1、河南省平顶山市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2有下列四个命题：若ab0，则；若ab，cd，则；若ac2bc2，则ab若ab0，则a2ab其中真命题的个数是（）A1B2C3D43“0x1”是“0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4与双曲线共焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为（）ABCD5已知等比数列an是递增数列，若a11，且3a2，2a3，a4成等差数列，则an的前4项和S4（）A4B40C4或40D1
2、56已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若直线l的斜率为1，则弦AB的长为（）A4B6C7D87盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的概率为（）ABCD8设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值为（）A4B3C4D59的展开式中各项的二项式系数的和为256，则展开式中x4的系数为（）AB504CD7010设每天去某网红景点旅游的人数（单位：万人）为随机变量X，且XN（2，0.52），则一天中去该网红景占旅游的游客不少于1.5万人的概率为（）参考数据：若XN（，2），则P（X+）0.682
3、7，P（2X+2）0.9545，P（3X+3）0.9973A0.97725B0.84135C0.6827D0.1586511观察下列数表，数表中的每一行从左到右，每一列从上到下均为等差数列若第i行与第i列的交叉点上的数记为ai，i，则a1，1+a2，2+a20，20（）A210B399C400D42012已知定义在（0，+）上的函数f（x）的导函数为，且，则f（x）的最小值为（）ABeCD2e二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共20分13为了解患某疾病是否与性别有关，随机地调查了50人，得到如下的22列联表：患该疾病不患该疾病总计男151025女52025总计203050则 （填“有”或“
4、没有”）99.9%的把握认为患该疾病与性别有关参考公式：，其中na+b+c+d三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分14已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，且（）求an的通项公式；（）记，求bn的前n项和Tn15如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABCB1BA90，B1BC60，AB1，（）证明：平面ABC平面BCC1B1；（）求二面角BCC1A的余弦值16某个知名品牌在某大型超市举行新品上市的抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以
5、获得300元优惠券；方案乙的中奖率为，中奖可以获得350元优惠券；未中奖则没有优惠券每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响（）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们获得的优惠券总金额为X元，求X400的概率；（）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红获得优惠券的总金额的分布列，并判断他们选择何种方案抽奖，两人获得的优惠券总金额的数学期望较大17已知椭圆经过点A（0，1）接圆C的四个顶点得到的菱形的面积为（）求椭圆C的标准方程；（）设O为原点，直线l：ykx与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，
6、问：|OM|ON|是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由18已知函数f（x）x2lnx（）讨论函数f（x）的单调性；（）若函数在上是增函数，求实数a的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程19在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为（cos+sin）3（）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（）若C1与C2相交于A，B两点，求OAB的面积选修45：不等式选讲20已知函数f（x）|mx+1|+|2x1|
7、（）若m3，求不等式f（x）2的解集；（）若关于x的不等式f（x）2在上恒成立，求实数m的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：，故复数z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A2有下列四个命题：若ab0，则；若ab，cd，则；若ac2bc2，则ab若ab0，则a2ab其中真命题的个数是（）A1B2C3D4解：中，若ab0，则ab0，则，所以，正确；中，当ab0，c0d时，不成立，错；中，若ac2bc2，则c0，所以不等式两边除以c2可得：ab，正确；中，由ab0，可得a2ab，正确故选：C
8、3“0x1”是“0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：不等式可化为解得0x1，因为（0，1）（0，1，所以0x1是的充分不必要条件故选：A4与双曲线共焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为（）ABCD解：设椭圆的半焦距为c由椭圆与双曲线有公共焦点，得椭圆的焦点坐标为，再由，可得a2，b1，则椭圆的标准方程为，故选：C5已知等比数列an是递增数列，若a11，且3a2，2a3，a4成等差数列，则an的前4项和S4（）A4B40C4或40D15解：设an的公比为q（q1），由于3a2，2a3，a4成等差数列，所以4a33a2+a4，因为a11，所以4q23q+q3
9、，即q24q+30，解得q1（舍去），或q3，所以故选：B6已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若直线l的斜率为1，则弦AB的长为（）A4B6C7D8解：依题意得，抛物线C的方程是y24x，直线l的方程是yx1，联立可得（x1）24x，即x26x+10，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x26，所以|AB|x1+x2+p6+28故选：D7盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的概率为（）ABCD解：设Xk表示取出的螺丝钉恰有k只是坏的，则故选：C8设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2
10、y的最小值为（）A4B3C4D5解：约束条件所表示的平面区域如图，由图可知A（0，2），B（3，0），联立方程组解得C（1，3）目标函数zx2y可化为，当过C点时，直线的纵截距最大，此时z最小，将C（1，3）代入目标函数可得z5，故z的最小值为5故选：D9的展开式中各项的二项式系数的和为256，则展开式中x4的系数为（）AB504CD70解：展开式中各项的二项式系数的和为256，2n256，解得n8的展开式的通项为再令，解得r3所以展开式中x4的系数为故选：A10设每天去某网红景点旅游的人数（单位：万人）为随机变量X，且XN（2，0.52），则一天中去该网红景占旅游的游客不少于1.5万人的概率
