1、课时达标训练(十一) 椭圆A组大题保分练1(2019扬州期末)如图，在平面直角坐标系中，椭圆M：1(ab0)的离心率为，左、右顶点分别为A，B，线段AB的长为4.点P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1PA，l2PB，直线l1，l2交于点C.(1)若点C的横坐标为1，求点P的坐标；(2)设直线l1与椭圆M的另一个交点为Q，且，求的取值范围解：由题意得解得b2a2c23，椭圆M的方程是1且A(2，0)，B(2，0)法一：(1)设P(x0，y0)，则kPA，l1PA，直线l1的方程为y(x2)同理得直线l2的方程为y(x2)联立方程，得解得又y0，点C的坐标为.点C的横坐标为1，x01，
2、又P在椭圆M上，且位于第一象限，y0 ，点P的坐标为.(2)设Q(xQ，yQ)，解得点Q在椭圆M上，1，得7x36(1)x0721000，解得x02(舍)或x0.P在椭圆M上，且位于第一象限，02，解得，的取值范围为.法二：(1)设AP的斜率为k，P(x0，y0)，P在椭圆M上，且位于第一象限，0k.kkBP.直线BP的斜率为.联立方程，得解得即P.l1PA，kAC，则直线l1的方程为y(x2)，l2PB，kBCk，则直线l2的方程为yk(x2)由得即C.点C的横坐标为1，1，解得k.0k，k，点P的坐标为.(2)设Q(xQ，yQ)，C(xC，yC)，由(1)得直线l1的方程为y(x2)，联立
3、方程，得得(3k24)x216x1612k20，得xQ，1，0k，的取值范围为.2(2019苏北三市一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m，0)(m为常数，且m(0，2)的直线与椭圆C交于A，B两点，与l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由解：(1)由题意，得解得所以a22，b21，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由题意，当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意，所以设直线AB的斜率为
4、k，则直线AB的方程为yk(xm)(k0)又准线方程为x2，所以P(2，k(2m)，由得x22k2(xm)22，即(12k2)x24k2mx2k2m220，xA，B，xAxB，所以xD，yDk，所以kOD，从而直线OD的方程为yx，(也可用点差法求解)所以Q， 所以以PQ为直径的圆的方程为(x2)2yk(2m)0，即x24x2my2y0因为该式对任意k0恒成立，令y0，得x2，所以以PQ为直径的圆经过定点(2，0)3(2018南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的
5、垂线交直线y于点Q，求的值解：(1)由题意得解得所以椭圆的标准方程为y21.(2)由题意知OP的斜率存在当OP的斜率为0时，OP，OQ，所以1.当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为ykx.由得(2k21)x22，解得x2，所以y2，所以OP2.因为OPOQ，所以直线OQ的方程为yx.由得xk，所以OQ22k22.所以1.综上，可知1.4已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为(xc)2y2a2c2(c为半焦距)，直线l：ykxm(k0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A，B.(1)求椭圆M的方程和直线l的方程；(2)试在圆N上求一点P，使2.
6、解：(1)由题意知解得a2，c1，所以b，所以椭圆M的方程为1.圆N的方程为(x1)2y25，联立消去y，得(34k2)x28kmx4m2120，因为直线l：ykxm与椭圆M只有一个公共点，所以64k2m24(34k2)(4m212)0得m234k2, 由直线l：ykxm与圆N只有一个公共点，得，即k22kmm255k2，将代入得km1，由且k0，得k，m2.所以直线l的方程为yx2.(2)将k，m2代入，可得A.又过切点B的半径所在的直线l为y2x2，所以得交点B(0，2)，设P(x0，y0)，因为2，则8，化简得7x7y16x020y0220，又P(x0，y0)满足xy2x04，将7得3x
7、02y050，即y0.将代入得13x22x090，解得x01或x0，所以P(1，1)或P.B组大题增分练1(2019南通等七市二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：y21，椭圆C2：1(ab0)，C2与C1的长轴长之比为1，离心率相同(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设P为椭圆C2上一点射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：k1k2为定值解：(1)设椭圆C2的焦距为2c，由题意，知a2，a2b2c2.得b，因此椭圆C2的标准方程为1.(2)证明：1当直线OP的斜率不
