1、第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1圆(x1)2y21与直线yx的位置关系是_解析 因为圆(x1)2y21的圆心为(1，0)，半径r1，所以圆心到直线yx的距离为1r，故圆与直线相交答案 相交2. 圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是_解析 圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为r11，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径r22，故两圆的圆心距O1O2，而r2r11，r1r23，则有r2r1O1O2r1r2，故两圆相交答案 相交3平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是_解析 因为所求直线与直线2xy10平行，所以设所求的直线方程为2xym0.因为所求直线与圆x
2、2y25相切，所以，所以m5.即所求的直线方程为2xy50或2xy50.答案 2xy50或2xy504(2018徐州月考)若经过点P(3，0)的直线与圆x2y24x2y30相切，则圆心坐标是_；半径为_；切线在y轴上的截距是_解析 (x2)2(y1)22，所以圆心坐标为(2，1)，半径为；经过点P的切线方程为yx3，所以在y轴上的截距为3.答案 (2，1)35(2018石家庄质检改编)圆x2y22x4y0与2txy22t0(tR)的位置关系为_解析 由题意知，直线2txy22t0(tR)恒过点(1，2)，而12(2)2214(2)50，所以点(1，2)在圆x2y22x4y0内，所以圆x2y22
3、x4y0与2txy22t0(tR)的位置关系为相交答案 相交6在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x1)2y24上的任意一点，点Q(2a，a3)(aR)，则线段PQ长度的最小值为_解析 因点Q坐标满足方程x2y60，故可转化为圆上的点到直线的距离，因圆心C到此直线的距离为d，又知半径为2，故所求最小值为2.答案 27若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是_解析：由y3，得(x2)2(y3)24(1y3)所以曲线y3是半圆，如图所示当直线yxb与圆相切时，2.所以b12.由图可知b12.所以b的取值范围是.答案：12，38(2018苏锡常镇四市高三调研)已知直线l：mxy2m10
4、，圆C：x2y22x4y0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m_解析：直线l被圆C：(x1)2(y2)25所截得的弦长最短，即圆心C到直线l的距离最大，d，当d取最大值时，m0，此时d，当且仅当m1，即m1 时取等号，即d取得最大值，弦长最短答案：19(2018南京四校第一学期联考)已知圆C：(x1)2(y2)24，若直线l：3x4ym0上存在点P，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，APB60，则实数m的取值范围是_解析：圆C的圆心C(1，2)，半径r2.连接PC，AC，则在RtPCA中，APC30，AC2，所以PC4，这样就转化为直线l上存在点P，且点P到圆心C的距离
5、为4，也就是直线l与以C为圆心，4为半径的圆有公共点，所以4，解得15m25，因此实数m的取值范围是15，25答案：15，2510已知直线yax3与圆x2y22x80相交于A，B两点，点P(x0，y0)在直线y2x上，且PAPB，则x0的取值范围为_解析：由条件得圆心C(1，0)，它到直线l：yax3的距离为d0或a.由PAPB，CACB，得PCl，于是kPC，即.从而由0或0得1x00或0x00)，则圆C的方程为(xa)2y24.因为圆C与直线3x4y40相切，所以2，解得a2或a(舍)，所以圆C的方程为(x2)2y24.(2)依题意设直线l的方程为ykx3，由得(1k2)x2(46k)x9
6、0，因为l与圆C相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(46k)24(1k2)90，且x1x2，x1x2，所以y1y2(kx13)(kx23)k2x1x23k(x1x2)99，又因为x1x2y1y23，所以93，整理得k24k50，解得k1或k5(不满足0，舍去)所以直线l的方程为yx3.所以圆心C到l的距离为d，则AB2，又AOB的底边AB上的高h.所以SAOBABh.6(2018江苏省苏北四市期中)已知直线x2y20与圆C：x2y24ym0相交，截得的弦长为.(1)求圆C的方程；(2)过原点O作圆C的两条切线，与抛物线yx2相交于M、N两点(异于原点)证明：直线MN与圆C
7、相切；(3)若抛物线yx2上任意三个不同的点P、Q、R，且满足直线PQ和PR都与圆C相切，判断直线QR与圆C的位置关系，并加以证明解 (1)因为C(0，2)，所以圆心C到直线x2y20的距离为d，因为截得的弦长为，所以r21，所以圆C的方程为：x2(y2)21.(2)证明：设过原点的切线方程为：ykx，即kxy0，所以1，解得k，所以过原点的切线方程为：yx，不妨设yx与抛物线的交点为M，则，解得M(，3)，同理可求：N(，3)，所以直线MN：y3.因为圆心C(0，2)到直线MN的距离为1且r1，所以直线MN与圆C相切(3)直线QR与圆C相切证明如下：设P(a，a2)，Q(b，b2)，R(c，c2)，则直线PQ、PR、QR的方程分别为：PQ：(ab)xyab0，PR：(ac)xyac0，QR：(bc)xybc0.因为PQ是圆C的切线，所以1，化简得：(a21)b22ab3a20，因为PR是圆C的切线，同理可得：(a21)c22ac3a20，则b，c为方程(a21)x22ax3a20的两个实根，所以bc，bc.因为圆心到直线QR的距离为d1r，所以直线QR与圆C相切