11、为（）参考数据：若XN（，2），则P（X+）0.6827，P（2X+2）0.9545，P（3X+3）0.9973A0.97725B0.84135C0.6827D0.15865解：XN（2，0.52），P（1.5X2.5）0.6827，P（X1.5）10.158650.84135故选：B11观察下列数表，数表中的每一行从左到右，每一列从上到下均为等差数列若第i行与第i列的交叉点上的数记为ai，i，则a1，1+a2，2+a20，20（）A210B399C400D420解：根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，由此可以推导出第i
12、行与第i列交叉点上的数应该是2i1，所以a1，1+a2，2+a20，20故选：C12已知定义在（0，+）上的函数f（x）的导函数为，且，则f（x）的最小值为（）ABeCD2e解：，xf（x）+f（x）ex，设g（x）xf（x）+f（x）ex，则g（x）xf（x）ex+a，aR，又，a0，即，当x（0，1）时，f（x）0，单调递减，当x（1，+）时，f（x）0，单调递增，即f（x）在x1取得极小值，也为最小值，f（x）的最小值为f（1）e故选：B二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共20分13为了解患某疾病是否与性别有关，随机地调查了50人，得到如下的22列联表：患该疾病不患该疾病总计男151
13、025女52025总计203050则 没有（填“有”或“没有”）99.9%的把握认为患该疾病与性别有关参考公式：，其中na+b+c+d解：由列联表中的数据可得，故没有99.9%的把握认为患该疾病与性别有关故答案为：没有三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分14已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，且（）求an的通项公式；（）记，求bn的前n项和Tn解：（）由，可得数列是以为首项、1为公差的等差数列，所以，所以，当n2时，且当n1时也符合上式，故an的通项公式为an2
14、n1；（）由（）知an2n1，所以，则，两式相减得，即3Tn，所以15如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABCB1BA90，B1BC60，AB1，（）证明：平面ABC平面BCC1B1；（）求二面角BCC1A的余弦值【解答】（）证明：因为在三棱柱ABCA1B1C1中，ABCB1BA90，所以ABBB1，ABBC，又BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，所以AB平面BCC1B1；又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCC1B1（）解：如图，作B1HBC，垂足为H，因为B1H平面BCC1B1，平面BCC1B1平面ABC，所以B1H平面ABC，由，B1BC60，可得，B1H3，以H为坐标原
15、点，的方向为x轴的正方向，的方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则，所以，设平面ACC1A1的法向量为，则，即，令z1，可得，y6，故，又平面BCC1B1的一个法向量为，所以，因此二面角BCC1A的余弦值为16某个知名品牌在某大型超市举行新品上市的抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得300元优惠券；方案乙的中奖率为，中奖可以获得350元优惠券；未中奖则没有优惠券每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响（）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们获得的优惠券总金额为X元，求X400的概率；（）若小明、小红两人都选择方案甲
16、或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红获得优惠券的总金额的分布列，并判断他们选择何种方案抽奖，两人获得的优惠券总金额的数学期望较大解：（）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响，记“X400”的事件为A，则事件A的对立事件为，即“X650”，因为，所以，即X400的概率为（）设小明、小红都选择方案甲所获得的优惠券总金额为X1元，都选择方案乙所获得的优惠券总金额为X2元，则X1的可能取值为0，300，600，X2的可能取值为0，350，700，X1，X2的分布列如下：X10300600PX20350700P，E（X1）E（X2），他们都选择方案甲进行抽奖
17、时，所获得的优惠券总金额的数学期望较大17已知椭圆经过点A（0，1）接圆C的四个顶点得到的菱形的面积为（）求椭圆C的标准方程；（）设O为原点，直线l：ykx与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，问：|OM|ON|是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由解：（）由题意，得b21，再由连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为可得，所以所以椭圆C的标准方程为（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线AP的方程为令y0，得点M的横坐标又y1kx1，从而，同理，由，得（1+2k2）x220，则x1+x20，所以|OM|ON|2，即|OM|ON|
18、为定值218已知函数f（x）x2lnx（）讨论函数f（x）的单调性；（）若函数在上是增函数，求实数a的取值范围解：（）由题可知f（x）的定义域为（0，+），令f（x）0，得当时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当时，f（x）0，函数f（x）单调递增（）由题可知，则g（x）在上是增函数，g（x）0在上恒成立对任意，不等式恒成立，等价于axx2lnx恒成立令u（x）xx2lnx，则u（x）12xlnxx，u（1）0令m（x）12xlnxx，则m（x）32lnx，m（x）32lnx0，u（x）在上单调递减，当时，u（x）0，当x（1，2时，u（x）0，即函数u（x）在区间上单调递增，在区间（1，2
19、上单调递减，u（x）maxu（1）1，从而a1，即a的取值范围为1，+）（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程19在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为（cos+sin）3（）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（）若C1与C2相交于A，B两点，求OAB的面积解：（）由（为参数），消去参数可得，曲线C1的普通方程为（x2）2+y24曲线C2的极坐标方程为（cos+sin）3，即cos+sin3，根据，所以C2的直角坐标方程为x
20、+y30（）由曲线C1的普通方程为（x2）2+y24，可知它表示圆心为C1（2，0），半径r2的圆圆心C1到直线x+y30的距离，故原点O到直线x+y30的距离所以所以OAB的面积为选修45：不等式选讲20已知函数f（x）|mx+1|+|2x1|（）若m3，求不等式f（x）2的解集；（）若关于x的不等式f（x）2在上恒成立，求实数m的取值范围解：（）依题意，当时，5x2，解得，当时，2+x2，解得，当时，5x2，无解；综上可得，不等式f（x）2的解集为（）因为|mx+1|+|2x1|2在上恒成立，所以|mx+1|2x+1，即（2x+1）mx+12x+1，所以2x2mx2x所以，由，得m2，由，得在上恒成立，所以，因为，所以m6，综上所述，实数m的取值范围为6，2
