2）求出A，B的坐标，可得直线AB的方程，即可得出结论解答： 解：（1）因为双曲线C1：8y2=1（a0）的离心率是，所以a2=，c2=，（2分）所以抛物线C2：y2=2px的准线方程是x=，所以p=1，抛物线C2的方程是y2=2x （4分）（2）不妨设C（8，4），设AC
24、的斜率为k，则直线AC的方程是y4=k（x8），x=代入并整理，得ky22y+88k=0，方程的两根是4和4，所以y1=4，x1=，A点的坐标是（，4），同理可得B点的坐标（2（2+k）2，2k4），（7分）直线AB的斜率kAB=，直线AB的方程是y（2k4）=x2（2+k）2，即y=（x10）4，（9分）直线AB过定点，定点坐标是（10，4） （10分）点评： 本题主要考查了直线与曲线方程的位置关系及方程思想的转化，方程的根与系数的关系的应用，抛物线的定义的应用综合的知识的较多，还有具备一定的计算及推理的能力20椭圆+=1（ab0）的中心是O，左，右顶点分别是A，B，点A到右焦点的距离为3，
25、离心率为，P是椭圆上与A，B不重合的任意一点（1）求椭圆方程；（2）设Q（0，m）（m0）是y轴上定点，若当P点在椭圆上运动时PQ最大值是，求m的值考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）利用点A到右焦点的距离为3，离心率为，求出a，c，可得b，即可求椭圆方程；（2）求出PQ2=x02+（y0+m）2=（y03m）2+4m2+4，分类讨论，利用PQ最大值是，求m的值解答： 解：（1）由题意得，解得 所以，所求方程为（4分）（2）PQ2=x02+（y0+m）2=（y03m）2+4m2+4，（6分）当0m时，PQmax=2，令2=，得m=；（8分）当m时，PQmax=m+，令m+=，得m=（舍去）；（10分）所以m的值是（11分）点评： 本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础
