1、专题3.2 利用导数研究函数的极值与最值【考纲解读】内 容要 求备注ABC导数及其应用利用导数研究函数的单调性与极值【直击考点】题组一常识题1教材改编 函数f(x)ex2x的单调递增区间是_【解析】 f(x)ex2，令f(x)0，解得xln 2，则函数f(x)ex2x的单调递增区间为(ln 2，)2教材改编 函数f(x)x312x的极小值是_，极大值是_【解析】 由题意得f(x)3x212，令f(x)0，解得x2或x2.当x(，2)时，f (x)0，3教材改编 一条长为2a的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长分别是_，_【解析】设两段铁丝的长分别为x，
2、2ax.则两个正方形的面积之和为S，则S(x)，令S(x)0得xa.当xa时，S(x)a时，S(x)0.所以S在xa处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是a.题组二常错题4函数yx2ln x的单调递减区间为_【解析】 yx2ln x，yx(x0)令y0，得00时，ex1，aex2，所以00，得x1，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，)，所以函数f(x)在(2，)上是增函数【知识清单】考点1 运用导数求函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数考点2 运用导数
3、求函数的极值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值考点3 运用导数求函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值【考点深度剖析】 【重点难点突破】考点1 运用导数求函数的单调性【1-1】已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间【答案】(1) k1. (2)
4、 单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)x(1，)时，f(x)0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值【解析】(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a.x(，ln a)，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a 0时，函数f(x
5、)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值【2-2】已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取极值10，则f(2)_.【答案】18【思想方法】求函数极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；(4)由f(x)0根的两侧导数的符号来判断f(x)在这个根处取极值的情况【温馨提醒】判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值考点3 运用导数求函数的最值【3-1】 已知函数f(x)
6、(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值【答案】(1) 单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2) (1k)e. 【解析】(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的
7、最小值为f(k1)ek1；当k11时，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.【3-2】 设函数f(x)ln xax，g(x)exax，其中a为实数若f(x)在(1，)上是单调减函数，且g(x)在(1，)上有最小值，求a的取值范围【答案】(e，)【思想方法】求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【温馨提醒】极值是函数局部性质，最值是函数整体性质【易错试题常警惕】1、已知函数的极值求参数问题，一定要注意在极值点处左右两端导函数的符号如：已知在时有极值，求，的值【分析】，由题意得，即，解之得或，当，时，恒成立，所以在处无极值，舍去所以，【易错点】用导数求极值时容易忽视左右两端导函数的符号而致误