8、存在时，PA1，PB1，则32.2当直线OP的斜率存在时，设直线OP的方程为ykx，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k21)x24.所以xx，同理x，所以x2x，由题意，知xP与xA同号，xA，xB互为相反数，所以xPxA，xAxB，从而32.所以32，为定值设P(x0，y0)，则直线l1的方程为yy0k1(xx0)，即yk1xy0k1x0，记ty0k1x0，则l1的方程为yk1xt，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k1)x28k1tx4t240，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以(8k1t)24(4k1)(4t24)0，即4kt210.将ty0k1x0代入上式，整理得，(x4
9、)k2x0y0k1y10.同理可得，(x4)k2x0y0k2y10，所以k1，k2为关于k的方程(x4)k22x0y0ky10的两根，从而k1k2.又点P(x0，y0)在椭圆C2：1上，所以y2x，所以k1k2，为定值2.如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O：x2y24，椭圆C：y21，A为椭圆右顶点过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.(1)求k1k2的值；(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数，使得kPQkBC？若存在，求的值；若不存在，说明
10、理由；(3)求证：直线AC必过点Q.解：(1)设B(x0，y0)，则C(x0，y0)，y1，因为A(2，0)，所以k1，k2，所以k1k2.(2)设直线AP方程为yk1(x2)，联立消去y，得(1k)x24kx4(k1)0，解得xP，yPk1(xP2)，联立消去y，得(14k)x216kx4(4k1)0，解得xB，yBk1(xB2)，所以kBC，kPQ，所以kPQkBC，故存在常数，使得kPQkBC.(3)证明：设直线AC的方程为yk2(x2)，当直线PQ与x轴垂直时，Q，则P，所以k1，即B(0，1)，C(0，1)，所以k2，则kAQk2，所以直线AC必过点Q.当直线PQ与x轴不垂直时，设直
11、线PQ的方程为y，联立解得xQ，yQ，因为k2，所以kAQk2，A，Q，C三点共线，故直线AC必过点Q.3(2019南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)过点，离心率为，A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点(1)求椭圆C的方程；(2)若点E在直线xy20上，且3，求EMA的面积；(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且D点在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求的值解：(1)因为椭圆C过点，离心率为，所以1，1e2，解得a22，b21，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知B(0，1)，设M(
12、xM，yM)，E(xE，yE)由3，得(xE，yE1)3(xM，yM1)，则xE3xM，yE3yM2.又点E在直线xy20上，所以yMxM，因为M在椭圆C上，所以y1，将代入上式，得x.所以|xM|，从而|xE|，所以SEMASEABSMAB22.(3)法一：由(1)知，A(0，1)，设D(0，m)，0m1，M(x1，y1)，N(x2，y2)因为直线MN的斜率为1，所以直线MN的方程为yxm，联立，得消去y，得3x24mx2m220，则x1，2，所以x1x2，x1x2.又直线MB的方程为yx1，直线NA的方程为yx1，所以易得yP.将y1x1m，y2x2m代入，得yP.所以(0，m)(xP，y
13、P)myPm1.法二：由(1)知A(0，1)，设M(x0，y0)，则y1.因为直线MN的斜率为1，所以直线MN的方程为yxx0y0，则D(0，y0x0)，联立方程，得消去y，得3x24(x0y0)x2(x0y0)220，16(x0y0)224(x0y0)21，则x1，2，所以xNx0，所以xN，yN，所以直线NA的方程为yx1x1，直线MB的方程为yx1，所以易得yP.又y1，所以yP，所以(0，y0x0)(xP，yP)(y0x0)1.4.(2018江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点为F1(，0)，F2(，0)，圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设
14、直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于A，B两点若OAB的面积为，求直线l的方程解：(1)因为椭圆C的焦点为F1(，0)，F2(，0)，可设椭圆C的方程为1(ab0)又点在椭圆C上，所以解得所以椭圆C的方程为y21.因为圆O的直径为F1F2，所以圆O的方程为x2y23.(2)设直线l与圆O相切于点P(x0，y0)(x00，y00)，则xy3，所以直线l的方程为y(xx0)y0，即yx.由消去y，得(4xy)x224x0x364y0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以(24x0)24(4xy)(364y)48y(x2)0.因为x00，y00，所以x0，y01.所以点P的坐标为(，1)因为OAB的面积为，所以ABOP，从而AB.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得x1，2，所以AB2(x1x2)2(y1y2)2.因为xy3，所以AB2，即2x45x1000，解得x(x20舍去)，则y，因此P的坐标为.所以直线l的方程为y，即yx3.
