1、 数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则 =( )A B C D2.复数，是的共轭复数，复数在复平面内对应的点位于( )A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为( )A B C D 4.下列结论错误的个数是( )命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题；命题，命题，则为真；“若，则”的逆命题为真命题；若为假命题，则、均为假命题.A 0 B1 C. 2 D35. 同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为，则
2、的数学期望是( )A 20 B25 C. 30 D40 6. 某几何体的三视图如图所示。图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A B C. D7. 如图，矩形内的阴影部分是由曲线，及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为，则的值是( )A B C. D8.如图，点,点在线段的延长线上，分别为的边上的点.若与共线，与共线，则的值为( )A-1 B0 C. 1 D29. 在等腰梯形中，,为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为( )A B C. D10. 已知，、满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是( )
3、A B C. D11. 已知双曲线，、是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线的斜率分别为，若的最小值为1,则双曲线的离心率为( )A B C. D12. 可导函数的导函数为，且满足：；，记，则的大小顺序为( )A B C. D二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13. 在等差数列中，那么该数列的前14项和为 14. 若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是 15. 在中，分别是的对边长，已知，且有，则实数= 16. 中，是的中点，若，则= 三、解答题 （本大题共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数.
4、（1）若定义域为，求的取值范围；（2）若，求的单调区间.18.已知二次函数的图像经过坐标原点，其到函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上 （1）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.19.已知函数.（1）若，求函数的最大值和最小值，并写出相应的的值；（2）设的内角的对边分别为，满足，且，求的值.20.如右图，在多面体中，平面,且是边长为2的等边三角形，,与平面所成角的正弦值为.（1）若是线段的中点，证明：面；（2）求二面角的平面角的余弦值21.已知椭圆（0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，坐标
5、原点到直线的距离为,求面积的最大值.22. 已知函数（为常数，=2.71828是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行（1）求的值；（2）求的单调区间；（3）设，其中是的导函数证明：对任意0，试卷答案一、选择题1-5: AACBB 6-10: ABBCA 11、12：BC二、填空题13. 21 14. 15. 16. 三、解答题17.解析：（1）因为定义域为，所以0对任意恒成立，显然时不合题意，从而必有，即，解得.即的取值范围是.（2）,因此，这时.由0得-13，即函数定义域为.单调递减区间是.18. （）设这二次函数，则，由于，所以，所以，又因为点均在函数的图像上，所以，当时，当时，也适
6、合.所以，.（）由（）得故随着的增大，逐渐增大直至趋近，故对所有都成立，只要即可，即只要.故使得对所有都成立的最小正整数.19.解：（1）令，当即时，当即时，；（2）,则,所以，所以，因为，所以由正弦定理得由余弦定理得，即解得：20. （1）证明：取AB的中点，连结,则面即是与平面所成角, 取的中点为,以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系，则取的中点为,则面 ,所以，所以面.（2）解：由上面知：面，又取平面的一个法向量又,由此得平面的一个法向量则，所以二面角的平面角的余弦值为.21. 解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为.（2）设， （1）当轴时，.（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为.由已知，得.把代入椭圆方程，整理得,当且仅当，即时等号成立.当时，,综上所述，.所以，当最大时，面积取最大值.22. 解：（1）由，得，由于曲线在处的切线与轴平行，所以，因此（2）由（1）得，令 当时, ；当时，.又，所以时，；时，因此的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）证明因为，所以，.因此对任意等价于.由（2）知，所以，因此当时，0, 单调递增；当时, 0, 单调递减.所以的最大值为 故. 设,因为，所以，0, 单调递增, ,故时，,即1.所以,因此对任意, .
