1、专题9.6 双曲线【基础巩固】一、填空题1在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距是_【答案】2【解析】由已知，得a27，b23，则c27310，故焦距为2c2.2(2017南京模拟)设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_【答案】yx【解析】因为2b2，所以b1，因为2c2，所以c，所以a，所以双曲线的渐近线方程为yxx. 3(2015广东卷改编)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为_【答案】14(2017苏北四市联考)已知双曲线C：1(a0，b0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为
2、_【答案】【解析】右焦点F到渐近线的距离为2，F(c,0)到yx的距离为2，即2，又b0，c0，a2b2c2，b2，又点F到原点的距离为3，c3，a，离心率e.5(2017南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线1(a0，b0)的左顶点为M，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足MAMB，则该双曲线的离心率是_【答案】2【解析】由题意可得AFMF，且AF，MFac，则ac，即b2a2acc2a2，所以e2e20(e1)，解得e2.6(2017南京师大附中模拟)已知双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x2(y2)21没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_【答案】(1
3、,2)7(2017泰州模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为_【答案】1【解析】由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线yx上，因此有解得所以此双曲线的方程为1.8已知双曲线E：1(a0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB3BC，则E的离心率是_【答案】2【解析】由已知得AB，BC2c，232c.又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，两边同除以a2得22320，即2e23e20，解得e2或e1(舍去)二、解答题9(201
4、7镇江期末)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点 P(4，)(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0.0.10已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP，求AOB的面积解(1)依题意得解得【能力提升】11双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.【答案】2【解析】取B为双曲线右焦点，如图所示四边形OABC为
5、正方形且边长为2，cOB2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.12(2017苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P是右支上一点若PF1F2是顶角为的等腰三角形，则双曲线C的率心率是_【答案】【解析】由题意可得PF2F1F22c，PF2F1，则PF12c，由双曲线定义可得PF1PF22c2c2a，则(1)ca，则双曲线C的离心率是e.13设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，若点 P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则PF1PF2的取值范围是_【答案】(2，8)14已知双曲线E：1(a0，b0
6、)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由解(1)因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，从而双曲线E的离心率e.由(1)知，双曲线E的方程为1.如图，设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，由SOABOC|y1y2|，得8，即m24|4k2|4(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因为4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因为m24(k24)，所以0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.
