1、2015-2016学年河南省平顶山市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数z=2i，则z的值为（）A5BC3D2在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A30B20C15D103观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=（）A28B76C123D1994命题“对任意xR，都有x20”的否定为（）A对任意xR，都有x20B不存在xR，都有x20C存在x0R，使得x020D存在x0R，使得x0205若变量x，y满足约束
2、条件，则2x+y的最大值是（）A2B4C7D86一排9个座位坐了3个三口之家若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A33!B3（3!）3C（3!）4D9!7已知数列an的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10=（）A1B9C10D558通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B在犯错误的概率不超
3、过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”9直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A30B45C60D9010从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）ABCD11设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR），若x=1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）ABCD12如图，在正方体ABCDA
4、1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是（）A，1B，1C，D，1二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分13i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=23i，则z2=14曲线y=e5x+2在点（0，3）处的切线方程为15设函数f（x）=ax2+c（a0），若f（x）dx=f（x0），0x01，则x0的值为16已知函数f（x）=x2+ax+b（a，bR）的值域为0，+），若关于x的不等式f（x）c的解集为（m，m+6），则实数c的值为三、解答题：本大题共4小题。解答应写出文字说明，证
5、明过程或演算步骤17四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积18盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）19设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并
6、且F1PF1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上20设函数f（x）=lnx+，mR（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围选做题：甲选修4-1：几何证明选讲21如图，平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于F点，求ADF与AFE的面积之比SADF：SAFE乙选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程丙选修4-5：不等式选讲23求不等式|x+2|x|
7、1的解集甲选修4-1：几何证明选讲24如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点（1）证明：EFBC；（2）若AG等于O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积乙选修4-4：坐标系与参数方程25在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（）求C2的方程；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|丙选修4-5：不等式选讲26设a，b，c，d均为正数，且a+b=c
8、+d，证明：（1）若abcd，则+；（2）+是|ab|cd|的充要条件2015-2016学年河南省平顶山市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数z=2i，则z的值为（）A5BC3D【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由z求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解【解答】解：由z=2i，得z=（2i）（2+i）=4i2=5故选：A2在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A30B20C15D10【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x
9、）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数然后求解即可【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15故选：C3观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=（）A28B76C123D199【考点】归纳推理【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，所求值为数列中的第十项根据数列的递推规律求解【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，
10、每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十项为123，即a10+b10=123，故选C4命题“对任意xR，都有x20”的否定为（）A对任意xR，都有x20B不存在xR，都有x20C存在x0R，使得x020D存在x0R，使得x020【考点】命题的否定；全称命题【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意xR，都有x20”的否定为存在x0R，使得x020故选D5若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A2B4C7D8【考点】简单线性
11、规划【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：目标函数Z=2x+y，ZO=0，ZA=4，ZB=7，ZC=4，故2x+y的最大值是7，故选：C6一排9个座位坐了3个三口之家若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A33!B3（3!）3C（3!）4D9!【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】完成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，将两步结果相乘即可【解答】解：第一步，分别将三口之家“捆绑”起来，共有3！3！3！种
