1、第8讲 函数与方程1(2018河北省定州中学月考改编)函数f(x)ex3x的零点个数是_解析 由已知得f(x)ex30，所以f(x)在R上单调递增，又f(1)e130，所以f(x)的零点个数是1.答案 12根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的区间为_x10123ex0.3712.727.3920.09x212345解析 据题意令f(x)exx2，由于f(1)e1122.7230，故函数在区间(1，2)内存在零点，即方程在相应区间内有根答案 (1，2)3用二分法求方程x22的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果我们选取初始区间1.4，1.5，则要达到精度要求至少需要计算
2、的次数是_解析 设至少需要计算n次，由题意知100，由2664，27128知n7.答案 74已知函数f(x)则函数f(x)的零点为_解析 当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0.答案 05函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_解析 函数f(x)的图象如图所示，作出直线l：yax，向左平移直线l，观察可得函数yf(x)的图象与直线l：yxa的图象有两个交点，即方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，即有a1.答案 (，1)6若函数f(x)有两个不同的
3、零点，则实数a的取值范围是_解析 当x0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是01时，g(x)有2个零点，所以a的最小值为1.答案 19已知f(x)则函数g(x)f(x)ex的零点个数为_解析 函数g(x)f(x)ex的零点个数即为函数yf(x)与yex的图象的交点个数作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)f(x)ex有2个零点答案 210(2018江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五)已知f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数，又函数f(x).若f
4、(x)a在e，4上有6个零点，则实数a的取值范围是_解析 由题意画出函数f(x)在e，4上的图象，如图所示又f(x)a在e，4上有6个零点，数形结合可知，实数a的取值范围为(0，1)答案 (0，1)11已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明 令g(x)f(x)x，因为g(0)，gf，所以g(0)g0，则应有f(2)0，又因为f(2)22(m1)21，所以m0时，f(x)1有唯一根，故a2x1在(，0上无根当a2x1在(，0上有根时，可得a1，故由a2x1在(，0上无根可知a0或0a1，x21，x1x2.则x1x22m，x1x23m4，故只需故m的取值范围是m|5m0时
5、，求证：函数f(x)在(0，)内有且仅有一个零点；(3)若函数f(x)有四个不同的零点，求a的取值范围解：(1)当x0时，由f(x)0，得2x20，即x(2x24x1)0，解得x0或x(舍负值)；当x0且x0时，由f(x)0，得ax20，即ax22ax10.记g(x)ax22ax1，则函数g(x)的图象是开口向上的抛物线又g(0)10，由(2)知，当a0时，函数f(x)在区间(0，)内有且仅有一个零点；当a0时，g(x)ax22ax10恒成立，因此函数f(x)在区间(0，)内无零点于是，要使函数f(x)有四个不同的零点，函数f(x)在区间(，0)内就要有两个不同的零点当x0时，由f(x)0，得ax20，即ax22ax10(x2)因为a0不符合题意，所以式可化为x22x0(x2)，即x22x.作出函数h(x)x22x(x0)的图象便知11，综上所述，a的取值范围是(1，)
