1、10.2空间几何体的表面积与体积典例精析题型一表面积问题【例1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.【解析】设圆锥的半径为R，母线长为l，圆柱的半径为r，轴截面如图，S圆锥(Rl)R (RR)R()R2，S圆柱2r(rr)4r2，又，所以，所以.来源:学.科.网Z.X.X.K【点拨】 轴截面是解决内接、外切问题的一种常用方法.【变式训练1】一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m).(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积.来源:1ZXXK【解析】(1)直观图如图所示.(2)该几何体的表面积为(7) m2，体积为 m
2、3.题型二体积问题来源:Zxxk.Com【例2】 某人有一容积为V，高为a且装满了油的直三棱柱形容器，不小心将该容器掉在地上，有两处破损并发生渗漏，其位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方，且容器盖也被摔开了(盖为上底面)，为减少油的损失，该人采用破口朝上，倾斜容器的方式拿回家，估计容器内的油最理想的剩余量是多少？【解析】 如图，破损处为D、E，且ADb，ECc，BB1a， 则容器内所剩油的最大值为几何体ABCDB1E的体积.因为，而，由三棱柱几何性质知V， ，所以V，又因为，所以 VDABC，所以VDABCV.故油最理想的剩余量为V. 【点拨】将不规则的几何体分割为若干个规则的几
3、何体，然后求出这些规则几何体的体积，这是求几何体体积的一种常用的思想方法.【变式训练2】一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器，里面装满水，一铁球沉入水内，有水溢出，容器盖上一平板，恰与球相切，问容器内剩下的水是原来的几分之几？【解析】设球的半径为R，则圆锥的高h3R，底面半径rR，V圆锥(R)23R3R3；V球R3.所以，所以剩下的水量是原来的1.来源:学+科+网Z+X+X+K【点拨】本题关键是求圆锥与球的体积之比，作出轴截面，找出球半径和圆锥高、底面半径的关系即可.题型三组合体的面积、体积的关系【例3】底面直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，设这个长方形截面的一条边长为x，对角
4、线长为2，截面的面积为A，如图所示：(1)求面积A以x为自变量的函数式；(2)求截得棱柱的体积的最大值.【解析】 (1)Ax(0x2).(2)Vx1 .因为0x2，所以当x时，Vmax2.【点拨】关键是理解截面，并且注意x的范围从而求体积，在求第(2)求体积时还可利用不等式.【变式训练3】(2019山东检测)把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为()A.12B.1C.21D.2【解析】设长方形的一条边长为x cm，则另一条边长为(6x) cm，且0x6，以长为(6x) cm的边作为围成的圆柱的高h，若设圆柱的底面半径为r，则有2rx，所以r，因此圆柱的体积V()2(6x)(6x2x3)，由于V(12x3x2)，令V0，得x4，容易推出当x4时圆柱的体积取得最大值，此时圆柱的底面周长是4 cm，圆柱的高是2 cm，所以圆柱的底面周长与高的比为21，选C.总结提高来源:1表面积包含侧面积和底面积；直棱柱的侧棱长即侧面展开图矩形的一边；对于正棱柱、正棱锥、正棱台，其所有侧面多边形均全等，故可先求一个的侧面积，再乘以侧面多边形的个数.求体积时，常常需要“转变”底面，使底面面积和高易求；另外，对于三棱锥的几何体选择不同的底面时，利用同一个几何体体积相等，再求出几何体的高，即等体积法.第 2 页
