1、4.5 函数的应用（二）4.5.1 函数的零点与方程的解 问题导入 在“函数的应用(一)”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法.本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.问题导入 活动1：观察下表，求出一元二次方程的实数根，画出相应二次函数的简图，并写出函数图象与轴交点的坐标.方程 2 2 3=02 2+1=02 2+3=0函数 =2 2 3=2 2+1=2 2+3 函数 图象(简图)方程的实数根 1=1,
2、1=3.1=2=1.无实数根 图象与轴的交点(1,0),(3,0)(1,0)无交点 问题导入 Q1：方程的根与函数图象与轴交点的横坐标之间有什么关系？Q2：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应二次函数的图象与交点的关系，上述结论是否仍然成立？活动2：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.像+2 6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？新知探索 对于一般函数=()，我们把使()=0的实数叫做函数=()的零点.这样，函数=()的零点就是方程()=0的实数解，也就是函数=()
3、的图象与轴的公共点的横坐标.所以 方程()=0有实数解 函数=()有零点 函数=()的图象与轴有公共点 注：零点不是点，是一个实数.新知探索 辨析1：判断正误.(1)函数的零点是一个点.()(2)任何函数都有零点.()(3)函数=的零点是(0,0).()(4)若函数()满足()()0，则函数在区间,上至少有一个零点.()(5)函数的零点不是点，它是函数=()的图象与轴交点的横坐标，是方程()=0的根.()答案：，.新知探索 由此可知，求方程()=0的实数解，就是确定函数=()的零点.一般地，对于不能用公式求解的方程()=0，我们可以把它与相应的函数=()联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，
4、从而得到方程的解.下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手.新知探索 活动3：对于二次函数()=2 2 3,观察它的图象，发现它在区间2,4上有零点.这时，函数图象与轴有什么关系？在区间2,0上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数()的取值来刻画这种关系？新知探索 活动4：再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与轴的关系，并探究用()的取值来刻画这种关系的方法.新知探索 可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”轴.函数在端点=2和=4的取值异号，即(2)(4)0，函数()=2 2 3在区间(2,4)内有零点=3
5、，它是方程2 2 3=0的一个根.同样地，(2)(0)0，函数()=2 2 3在(2,0)内有零点=1，它是方程2 2 3=0的一个根.新知探索 一般地，我们有：函数零点存在定理 如果函数=()在区间,上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0，那么，函数=()在区间(,)内至少有一个零点，即存在 (,)，使得()=0，这个就是方程()=0的解.例析 例1.求方程+2 6=0的实数解的个数.(法一)解：设函数()=+2 6，利用计算工具，列出函数=()的对应值表，并画出图象.1-4 2-1.3069 3 1.0986 4 3.3863 5 5.6094 6 7.7918 7 9.9459 8
6、 12.0794 9 14.1972 例析 由表和图可知，(2)0，则(2)(3)0.由函数的零点存在定理可知，函数()=+2 6在区间(2，3)内至少有一个零点.容易证明，函数()=+2 6，(0,+)是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程+2 6=0只有一个实数解.1-4 2-1.3069 3 1.0986 4 3.3863 5 5.6094 6 7.7918 7 9.9459 8 12.0794 9 14.1972 例1.求方程+2 6=0的实数解的个数.例析(法二)解：+2 6=0，=2+6.即当=2+6的解就是方程+2 6=0的解.令(1)=，(2)=2+6.而要求=2+6的解就是
7、要看(1)=，(2)=2+6的图象有几个交点.由图知，两函数图象有一个交点，即原方程有一个解.练习 题型一：求函数的零点 例1.函数()=2的零点是（）.1 .2 .3 .4 答案：因为2=0时，=1.所以函数()=2的零点是1.故选A.变1.函数()=(1)(2+3 10)的零点有_个.答案：因为()=0时，(1)=0或(2+3 10)=0.所以=1或=5或=2.即函数()=(1)(2+3 10)的零点有3个.练习 题型二：判断零点所在的区间 例2.函数()=2 1的零点所在的区间是（）.(1,+).(12,1).(13,12).(14,13)答案：(12)=212 112=213 2 0，
8、()在(12,1)内有零点.故选B.练习 变2.二次函数()=2+的部分对应值如下表：不求，的值，判断方程2+=0的两根所在区间是().A.(3,1)和(2,4)B.(3,1)和(1,1)C.(1,1)和(1,2)D.(,3)和(4,+)-3-2-1 0 1 2 3 4 6 -4-6-6-4 6 解：易知()=2+的图象是一条连续不断的曲线，又(3)(1)=6 (4)=24 0.3 .2 .1 .0 2+2 3,0,答案：当 0时，由()=2+2 3得1=3，2=1（舍去）；当 0时，由()=2+得=2.所以函数的零点个数为2.故选B.练习 变3.已知函数()=|2 4|的零点个数为3，则=_.解：令函数()=|2 4|=0，可得|2 4|=，由于函数()=|2 4|的零点个数为3，故函数=|2 4|的图象和直线=有三个交点，如图所示.由图可知=4.课堂小结&作业 课堂小结：(1)函数零点的概念；(2)函数零点存在定理.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P144的1-2题.
