1、第5课时正弦定理、余弦定理的应用(1) 教学过程一、 问题情境问题复习前两节的例题、练习、习题,总结一下:正弦定理、余弦定理能解决实际中的哪些问题?(正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系,在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用.下面,我们将举例来说明解三角形在实际中的一些应用)二、 数学建构正弦定理:=2R;a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;abc=sinAsinBsinC.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC;cosA=,cosB=,cosC=.三、 数学运用【例1】如图,
2、位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40n mile的B处有一艘渔船遇险,正在原地等待营救.信息中心立即把这一消息告知在其南偏西30方向、相距20n mile的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,求cos的值.2(见学生用书课堂本P9)(例1)处理建议思路解析:本例考查了正弦定理、余弦定理的建模应用.如图,确定,关键是确定ACB,于是问题转化为求ABC中的ACB,应用问题就转化为解三角形问题.规范板书解连接BC,在ABC中,AB=40,AC=20,BAC=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=402+202+24020=2800, BC=2
3、0.由正弦定理得sinACB=.由BAC=120,知ACB为锐角,则cosACB=.由=ACB+30,得cos=cos(ACB+30)=cosACBcos30-sinACBsin30=.题后反思(1) 熟练掌握正、余弦定理的应用;(2) 测量角度,首先应明确方位角、方向角等含义;(3) 在解应用题时,首先分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图;(4) 解题时要注意体会正弦定理、余弦定理“联袂”使用的优点,同时注意三角函数知识在求解过程中的应用.变式一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P南偏西75的方向、距塔68n mile的M处,下午2时到达这座灯塔东南方向的N处,求这只船
4、的航行速度.(变式)规范板书解如图,在PMN中,由正弦定理得MN=34, v=(n mile/h).即这只船的航行速度为n mile/h.【例2】在海岸A处,发现北偏东45方向、距离A处(-1)n mile的B处有一艘走私船,若在A处北偏西75方向、距离A处2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船,此时,走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30的方向逃跑,问:缉私船沿什么方向能最快追上走私船?3(见学生用书课堂本P10)处理建议思路解析:本例考查了正弦定理、余弦定理的建模应用.如图,注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在D处相遇,则可先在ABC
5、中求出BC,再在BCD中求出BCD.规范板书解设缉私船用了th在D处追上走私船(如图),则有CD=10t,BD=10t.在ABC中,AB=-1,AC=2,BAC=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=22+-22(-1)cos120=6, BC=.(例2)由正弦定理得sinABC=, ABC=45, BC与正北方向垂直.在BCD中,CBD=90+30=120,由正弦定理得sinBCD=, BCD=30. 缉私船沿北偏东60的方向能最快追上走私船.题后反思(1) 测量角度,首先应明确方位角、方向角等含义;(2) 在解应用题时,首先分析题意,分清已知与所求,再根据题意
6、正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题时要注意体会正弦定理、余弦定理“联袂”使用的优点.变式如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C北偏东40的方向上,灯塔B在观察站C南偏东60的方向上,则灯塔A在灯塔B北偏西多少度的方向上?(变式)规范板书解由已知得ACB=180-40-60=80,又AC=BC, A=ABC=50,ABD=CBD-ABC=60-50=10. 灯塔A在灯塔B北偏西10的方向上.*【例3】用同样高度的两个测角仪AB和CD分别测得正西方向上空的气球E的仰角是和.已知B,D间的距离为a,测角仪的高度是b,求气球的高度.4(
7、例3)处理建议在RtEGA中求解EG,只有角一个条件,需要再有一边长被确定,而EAC中有较多已知条件,故可在EAC中考虑EA边长的求解,而在EAC中有角,EAC=180-与边AC=a,故可以利用正弦定理求解EA.规范板书解在ACE中,AC=BD=a,ACE=,AEC=-,由正弦定理得AE=.在RtAGE中,EG=AEsin=. EF=FG+GE=b+.答:气球的高度是b+.题后反思(1) 在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角;(2) 准确理解题意,分清已知与所求,画出示意图;(3) 运用正(余)弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注
8、意等价转化思想的运用.变式你还能用其他方法求出气球的高度吗?处理建议本题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设EG=x,在RtEGA中,利用表示AG;在RtEGC中,利用表示CG,而CG-AG=CA=a,故可以求出EG,从而求出气球的高度EF.四、 课堂练习 1. 设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=120. 2. 地上画了一个角,即BDA=60.某人从角的顶点D出发,沿角的一边DA行走10m后,拐弯往另一方向行走14m正好到达BDA的另一边BD上的一点,我们将该点记为E,则E与D之间的距离为16m.提示如图,设ED=xm
9、,则由余弦定理得142=102+x2-2x10cos60,整理得x2-10x-96=0,解得x=16或x=-6(舍去).所以E与D之间的距离为16m.(第2题)3. 江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得两船的俯角分别为45和30,若这两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距30m.提示设炮台顶部为C,底部为O,两条船分别为A,B,在RtAOC与RtBOC中,OA=OCtan45=301=30,OB=OCtan60=30=30.在OAB中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OAOBcosAOB=302+-23030cos30=900, AB=30. 两条船相距30m.五、 课堂小结 1. 通过本节课的学习,我们知道正弦定理、余弦定理有着非常广泛的应用.如果我们抽去每个应用题中与生产、生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就需要我们在解决实际问题的过程中,不断提高分析问题和解决问题的能力,以及将实际问题转化为抽象的数学问题的能力. 2. 理解各种应用问题中的有关名词、术语,如坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等.
