1、星期五(函数与导数问题)2016年_月_日已知函数f(x)exmx2，g(x)mxln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m1时，试推断方程|g(x)|是否有实数解；(3)证明：在区间(0，)上，函数yf(x)的图象恒在函数yg(x)的图象的上方(1)解由题意可得：f(x)exm.当m0，f(x)0，所以当m0时，函数f(x)的单调增区间为(，)当m0时，令f(x)0，即exm0，可得xln(m)；令f(x)0，即exm0，可得xln(m)所以当m0时，函数f(x)的单调增区间为ln(m)，)，单调减区间为(，ln(m)(2)解当m1时，g(x)xln x(x0)，易得g(x)1.令
2、g(x)0，可得0x1，令g(x)0，可得x1.故g(x)在x1得取得极大值，亦即最大值即g(x)g(1)1，|g(x)|1.令h(x)，所以h(x).令h(x)0，可得0xe，令h(x)0，可得xe，故h(x)在xe取得极大值，亦即最大值，h(x)h(e)1.所以方程|g(x)|无实数解(3)证明由题意可知本题即证：当x(0，)时，f(x)g(x)恒成立令F(x)f(x)g(x)exln x2(x0)，则F(x)ex.令H(x)xex1，则H(x)exxexex(x1)又x(0，)，H(x)0，函数H(x)在(0，)上单调递增H(0)1.又H(1)e10，设x0为函数H(x)的零点，则x0(0，1)，即H(x0)x0ex010，即x0ex01，x0ex0，ex0，当x(0，x0)时，H(x)0，即x(0，x0)时，函数F(x)单调递减，当x(x0，)时，H(x)0，即x(x0，)时，函数F(x)单调递增x0为函数F(x)的极小值点，亦即最小值点，F(x)F(x0)ex0ln x02x02220，F(x)0，即x(0，)时，f(x)g(x)，原题得证