12、排法；第二步，将三个整体排列顺序，共有3！种排法故不同的作法种数为3！3！3！3！=3!4故选 C7已知数列an的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10=（）A1B9C10D55【考点】等比数列的前n项和；数列的求和【分析】根据题意，用赋值法，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10s9=s1=a1=1，进而由数列的前n项和的性质，可得答案【解答】解：根据题意，在sn+sm=sn+m中，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10s9=s1=a1=1，根据数列的性质，有a10=s10s9，即a10=1，故选A8通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好
13、某项运动，得到如下的列联表： 男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【考点】独立性检验的应用【分析】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635，得到有99%以上
14、的把握认为“爱好这项运动与性别有关”【解答】解：由题意算得，7.86.635，有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选：C9直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB
15、，则三角形A1DB为等边三角形，DA1B=60故选C10从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）ABCD【考点】相互独立事件的概率乘法公式【分析】利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解【解答】解：P（A）=，P（AB）=由条件概率公式得P（B|A）=故选：B11设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR），若x=1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）ABCD【考点】
16、利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可【解答】解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）y=f（x）ex+exf（x）=exax2+（b+2a）x+b+c，由x=1为函数f（x）ex的一个极值点可得，1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a（b+2a）+b+c=0c=a法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=，且f（1）=2ab，f（0）=a对于A，由图得a0，f（
17、0）0，f（1）=0，不矛盾，对于B，由图得a0，f（0）0，f（1）=0，不矛盾，对于C，由图得a0，f（0）0，x=0b0f（1）0，不矛盾，对于D，由图得a0，f（0）0，x=1b2af（1）0与原图中f（1）0矛盾，D不对法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立故选：D12如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是（）A，1B，1C，D，1【考点】直线与平面所成的角【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是再
18、利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是不妨取AB=2在RtAOA1中， =sinC1OA1=sin（2AOA1）=sin2AOA1=2sinAOA1cosAOA1=，=1sin的取值范围是故选：B二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分13i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=23i，则z2=2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数z2【解答】解：设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，复数z1，z2的实部相反
19、，虚部相反，z1=23i，所以z2=2+3i故答案为：2+3i14曲线y=e5x+2在点（0，3）处的切线方程为y=5x+3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程【解答】解；y=5e5x，k=5，曲线y=e5x+2在点（0，3）处的切线方程为y3=5x，即y=5x+3故答案为：y=5x+315设函数f（x）=ax2+c（a0），若f（x）dx=f（x0），0x01，则x0的值为【考点】定积分的简单应用【分析】求出定积分01f（x）dx，根据方程ax02+c=01f（x）dx即可求解【解答】解：f（x）=ax2+c（a0），f（x0）=
20、01f（x）dx=+cx01=+c又f（x0）=ax02+cx02=，x00，1x0=16已知函数f（x）=x2+ax+b（a，bR）的值域为0，+），若关于x的不等式f（x）c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9【考点】一元二次不等式的应用【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b（a，bR）的值域为0，+），f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即=a24b=0则b=不等式f（x）c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+c解集为（m，m+6），则x
21、2+ax+c=0的两个根为m，m+6|m+6m|=6解得c=9故答案为：9三、解答题：本大题共4小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与
22、三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积【解答】解：（1）在BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD22BCCDcosC=1312cosC，在ABD中，AB=1，DA=2，A+C=，由余弦定理得：BD2=AB2+AD22ABADcosA=54cosA=5+4cosC，由得：cosC=，则C=60，BD=；（2）cosC=，cosA=，sinC=sinA=，则S=ABDAsinA+BCCDsinC=12+32=218盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次
23、随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可【解答】解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况取出的2个球颜色相同的概率P=（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1P（X=3）P（X
24、=4）=，X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E（X）=19设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；（2）设P（x0，y0），F1（c，0），F2（c，0），其中利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率=，直线F2P的方程为即可得出Q得到直线F1Q的斜率=利用F1QF1P，可得=化为与椭圆的方程联立即
