1、3定积分的简单应用3.1平面图形的面积3.2简单几何体的体积1.会用定积分求平面图形的面积.(重点)2.会用定积分求简单几何体的体积.(重点)3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法.(难点)基础初探教材整理1平面图形的面积阅读教材P87P88“例3”以上部分,完成下列问题.1.当xa,b时,若f(x)0,由直线xa,xb(ab),y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积Sf(x)dx.2.当xa,b时,若f(x)g(x)0,由直线xa,xb(ab)和曲线yf(x),yg(x)围成的平面图形的面积Sf(x)g(x)dx.(如图431)判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)曲线ysin
2、 x,x与x轴围成的图形的面积为sin xdx.()(2)曲线yx3与直线xy2,y0围成的图形的面积为x3dx(2x)dx.()(3)曲线y3x2与直线y1围成的图形的面积为(4x2)dx.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2简单旋转几何体的体积阅读教材P89P90“练习”以上部分,完成下列问题.旋转体可看作由连续曲线yf(x),直线xa,xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体,该几何体的体积为Vf(x)2dx.由yx2,x1和y0所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为()A.B.C.D.【解析】Vy2dx(x2)2dxx5.【答案】C质疑手记预习完成后,请将你的疑
3、问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑:疑问2:解惑:疑问3:解惑:小组合作型利用定积分求平面图形的面积(1)求由直线yx3,曲线yx26x13所围图形的面积S;(2)求由曲线yx2,直线y2x和yx围成的图形的面积.【精彩点拨】(1)作出两函数的图像,并求其交点坐标.确定积分区间,利用定积分求面积S.(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标,将积分区间细化,分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和,注意在每个区间上被积函数均是由上减下.【自主解答】(1)作出直线yx3,曲线yx26x13的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组得交点坐标为(2,5)和(5,8).因此,所求图形的面积S(
4、x3)dx(x26x13)dx(x27x10)dx.(2)法一:由和解出O,A,B三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S(2xx)dx(2xx2)dx0.法二:由于点D的横坐标也是2,故S(2xx)dx(x2x)dx2.法三:因为,.故所求的面积为Sdydyy2.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤:(1)画出图形;(2)确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限;(3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数图像上、下位置;(4)写出平面图形面积的定积分表达式;(5)运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积.再练一题1.由抛物线yx2x,直线x1及x轴围成的图
5、形的面积为() 【导学号:94210075】A.B.1C.D.【解析】由图可知,所求面积S(x2x)dx(xx2)dx1.【答案】B求简单几何体的体积求由曲线yx2与y所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【精彩点拨】所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到,再利用定积分求解即可.【自主解答】曲线yx2与y所围成的平面图形如图阴影部分所示.设所求旋转体的体积为V,根据图像可以看出V等于曲线y,直线x2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线yx2,直线x2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V2).V1()2dx2xdx2x
6、24,V2dxx4dxx5,所以VV1V24.,1.两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差,即Vf2(x)dxg2(x)dx,而不能写成Vf(x)g(x)2dx.2.求简单旋转体的体积时,首先要画出平面图形,分析旋转体的形状,再利用体积的定积分表达式Vf2(x)dx求解.再练一题2.设平面图形由上的曲线ysin x及直线y,x围成,求此图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】先画草图.设f(x)sin x,x,g(x).则f(x)与g(x)的交点为.Vdxdxdx.探究共研型定积分的综合应用探究1设a0,若曲线y与直线xa,y0所围成封闭图形的面积为a2,试求a的值.【提
7、示】由已知得Sdxxaa2,所以a,所以a.探究2若两曲线yx2与ycx3(c0)围成图形的面积是,试求c的值.【提示】由得x0或x.0xcx3,S (x2cx3)dx.c3,c.在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为,试求切点A的坐标及过切点A的切线方程.【精彩点拨】设出切点坐标,写出切线方程,利用定积分可列方程,解方程求得切点坐标,进一步求出切线方程.【自主解答】设切点A(x0,x),切线斜率为k2x0,切线方程为yx2x0(xx0).令y0,得x,如图,Sx2dx x2(2x0xx)dxx.x,x01.切点A的坐标为(1,1),切线方程为y2x1.1
8、.本题中求面积S时,易错误地写成Sx2(2x0xx)dx.错误原因是没能分割好图形.2.关于导数与积分的综合题,要充分利用导数的几何意义,求切线的斜率或方程,利用定积分的几何意义求面积,进而解决问题.再练一题3.如图432,设点P在曲线yx2上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1,S2.图432(1)当S1S2时,求点P的坐标;(2)当S1S2有最小值时,求点P的坐标和最小值.【解】(1)设点P的横坐标为t(0t2),则P点的坐标为(t,t2),直线OP的方程为ytx.S1(txx2)dxt3,S2(x2tx)dx2tt3.因为S1S2,所以t
9、,点P的坐标为.(2)SS1S2t32tt3t32t,St22,令S0得t220.因为0t2,所以t,当0t时,S0;t0.所以,当t时,S1S2有最小值,此时点P的坐标为(,2).构建体系1.用S表示图433中阴影部分的面积,则S的值是()图433A.f(x)dxB.C.f(x)dxf(x)dxD.f(x)dxf(x)dx【解析】xa,b时,f(x)0,阴影部分的面积Sf(x)dxf(x)dx.【答案】D2.直线yx,x1及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是()A.B.C.D.1【解析】Vx2dxx3.【答案】B3.由yx2,yx2及x1围成的图形的面积S_.【解析】图形如图所示,Sx2dxx2dxx2dxx3.【答案】4.由yx2,yx所围成的图形绕y轴旋转所得到的旋转体的体积V_. 【导学号:94210076】【解析】V(yy2)dy.【答案】5.计算由曲线y2x,yx2所围图形的面积S.【解】由得交点的横坐标为x0及x1.因此,所求图形的面积为SS曲边梯形OABCS曲边梯形OABDdxx2dxxx3.我还有这些不足:(1)(2)我的课下提升方案:(1)(2)