1、新课标全国统考区（吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南）2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编7：立体几何（1）一、选择题 （河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）平行四边形ABCD中,=0,沿BD折成直二面角A一BD-C,且4AB2 +2BD2 =1,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）ABCD【答案】A （2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 （）ABCD【答案】C （河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word版)）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的
2、体积为（）ABCD【答案】D （河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）从一个正方体中截去部分几何体,得到的几何体三视图如下,则此几何体的体积是（）A64BCD 【答案】C （河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）ABC D【答案】D （山西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积不可能是（）ABCD【答案】D （河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直
3、径为4,该几何体的体积为,直径为4的球的体积为,则（）AB CD【答案】B （云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word版） ）如图是一个空间几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是半径为2的半径,俯视图是半径为2的圆,则该几何体的体积等于正视图侧视图俯视图（）ABCD【答案】C （河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为,它的三视图中的俯视图如图所示.左视图是一个矩形.则这个矩形的面积是（）A4BC2D【答案】B （内蒙古包头市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三
4、角形,则这个几何体的外接球的表面积为( )（）ABCD【答案】D （吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A6B5.5C5D4.5正视图侧视图俯视图11123（第7题）【答案】C （吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知球的直径SC=4,（）AB是该球球面上的两点,AB=,ASC=BSC=30,则棱锥SABC的体积为（）A3B2CD1【答案】C （山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）点在同一个球的球面,若四面体体积的最大值为,则这个球的表面积为（）ABCD【答案】C,是直角三角形
5、, 的外接圆的圆心是边AC的中点O1,如图所示,若使四面体ABCD体积的最大值只需使点D到平面ABC的距离最大,又平面ABC,所以点D是直线与球的交点 设球的半径为R,则由体积公式有: 在中,解得: ,故选C （黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word版 ）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于 （）AB160CD【答案】C （河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）已知直线l丄平面a,直线m平面给出下列命题:a/=l丄m;a丄=l/m l/m=a丄;l丄m=a/ 其中正确命题的序号是（）ABCD【答案】C （黑龙江省大庆市2013届高三
6、第二次模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为22正视图侧视图俯视图2（）ABCD【答案】B （河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word版)）已知四面体ABCD中,AB=AD=6,AC=4,CD=2,AB平面ACD,则四面体ABCD外接球的表面积为（）A36B88C92D128【答案】B 二、填空题（河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word版） ）巳知一个空间几何体的三视图(如右图),则该几何体的表 面积为_【答案】 （河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）在四面体中,则四
7、面体的外接球的表面积为_.【答案】解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为4、5、6,设长方体的三条边分别为,则,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以 （云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）右图所示的是一个正方体的展开图,在原来的正方体中,有下列命题:AB与EF所在的直线平行; AB与CD所在的直线异面;MN与BF所在的直线成60o角; MN与CD所在的直线互相垂直其中正确命题的题号是_.【答案】 （黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知正方体的各顶点都在同一球面上,若四面体的表面积为,则球的体积为_.【答案】;三、解答题（河南省开封市2
8、013届高三第四次模拟数学（理）试题）如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形,侧面PAB是正三角形,AB=2,BC=,PC=.(I)求证:平面PAB平面ABCD;()已知棱PA上有一点E,若二面角EBDA的大小为45.,求AE:EP的值.【答案】 （山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）(本小题满分12分如图,已知矩形的边 ,点、分别是边、的中点,沿、分别把三角形和三角形折起,使得点和点重合,记重合后的位置为点.(1)求证:平面 平面; (2)求二面角的大小. OFCAEP【答案】(1)证明: (2)如图,建立坐标系,则 , 易知是平面PAE的法向量, 设MN与平面PAE 所
9、成的角为 (3) 易知是平面PAE的法向量,设平面PEC的法向量则所以 所以二面角A-PE-C的大小为 zxxk （2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）如图,三棱锥中, 平面.,为的中点.()求证:平面; ()求二面角的余弦值.【答案】 证明 (1): PBEACF PBEACXYZ (2)方法一:过E作EFBC,F为垂足.由已知得EF面ABC,过F 作FMAB,M为垂足,连接EM,则EMAB(三垂线定理).所以EMF为二面角E-AB-C的平面角 在Rt中,EF=2,FM=,cosEMF= 方法二:以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz B(0,0,0),C(4,0,0),A(4,
10、4,0),P(0,0,4),E(2,0,2),则, 平面ABC法向量为;设平面ABE法向量为. 则 .令z=1,得x=-1,y=1,.即 设二面角E-AB-C为,则= （河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）如图,在底面是菱形的四棱锥中,点在上,且()求二面角的大小()在棱上是否存在一点,使平面?证明你的结论.【答案】()解法一 以为坐标原点,直线、分别为轴、轴,过点垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为 所以 设点是棱上的点, 则 令 得 解得 即 时, 即,是的中点时,、共面. 又 平面,所以当是棱的中点时