25、可解出点P的坐标【解答】解：（1）椭圆E的焦距为1，解得故椭圆E的方程为（2）设P（x0，y0），F1（c，0），F2（c，0），其中由题设可知：x0c则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=故直线F2P的方程为令x=0，解得即点Q因此直线F1Q的斜率=F1QF1P，=化为联立，及x00，y00，解得，即点P在定直线x+y=1上20设函数f（x）=lnx+，mR（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点【分析】（）m=e时，f（x）=l
26、nx+，利用f（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（）由函数g（x）=f（x），令g（x）=0，求出m；设（x）=m，求出（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（）由ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；即h（x）=f（x）x在（0，+）上单调递减；h（x）0，求出m的取值范围【解答】解：（）当m=e时，f（x）=lnx+，f（x）=；当x（0，e）时，f（x）0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x（e，+）时，f（x）0，f（x）在（e，+）上是增函数；x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（）函数g（x）=f（x）=（x0），令g
27、（x）=0，得m=x3+x（x0）；设（x）=x3+x（x0），（x）=x2+1=（x1）（x+1）；当x（0，1）时，（x）0，（x）在（0，1）上是增函数，当x（1，+）时，（x）0，（x）在（1，+）上是减函数；x=1是（x）的极值点，且是极大值点，x=1是（x）的最大值点，（x）的最大值为（1）=；又（0）=0，结合y=（x）的图象，如图；可知：当m时，函数g（x）无零点；当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；当0m时，函数g（x）有两个零点；当m0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m时，函数g（x）无零点；当m=或m0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0m时，函数g（x）
28、有两个零点；（）对任意ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；设h（x）=f（x）x=lnx+x（x0），则h（b）h（a）h（x）在（0，+）上单调递减；h（x）=10在（0，+）上恒成立，mx2+x=+（x0），m；对于m=，h（x）=0仅在x=时成立；m的取值范围是，+）选做题：甲选修4-1：几何证明选讲21如图，平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于F点，求ADF与AFE的面积之比SADF：SAFE【考点】相似三角形的性质【分析】通过ABCD是平行四边形，推出，利用AFECFD，求出然后求解 SADF：SAFE【解答】（21甲）解：因为ABCD是平
29、行四边形，所以ABDC，AB=DC，且又AFE=CFD，故AFECFD，因为ADF与AFE的高相等，所以 SADF：SAFE=DF：FE=3：1乙选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】化参数方程与普通方程，求出圆的圆心与半径，求出切线的斜率，然后求解切线方程，转化为极坐标方程【解答】解：因为曲线C的参数方程为（t为参数），所以其普通方程为x2+y2=2，即曲线C为以原点为圆心，为半径的圆由于点（1，1）在圆上，且该
30、圆过（1，1）点的半径的斜率为1，所以切线l的斜率为1，其普通方程为x+y2=0，化为极坐标方程为cos+sin=2，即丙选修4-5：不等式选讲23求不等式|x+2|x|1的解集【考点】绝对值不等式的解法【分析】通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可【解答】解：当x2时，原不等式可以化为：（x+2）（x）1，即21，所以x2当2x0时，原不等式可以化为（x+2）（x）1，即x，所以2x当x0时，原不等式可以化为（x+2）x1，即21，此时无解故原不等式的解集为x|x甲选修4-1：几何证明选讲24如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD
31、交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点（1）证明：EFBC；（2）若AG等于O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积【考点】相似三角形的判定【分析】（1）通过AD是CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OEAE，利用SABCSAEF计算即可【解答】（1）证明：ABC为等腰三角形，ADBC，AD是CAB的角平分线，又圆O分别与AB、AC相切于点E、F，AE=AF，ADEF，EFBC；（2）解：由（1）知AE=AF，ADEF，AD是EF的垂直平分线，又EF为圆O的弦，O在AD上，连结
32、OE、OM，则OEAE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，OAE=30，ABC与AEF都是等边三角形，AE=2，AO=4，OE=2，OM=OE=2，DM=MN=，OD=1，AD=5，AB=，四边形EBCF的面积为=乙选修4-4：坐标系与参数方程25在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（）求C2的方程；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1
33、的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线=与C1的交点A的极径为1，以及射线=与C2的交点B的极径为2，最后根据|AB|=|21|求出所求【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（为参数）（）曲线C1的极坐标方程为=4sin，曲线C2的极坐标方程为=8sin射线=与C1的交点A的极径为1=4sin，射线=与C2的交点B的极径为2=8sin所以|AB|=|21|=丙选修4-5：不等式选讲26设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若abcd，则+；（2）+是|ab|cd|的充要
34、条件【考点】不等式的证明；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，abcd，即可得证；（2）从两方面证，若+，证得|ab|cd|，若|ab|cd|，证得+，注意运用不等式的性质，即可得证【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，abcd，则，即有（+）2（+）2，则+；（2）若+，则（+）2（+）2，即为a+b+2c+d+2，由a+b=c+d，则abcd，于是（ab）2=（a+b）24ab，（cd）2=（c+d）24cd，即有（ab）2（cd）2，即为|ab|cd|；若|ab|cd|，则（ab）2（cd）2，即有（a+b）24ab（c+d）24cd，由a+b=c+d，则abcd，则有（+）2（+）2综上可得， +是|ab|cd|的充要条件2016年8月19日
