1、x y l 5 3 4 O 第 10 题图 南京市 20112012 学年度第一学期高二期末调研 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分请把答案填写在答卷纸相应位置上 1命题“xR，x20”的否定是 2双曲线x25y241 的焦点坐标是 3顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线经过点(2，2)，则此抛物线的方程为 4已知函数 f(x)ln(2x1)，则 f(x)5复数 z2i1i（i 为虚数单位），则 z 对应的点在第 象限 6设向量 a（2，2m3，n2），b（4，2m1，3n2），且 ab，则 mn 7已知双曲线 x2y2b21（b0）的一条渐近线的方程为 y2x，则
2、 b 的值是 8函数 f(x)12xsinx 在区间0，上的最小值为 9设椭圆x2a2y2b21（ab0）的右准线与 x 轴的交点为 M，以椭圆的长轴为直径作圆 O，过点 M 引圆 O 的切线，切点为 N，若OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 10如图，直线 l 是曲线 yf(x)在 x4 处的切线，则 f(4)11若圆 x2y2r2(r0)与圆(x3)2(y4)236 相交，则 r 的取值范围是 12给出下列命题“ab”是“a2b2”的充分不必要条件；“lgalgb”是“ab”的必要不充分条件；若 x，yR，则“|x|y|”是“x2y2”的充要条件；ABC 中，“sinAsinB”是
3、“AB”的充要条件 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）13观察下列等式：112，23432，3456752，4567891072，从中可归纳得出第 n 个等式是 14设函数 f(x)在其定义域 D 上的导函数为 f(x)如果存在实数 a 和函数 h(x)，其中 h(x)对任意的 xD 都有 h(x)0，使得 f(x)h(x)(x2ax1)，则称函数 f(x)具有性质 P(a)给出下列四个函数：f(x)13x3x2x1；f(x)lnx 4x1；f(x)(x24x5)ex；f(x)x2x2x1，其中具有性质 P(2)的函数是 (写出所有满足条件的函数的序号)二、解答题：本大题共 6 小题，共计
4、 58 分 15（本题满分 8 分）已知命题 p：函数 ylogax 在(0，)上是增函数；命题 q：关于 x的方程 x22ax40 有实数根若 pq 为真，求实数 a 的取值范围 16（本题满分 8 分）设直线 l：4x3ya0 和圆 C：x2y22x4y0（1）当直线 l 过圆 C 的圆心时，求实数 a 的值；（2）当 a3 时，求直线 l 被圆 C 所截得的弦长 17（本题满分 10 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1AD1，AB2，点 E 是 C1D1的中点（1）求证：DE平面 BCE；（2）求二面角 AEBC 的大小 18（本题满分 10 分）某公司需制作容积为
5、216 ml 的长方体形饮料盒，饮料盒底面的长是宽的 2 倍当饮料盒底面的宽为多少时，才能使它的用料最省?A B C D A1 B1 C1 D1 E 19（本题满分 10 分）将圆 x2y24 上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线设为 E （1）求曲线 E 的方程；（2）若曲线 E 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(a，0)，B(a，0)，C(0，b)，其中 a0，b0过点 C 的直线 l 与曲线 E 交于另一点 D，并与 x 轴交于点 P，直线 AC 与直线 BD 交于点 Q当点 P 异于点 B 时，求证：OPOQ为定值 20（本题满分 12 分）已知函数 f(x)alnx1
6、2x2(a1)x1（1）当 a1 时，求函数 f(x)的单调增区间；（2）若函数 f(x)在(0，)上是增函数，求实数 a 的取值范围；（3）若 a0，且对任意 x1，x2(0，)，x1x2，都有|f(x1)f(x2)|2|x1x2|，求实数x y O 2 2 a 的最小值 理科数学参考答案及评分标准卷 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）1 xR，x20 2(3，0)3y24x 42 2x1 5一 621 72 86 32 9 22 1012 11(1，11)12 13n(n1)(n2)n2(n1)(2n1)2(nN*)14 二、解答题（本大题共 6 小题，共 5