11、,平面12分 （山西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）如图:四棱锥中,.,.()证明: 平面;()在线段上是否存在一点,使直线与平面成角正弦值等于,若存在,指出点位置,若不存在,请说明理由.ABCD【答案】因为点在线段上,所以假设,所以 即,所以 又因为平面的法向量. 所以,所以 所以 因为直线与平面成角正弦值等于,所以. 所以 即.所以点是线段的中点 （河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word版)）(本小题满分12分)如图,在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=BD=6.0为AC,BD的交点,将四边形ABCD沿对角线AC折
12、起,得到三棱锥BACD,且BD=.(1)若M点是BC的中点,求证:OM/平面ABD;(2)求二面角ABDO的余弦值.【答案】 （山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）如图,三棱柱的侧棱底面,是棱上动点,是的中点,()当是中点时,求证:平面;()在棱上是否存在点,使得二面角的余弦值是,若存在,求的长,若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)证明,取的中点G,连结EG,FG F、G分别是AB、AB1的中点, 又 四边形FGEC是平行四边形,CFEG 平面AEB1,EG平面AEB1 平面AEB (2)以C点为坐标原点,射线CA,CB,CC1为轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
13、设,平面的法向量. 则 由得 平面 是平面EBB1的法向量,则平面的法向量 二面角A-EB1-B的平面角余弦值为, 则 解得 在棱上存在点E,符合题意,此时 （黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知侧棱垂直于底面的三棱柱的所有棱长都相等,为中点,在棱上,且平面.(I)证明:平面平面;(II)求二面角的余弦值.【答案】解法1: (I)证明:取中点为,连结. ,且确定平面. 平面,平面, 平面平面, , 四边形为平行四边形. ,为的中点 连结,可知.为中点,平面, ,平面 平面,平面, 平面平面 (II)如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,设棱长为. ,. , 设平面的法
14、向量为, 由即 取,得平面的一个法向量 同理设平面的法向量为, 由得平面的一个法向量为 , 设所求二面角为,则 解法2: (I)设线段的中点为,连接. 以所在的直线为轴,所在的直线为轴, 过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系 设棱柱的棱长为, 则由已知可得:, , , 设平面的法向量为,则有 即 取,则, 连接, 则由已知条件可知. 平面的法向量为. , , 平面平面 (II) 设平面的法向量为. , 即 取,则, 设二面角的大小为,则由图形可知为锐角,且 . 二面角的余弦值为 （2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）如图,平面四边形的4个顶点都在球的表面上,为球的直径,为球面上
15、一点,且平面,点为的中点. (1) 证明:平面平面;(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】【命题意图】本小题通过立体几何的相关知识,具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识,考查考生的空间想象能力、推理论证能力,对学生的数形结合思想的考查也有涉及,本题是一道立体几何部分的综合题,属于中档难度试题. 【试题解析】(1) 证明:且, 则平行且等于,即四边形为平行四边形,所以. (2) 以为原点,方向为轴,以平面内过点且垂直于方向为轴以方向为轴,建立如图所示坐标系. 则, , 由, 可知 由, 可知 则, 因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （河
16、北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word版） ）在四边形 ABC D中,BC/AD,CD /AD,AD=4,BC=CD=2,E、P分别为AD,CD的中点(如图1 ),将ABE沿BE折 起,使二面角为A-BE-C直二面角(如图2).(I )如图2,在线段AE上,是否存在一点M,使得PM/平面ABC?若存在,请指出点M的位置,并证明你的结论,若不存在,请说明理由.(II)如图2,若H为线段AB上的动点,当PH与平面ABE所成的角最大时,求二面角 H-PC-E的余弦值.【答案】解法一:()存在点,当为线段AE的中点时, PM平面 , 取的中点N,连接PN,MN,则MNBA,
17、PN/CB, 所以平面PMN/平面ABC, 因为PM在平面PMN内, 所以PM平面ABC ()连接,可知, 所以与平面所成角为, 又, 所以当时,与平面所成角最大, 可得, 过做交EB于, 则,且, 过做垂足为,连接, 则, 所以为二面角的平面角, 所以在直角中, 所以,所以二面角的余弦值为. 解法二:()存在点,当为线段AE的中点时,PM平面, 建立如图所示空间直角坐标系,则, ,中点, 所以, 可知,平面, 又, 平面 () 可知P ( 2, 1,0 ),A(0,0,2),E(0,0,0),B(0,2,0), 设,则, 设,则得, 所以,因为点到平面的距离为定值2, 所以当最小时与平面所成
18、角最大, 此时,即,得,所以, 所以, 设平面的一个法向量为, , 则由,可得,则, 平面的一个法向量为, 设二面角的大小为, 则 （吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）如图,在四棱锥中,底面,四边形是直角梯形, .()求证:平面平面;()若二面角的余弦值为,求.PABCD【答案】解:()PA平面ABCD, BC平面ABCD,PABC, 又ABBC,PAAB=A, BC平面PAB, BC平面PBC, 平面PBC平面PAB ()以A为原点,AB为x轴、AP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. DACPByxz则B(2,0,0),C(2,1,0),D(1,1,0). 设
19、P(0,0,a)(a0), 则=(0,1,0),=(2,1,-a), =(1,0,0) 设n1=(x1,y1,z1)为面BPC的一个法向量, 则n1=n1=0, 即 取x1=a,y1=0,z1=2,得n1=(a,0,2). 同理,n2=(0,a,1)为面DPC的一个法向量 依题意, |cosn1,n2|=, 解得a2=2,或a2=-7(舍去),所以= （吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)中,点在上.()若是中点,求证:平面;()当时,求二面角的余弦值.AA1BCDB1C1【答案】证明:(1)证明:连结BC1,交B1C于E,DE. 直三棱柱ABC-A1B1C1,D是AB中点, 侧面B B1C1C为矩形,DE为ABC1的中位线, DE/ AC1. 因为 DE平面B1CD, AC1平面B1CD, AC1平面B1CD. (2) ACBC, 所以如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz. 则B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 0, c),B1 (3, 0, 4). 设D (a, b, 0)(,), 点D在线段AB上,且, 即. . 所以,. 平面BCD的法向量为. 设平面B1 CD的法向量为, 由 , 得 , 所以,. 设二面角的大小为, . 所以二面角的余弦值为.