7、8 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分 8 分）解：当 p 为真命题时，a1 2 分 当 q 为真命题时，4a2160 解得 a2 或 a2 4 分 因为 pq 为真，所以 p 和 q 都是真命题 a1，a2或a2 6 分 所以实数 a 的取值范围是2，)8 分 16（本题满分 8 分）解：（1）由 x2y22x4y0，得(x1)2(y2)25 所以圆 C 的圆心为(1，2)，半径为 5 2分 因为直线 l 过圆 C 的圆心，所以46a0 解得 a2 4分（2）当 a3 时，圆心(1，2)到直线 l：4x3y30 的距离为 d|4(1)323|42321 6 分 则 2
8、r2d24 所以直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4 8 分 17（本题满分 10 分）解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，E(0，1，1)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，DE(0，1，1)，BE(1，1，1)，BC(1，0，0)因为DEBE0，DEBC0，所以DEBE，DEBC 则 DEBE，DEBC 因为 BE平面 BCE，BC平面 BCE，BE BCB，所以 DE平面 BCE 4 分 （2）设平面 AEB 的法向量为n(x，y，z)，则nAB0，nBE0即y0，xyz0 所以平面 AEB 的法向量为n(1，0，1)6 分 因为 DE平面 BCE，所以DE
9、就是平面 BCE 的法向量 因为 cosn，DE错误!错误!，9 分 由图形可得二面角AEBC的大小为120 10 分 18（本题满分 10 分）解：设饮料盒底面的宽为 x cm，高为 h cm，则底面长为 2x cm 根据 Vx2xh，可得 h=2162x22 分 所以,表面积 S(x)2(x2xxh2xh)2(2x23x2162x2)4(x2162x)(x0)4 分 A B C D A1 B1 C1 D1 E x y z 由 S(x)4(2x162x2)0，6分 得 x3 3 8分 当 0 x3 3时，S(x)0，函数 S(x)在(0，3 3)是减函数；当 x3 3时，S(x)0，函数 S
10、(x)在(3 3，)是增函数 所以，当 x3 3时，S(x)取得极小值，且是最小值 答：当饮料盒底面的宽为 3 3 cm 时，才能使它的用料最省10 分 19（本题满分 10 分）解：（1）x24y21（说明：没有过程得 2 分）4 分（2）根据题意可设直线 l 的方程为 1，由ykx1，x24y21可得(4k21)x28kx0 解得 x0 或 x 8k4k21，代入直线 l 方程得 D 点坐标为（8k4k21，14k24k21）6分 又直线 AC 的方程为x2y1，直线 BD 的方程为 y12k24k(x2)，联立x2y1，y12k24k(x2)8 分 解得x4k，y2k1 因此 Q（4k，
11、2k1），又 P（1k，0），所以OPOQ（1k，0）（4k，2k1）4 故OPOQ为定值 10 分 20（本题满分 12 分）解：（1）当 a1 时，f(x)lnx12x21 则f(x)1xx 2 分 令 f(x)0，得 x0 或 x1 所以函数函数 f(x)的单调增区间为(1，)4 分 （2）因为函数 f(x)在(0，)上是增函数，所以 f(x)x2(a1)xax(x1)(xa)x0 对 x(0，)恒成立 6 分 即 xa0 对 x(0，)恒成立 所以a0 8 分 即实数 a 的取值范围是0，)（3）因为 a0，所以函数 f(x)在(0，)上是增函数 因为 x1，x2(0，)，x1x2，不妨设 x1x2，所以 f(x1)f(x2)由|f(x1)f(x2)|2|x1x2|恒成立，可得 f(x1)f(x2)2(x1x2)，即 f(x1)2x1f(x2)2x2 恒成立 令 g(x)f(x)2x，则在(0，)上是增函数 10 分 所以 g(x)axx(a)2x2(a1)xax0 对 x(0，)恒成立 即 x2(a1)xa0 对 x(0，)恒成立 即 ax2xx1对 x(0，)恒成立 因为x2xx1(x1 2x13)32 2（当且仅当 x1 2x1即 x 21 时取等号），所以 a32 2 所以实数a的最小值为32 2 12 分
